2023届高考数学一轮复习收官卷一（含解析）（天津专用）

2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（天津卷）

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1.（2022•天津市南开中学滨海生态城学校高三阶段练习）设集合A={xeN|k-l|<2},3=W），=>/r可，

B=（）

A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1,2）

【答案】A

【详解】由集合A={xeN||x-l|<2},解得A={0,l,2}；由8=1”=万二},解得3={也42},则

AB={0,l,2}.

故选：A

2.（2022•天津•耀华中学高三阶段练习）设xeR,则是“丁-2》-3<0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由于不等式/-2》-3<0的解集为何-1。<3},则l<x<2可推出T<x<3,反之不成立，

所以是“V—2x-3<0”的充分而不必要条件.

故选：A.

2

3.（2022•天津市武清区天和城实验中学高三阶段练习）函数/（力=/4的图象大致为（）

1

【答案】1)

【详解】解：因为函数/(力=品三的定义域为何X=±2},〃-)=异［=开片=〃司，

所以“X)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A,B；

22

当xe(O,2)时I<2、<4，/(x)=-^—<0,当xe(2,4w)时，/(%)=-^—>0,排除C.

2*—42'—4

故选：D.

4.(2022•天津•南开中学模拟预测)为遏制新型冠状病毒肺炎疫情的传播，我市某区对全体居民进行核

酸检测.现面向全区招募1000名志愿者，按年龄分成5组:第一组［20,25),第二组［25,30),第三组［30,35),

第四组［35,40),第五组［40,45］,经整理得到如下的频率分布直方图.若采用分层抽样的方法从前三组志愿

者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为()

【答案】D

【详解】由直方图可知前三组志愿者的人数之比为3:6:4,

所以从前三组志愿者中抽出39人负责医疗物资的运输工作，则在第二组中抽出的人数为：「f—；x39=18.

故选：D.

5.(2022•天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习)已知函数解析式为〃刈=2忖，a=/(log0.53),

c=cos

/?=/(log45),/［yj-则()

A.a>c>hB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】B

OS45lll，Sj,5

【详解】0=21*3=22=3,z>=2"=2'=5/5.C=2H?I=25=X/2>所以a>6>c.

故选：B.

2

6.（2022•天津西青•高三期末）在［-5,5］上随机取一个实数卬，能使函数=f+夜皿+2在R上有零

点的概率为（）

2313

A.—B.—C.—D.—

55510

【答案】B

【详解】“耳=/+0g+2在R上有零点，则△“，由此解得m22或者m<-2,落在卜5,5］范围内的有

卜5,-2卜［2,5］区间长度为6,利用几何概型计算可知，有零点的概率为|.故选B

22

7.（2022•天津河西•高三期末）已知双曲线C：*■-2=1（〃>6>0））的左、右焦点分别为F2,

过点5且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线/与C的两条渐近线分别交于"，N两点、,且位于y轴

的同侧，若用，则双曲线C的离心率为（）

Dn3

A.3B.2C.—D.一

32

【答案】c

【详解】解：由题意可知：双曲线的渐近线方程为卜=±2尤，

a

由位于y轴的同侧，如图，设M在y=上，/■（-C.0）,

a

贝"附用=^1^=。，|。蛆=加了|2-际|27c,-及=a,

因为|N耳|=2|M用，所以|N制=%,

所以SONFI=2S,加6,

ap\-|O7V|sin4NOF、=2x；〃csinZMOFt,

因为NNOf；,

所以|QV|=2a,

A21

在RLOMN中,a2+9b2=4a2,所以4=L

a~3

所以e=\「^=迈.

2a23

故选：C.

3

8.（2022•天津•高三专题练习）四面体的四个顶点都在半径为凡的球。|上，该四面体各棱长都相等，如

图一.正方体的八个顶点都在半径为&的球。2上，如图二.八面体的六个顶点都在半径为兄的球。,上，

该八面体各棱长都相等，四边形力融力是正方形，如图三.设四面体、正方体、八面体的表面积分别为1、

臬、S，若4：6：6=石:内：3，则（）

图一图二图三

A.S8>S4>S6B.S4=S8>S6C.54=56<K*D.$4=$6=§8

【答案】D

【详解】由题可知四面体为正四面体,设四面体的长为4,如图正四面体46。?内接于棱长为场的正方体

内，

则易求；.4=器■,；.54=4

R3

a

设正方体的棱长为4，则2R?=y/3a6,6

4

设八面体的棱长为例,其外接球球心为〃■中点，则纥=血用，•♦•S)1=8x乎《=46七

：«:&:/?3=6：#:夜，:.设&=&,鸟=冷/?,R,=V2/?,

S4=S6=Ss=8A/5R.

