上海市静安区2023届高三年级上册一模数学试题（解析版）

2022学年静安区高三第一学期期末数学学科练习卷

考生注意：

L试卷共4页，另有答题纸2页.

2.所有作答必须在答题纸上与试卷题号对应的区域完成，不得错位，在试卷或者草稿纸上作

答一律无效.

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)

考生应在答题纸的相应编号位置直接填写结果.

(ft、

y=tan2—

1.函数.I4J的定义域是.

【解析】

3x-----w—+€Z

【分析】由42可得答案.

3x-----w-+无n•无cZr*—4-

【详解】42，则43,Z.

故答案为:

-1+2GI

2.已知复数o-i(I为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限，则实数。的取值范围是

【答案】I2>

【解析】

【分析】先由复数的除法运算计算出二，再由复数的几何意义得出相应点的坐标，列方程组求解即可.

-l+]m_(T+2a)(a+i)_・a+(^]・l)i+2aJ

【详解】a+\"7+1a*+l,

—%2a2—1

复数:在复平面内对应的点为+1

■So2a3—1

在第二象限,

由已知,I+1a+1J

7an

^^->0a)旦

。+1，解得2

（事]

—­^

综上所述，实数。的取值范围是I-）.

故答案为：V-7.

3.若直线'+1'+3=°与直线＞+巾.「+10=°平行，则这两条直线间的距离是一

【答案】5##1

【解析】

【分析】运用两直线平行求得加的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】由直线、+N'+3=°与直线丁+可,+1°=°平行，

可知巾-2x2=0,即明=4,

故直线？*+僧J'+1°=°为？|+4丁+1°=°,

直线X+>+3=0变形得?x+4》+6=0,

d=£l=*

故这两条直线间的距离为J丁+4,5,

275

故答案为：-5".

4.16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）.

P1P5P10P25P50P75P90P95P99

男40.145.147.951.556.763.772.480.495.5

女38.341.243.146.550.555.361.165.475.6

表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）

小王同学今年17岁，她的体重50kg,她所在城市女性同龄人约有4.2万人.估计小王同学所在的城市有

万女性同龄人的体重一定高于她的体重.（单位：万人，结果保留一位小数）

【答案】2.1

【解析】

【分析】根据题意，由图表可知，该城市女性同龄人高于小王的50百分位数，由百分位数的定义计算可

得答案.

【详解】根据题意，小王同学今年17岁，她的体重50kg,

由图表可知，小王体重的百分位数是50,

4.2x—=2.1

所以体重一定高于她的体重的人数有100（万）

故答案为：21

5.已知函数/⑴=e”cos2x-e'，则函数了巾的导数f（》）=.

【答案】e*cos2x-2e*sin2x

【解析】

【分析】根据求导公式和四则运算法则计算即可.

［详解］/'（幻二61cos21-26（51112x

故答案为：elcos2.v-2e*sinZ.T.

6.现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm）,从中任取3根，能搭成一个三角形的概率

是.

3

【答案】0.3##10

【解析】

【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可.

【详解】从5根木棍中任取3个共有戏=O=山种，符合条件有（5,5.71,（3.7.91,，5,7.913种，

能搭成一个三角形的概率10；

-

故答案为：io.

7.有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均匀，则它的内直径为

cm.（钢的密度是7.9g/cm3,结果保留一位小数）.

【答案】4.5

【解析】

【分析】设空心钢球的内直径为二八，表示空心钢球的体积，由条件列方程求，即可.

4r5丫4,1,

—.n----nrcm

【详解】设空心钢球的内直径为‘"cm,则空心钢球的体积为（“3

」，

因为空心钢球的质量为140.2g,钢的密度是7.9g/cm3,

之⑶［"x79=1402r，r5Y_1402x3

所以U」，所以79X4K,

解得；一；5,所以

故答案为：45.

8.A,月分别是事件A、B的对立事件，如果A、E两个事件独立,那么以下四个概率等式一定成立的

是_____________.（填写所有成立的等式序号）

①尸=

^P\2r\B\=P\2\P\B\

③"万cg|=[l-p4][l—RS）]

④尸（才ug）=P（不+尸（国

【答案】②③

【解析】

【分析】根据事件的独立性定义判断即可.