故选：D.

9.(2022•天津•一模)已知函数2(x)=-sinx-2|s己耳,关于x的方程尸(<+&/(力-1=0有以下结

论

①当时，方程尸(x)+Gf(x)-l=O在［0,2句最多有3个不等实根；

②当04a<3时，方程尸(x)+&/(x)-l=0在［0,2句内有两个不等实根；

③若方程尸(x)+&“x)-l=0在［0,6句内根的个数为偶数，则所有根之和为15万；

④若方程/(x)+-1=0在［0,6句内根的个数为偶数，则所有根之和为36万.

其中所有正确结论的序号是()

A.①@B.②④C.①©D.①②③

【答案】A

_/、f-3sinx,Ikrc<x<2^+TI,

【详解】依题意，f(X=.〜c,c，k€Z,函数f(x)的值域为［—3,0］,

［sinx,2k7r+"Kx<2k兀+27r

由72(x)+&/(x)-l=0解得：=土土,或，(x)='"+：——>0(舍去),

而。20,令4=一处弃工4-1,则方程/(切+&/(》)-1=0的根是函数y=/(x)的图象与直线y=。交

点横坐标，

作出函数y=f(x)在［0,6句的图象与直线y=*如图，

「八1.八/、f-3sinxQ<x<7t一…

当相。叫时，小)y2加1观察图象知,

当。=0时，彳=-1,函数y=/(x)的图象与直线y=4有3个交点,

当0<〃<豆时，-3<r.<-l,函数y=/(x)的图象与直线y=。有2个交点,

64

当"豆时，乙=-3,函数y=/(x)的图象与直线y有1个交点，

5

当时，％<-3,函数y=/（x）的图象与直线y=。没有交点，

所以当时，x6[0,2K],函数y=f（x）的图象与直线y=乙的交点可能有3个、2个、1个、0个，①正

确，②不正确；

当xc[0,6句时，函数y=/（x）在[0,6句的图象与直线yf的交点个数为偶数，

观察图象知，此时0<。<半64，-3<r,<-i,即直线yf与y=Ox）的图象在[0,乃],[2肛3万],[4肛5加上各有

两个交点，

它们分别关于直线X=]x夸/端对称，这6个交点横坐标和即方程6个根的和为：

2x1+2x自+2x掾=15万，③正确，④不正确，

所以所有正确结论的序号是①③.

故选：A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答

对的给5分.）

10.（2022•天津•静海一中模拟预测）已知复数z满足z（l+i）=3-4i（其中i为虚数单位），则|:|=

【答案】述

2

【详解】由6吟一4i得=1y,所以」泊，故

11.（2022•天津南开•二模）在的展开式中,五的系数是

【答案】-189

【详解】由二项式定理知卜-9的展开式的通项为:

Tr+l=G(3x广,白)=(-1/3，”/,

令解得r=5,

22

所以9的系数是(-1)532^=789,

故答案为：-189.

6

12.（2022•天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知直线x-2y+a=0与圆0：V+），=2相交于4

6两点（。为坐标原点），且以03为等腰直角三角形，则实数a的值为.

【答案】±。##不或-石

【详解】如图：

因为二钻。是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线x-2y+a=0的距离为=1,

6ZI-

应用点到直线的距离公式得：1="]2；_2『=4=±"；

故答案为：土石.

13.（2022•天津市新华中学高三阶段练习）下图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一

个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成

三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这

五个接收器能同时接收到信号的概率是.

Q

【答案】1

泣

【详解】由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有CG=15种分法,同理右端的六个接线点随

^r

机地平均分成三组也有15种分法，所以共有225种：

要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全

排列，再将排列后的第一个接收器与信号源左端连接，最后一个接收器与信号源右端连接，所以符合条件

的连接方式共有A；=120种，

1702

所求的概率是p=呆=会.

7

Q

故答案为：—

14.（2022•天津南开•高三期中）在边长为2的菱形4BCD中，ZA3C=12O。，£是BC的中点，厂是边CO

上的一点，OE交"■于〃.若尸是CD的中点，+则2+〃=、若尸在边CO上

（不含端点）运动，则的取值范围是.

【答案】|（闻

【详解】（1）如图所示：

T§：AH=tAF=t(AD+-AB)=lBC+-AB,

22

由。三点共线，

可设AH=&AO+(l-k)4E

=&AO+(1-幻(48+:">)

426

AAH=-BC+-AB,即2+〃=丁

（2）如图所示：当点F与点C重合时，此时。〃最长,

易知ADHs.CEH,且相似比为2:1,

ZDCB=60°,在△OCE中，由余弦定理得：

DE2=DC2+CE2-2DCXCEXCOS60°=3,

所以。E=JL此时满足庞2+〃2=叱，所以QELCE,

8

所以NADE=90。，MDH=-DE=^-

33

由图可知，。“€(0,半),

则AHDH=(AD+DH)DH=AD-DH+DH'=e

故答案为：yKI

x2,x<0

15.(2022•天津•高三期中)已知函数〃x)=,x，若g(x)=/(x)-”恰有2个零点，则实数a

-r,x>0

的值为，若关于x的方程/(力_2/(力+2祖-1=0恰有4个不同实数根，则实数加的取值范围为

【答案】1:｛同

【详解】当x>0时/(力=4,则f'(x)==，/(1)=1,

ee

令广(无)=0,解得x=l,

所以当xe(O,l)时，制x)>0,“X)单调递增，时，/'(力<。，/⑺单调递减,

再根据题意可作出f(x)的图象如下：

若g(x)=/(x)-。有2个零点,则y=/(x)与y=。有2个交点，数形结合可知。=1;

若关于x的方程/2(x)-2/(x)+2根—1=0恰有4个不同实数根，

令t="x),则力⑺=产-2，+2加-1=0有两个不等实数根32，

故y=6，y=，2与/(x)都有2个交点或者y=4与/(x)仅1个交点，yj与〃力有3个交点;

当y=4，y=4与4X)都有2个交点，根据图象可得4=4=1,不满足f产心舍去；

当y=4与f(x)仅I个交点，y=，2与/(X)有3个交点，则弓«0，1)，

当公。时，2m—1=0,解得机=g,故的)=，—2f=o,解得4=0或弓=2武0,1),舍去；

故/7(。=/_2£+2〃7_1=«_1)2+2机_2=0两个实数根的范围为4e(l,+oo),t2e(0,l),

9

/?(1)=2m-2<0解得

所以g<"?<

〃⑼=2m-1>0

所以实数勿的取值范围为｛时;<%

故答案为：1;|w|^<«i<l|

三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.（2022•天津滨海新•模拟预测）在_ABC中，角43,C的对边分别为a,b,c,已知4csin8=3asinC,

A1

tan—=-,ABC的面积为24.

22

(1)求sinb；

(2)求a的长;

⑶求sin(28-$的值.

3

【答案】⑴sinB=,

(2)8

(3).竺-7e

50

(1)

解：4csinB=3tzsinC,由正弦定理可得4sinCsinB=3sinAsinC,

3

QsinC>0,sinB=—sinA.

A1

tan—=—

22

A

2tan5

1_4

tanA=--------=—

1-tan2-1-

2

tanA=-------

cosA

4

又<sin2A4-cos2A=1解得sinA=g,

sinA>0

c3

/.sin«=-,

5

(2)

解：sinB<sinA,

10

I-----------4

,B为锐角，cosB=VI-sin2B=—.

r44A3

又tanA=—,cosA=—,

35

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3=1.

，c=g,则JU5c的面积为:必=24,

22

=48,

。_sinA_4

bsinB3'

.,.〃=8

(3)

,24

JW：sin2B=2sinficosB=—,

25

♦7

cos2B=2cos2B-l=——,

25

JTIT7T

所以sin(2B----)=sin2Bcos----cos2Bsin—

333

24-76

--50-'

17.(2022•天津市咸水沽第一中学模拟预测)如图，4反1平面ABCD,

Q

CFHAE,AD//BC,AD1AB,AB=AD=],AE=BC=2,CF=-

7

(1)求证：BF〃平面ADE；

(2)求直线方与平面破?所成角的正弦值：

(3)求平面雌、与平面》圻夹角的余弦值.

11

(1)

VCF//AE,CF<Z平面/庞；AEu平面/%1

CF〃平面ADE

同理：3C//平面组应

CFBC=C,则平面3b〃平面/〃

BFu平面BCF,则BF//平面ADE

(2)

如图以A为坐标原点，建立空间直角坐标系

8(l,0,0),0(0,l,0),C(l,2,0),E(0,0,2),F(l,2与

BE=(-1,0,2),BD=(-1,1,0),CE=(-1,-2,2)

设平面应应的一个法向量为”=(x,y,z),则有"2~，

、7[n-BD=-x+y=0

令z=l,贝ijx=2,y=2,即4=(2,2,1)

!rv\_CEn_4

♦,・COM止战=3

4

则直线四与平面比应所成角的正弦值为x；

9

(3)

8Q=(-l,l,0),BF=(0,2g)

Q

,、w-BF=2v+-z=0

可设平面反V7的一个法向量为加=(x,y,z),则有“7

mBD=-x+y=0

12

令z=-7,则x=4,y=4,即“二(4,4,一7)

/\mn1

•cos｛m,n)=...i=-

一、/卜胴3

则平面应火与平面叱夹角的余弦值为g.

18.(2022•天津•南开中学模拟预测)已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，且邑=4邑，出“=2a“+l(〃wN*).

数列｛〃,｝为等比数列，且%-生=1,%%=1.

⑴求数列｛q｝和色｝的通项公式；

⑵求才％

ya

⑶求证：七上=半±±

k=lak*ak+l2%+]

【答案】(1)4=21,2=2〃；

⑵

2"

(3)证明过程见解析.

(1)

设等差数列｛4｝公差为d,由邑=4邑得：

4q+6d=4(加+d),

因为々2〃=2。“+1(〃£N"),所以q+(2〃-l)d=24+2(〃-l)d+l,

联立得：a产l,d=2,所以4=1+2(〃-1)二2〃-1；

则〃2=3,%=9,

设｛〃｝的公比为4,则％=1+3=4,b3=a5-l=9-l=8f

所以《=今=2,则4=g=2,

所以“=22一=2"；

(2)

故“2k-]

2A

21

+①,

2*

2k-32k-l

2&+2人句②,

13

11

1112k-l1,2~2^2k7£12k—132k+3

①一②得:2刍瓦一—I----++1-

222"i2k+l2~T~lk22A+,

1—

2

所以需哇-符卜一2k+3

2"

(3)

k*2*4k2k2111If11)

%•%](2&-l).(2k+l)4k244(4/-1)4812%-12k+])'

▼r11<1111111If,11

48(3352〃-12〃+U48(2n+l)

2〃(2九+1)+2〃+1-14m(〃+1)n(n+l)

8(2/?+!)-8(2.+1，-2an+l'

19.(2022•天津•耀华中学模拟预测)椭圆E:[+与=1(a>6>0)的离心率为;，右顶点为4设点。

为坐标原点，点6为椭圆6上异于左、右顶点的动点，QA8面积的最大值为

(1)求桶圆£的标准方程；

⑵设直线/：x=f交X轴于点尸，其中，>a,直线如交椭圆£于另一点C,直线物和。分别交直线/于点

M和凡若。、小M/V四点共圆，求t的值.

)2

【答案】⑴三+工=1

43

(2)6

【详解】⑴解：由题意，设椭圆半焦距为c,则£=1，即£=1-4」，得b二轧,

a2a2a242

设8(x”y),S.=ga|y|,由|加〃，所以S.的最大值为,

将6=3°代入!=若，W—a2=\/3»解得a=2/=5/5,

224

22

所以椭圆的标准方程为土r+匕=1；

43

(2)解：设C(%,%),因为点8为椭圆£上异于左、右顶点的动点，则直线比1不与x轴重合，

设直线6c方程为x=my+t,与椭圆方程联立得(3病+4)/+6,犯y+3/-12=0,

A=36=2/-12(3/+4)(4-4)>0,可得产<3济+4,

由韦达定理可得M+犷-舄’丑=富去

直线BA的方程为尸己-2),令"得点历纵坐标加二号等,

14

同理可得点A'纵坐标以=,

一2.

当。、小双"四点共圆，由相交弦定理可得|24||「0|=|「根・|印|，即々-2)=|加洞,

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