【详解】①尸（dUB）=F（0+P（3）-P|M,故①不一定成立；

②③由事件的独立性定义可得N与B,N与豆相互独立，所以0加小尸01。⑶，

p（^ni）=p（7）np（i）=[i-p（Ai][i-p（5i]故②③正确；

④户口U耳=尸（彳）+?⑶・？而I故④不一定成立.

故答案为：②③.

9.2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途经黄

浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫

组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有

种.（结果用数值表示）

【答案】240

【解析】

【分析】先将5名志愿者分成四组，然后再分配到四个地方即可.

【详解】将5名志愿者分成四组，且每组至少1名志愿者有种情况，所以不同的分配方法有

C；A；=240

故答案为：240.

A/=L|1<^<256）hi】。-Y）川

10.已知全集为实数集R,集合I】6J,"JF,则

拓cN=.

[答案]（-OD---）U（5-+CD）

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性解不等式得到“，,然后求交集即可.

1.7*S、56

【详解】不等式16可整理为所以-442x48,解得-23x04,所以

M=（x卜2y4}屈={x[x<-2或x>4）

不等式所以x*-4x>5,即i.L5HA+1）>0,解

得I<-1或x>5,所以"=卜卜<一1或x>5）,MnN=（~®,->Ul5,"K©i

故答案为：（9055”I.

11.在空间直角坐标系U二中，点尸“TEI关于坐标平面-的对称点尸在第卦限；若点

Q的坐标为I&-L5）,则向量网与向量而夹角的余弦值是.

叵

【答案】①.五②.9

【解析】

【分析】根据坐标平面对称先求出尸’的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果；

利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案.

【详解】点尸346）关于坐标平面'K的对称点p为1T.-6）,根据卦限在空间中的位置，所以点尸

在第五卦限.

_「皿低,两）=/」=正

由已知可得只2=QT「l）,PP'-（0.0,-l2）,所以\/6X1二9

73

故答案为：五；9

12.已知函数3'若函数.，（门只有一个零点、，则实数"的取值范围为.

【答案】SY）U（£2）

【解析】

【分析】对a分类讨论：；；=°,口>0和分别求出对应情况下的实根情况列不等式，即可求解.

【详解】函数〃"=31"的导函数为「（仙30*』.

什士理

当a=0时，令."工）=°,解得：’3,所以函数有两个零点，不符合题意.

当a>0时，要使函数只有一个零点】，只需"的极大值小于0或"的极小值大于0.

令Cx）=3a—,解得：或"了?

列表：

X（0。）0。,二

ka)a

/,（X）+0-0+

单增极大值单减极小值单增

匚二1、|上叱》/升/（0）=4.01-303+2>0才补八口而上

所以极大值-不符合题意.

+2=——j-+2>0f-

所以极小值a,解得：a>yj：

当a<。时，要使函数"只有一个零点i,只需〜"极大值小于o或•门门的极小值大于0.

令⑴f61=0,解得：x=0或J1".

列表:

X09+0)

a住。）

-0+0-

“X)单减极小值单增极大值单减

所以极大值〃01Td°不符合题意.

/仔）=。仁，3仔丫+2=-二+2>0

所以极小值Wa,解得：a<-V2.

综上所述：实数。的取值范围为（~®--6UI,他）|.

故答案为：

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13〜14题每题4分，第15〜16题每题5

分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格

涂黑.

13.己知数列;4；是等差数列，%+为£=48,,则%（）

A.120B.96C.72D.48

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列的下标性质计算可得结果.

【详解】因为是等差数列，

所以％=48,即小=24

所以%+%+。日=+工=5at=5*24=120

故选：A

14.若实数x,y满足X'+4J：-P=3,则（）成立.

A.PN1B.X、4』S4

c.v+2.r>-J?Dx+2.r<J?

【答案】B

【解析】

【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解.

【详解】由「+一寸=3和基本不等式、'+4.v'NRY7.4=4卜丁|（当F=4/时等号成

立），

3

.『+4/-»，=3之4同-？当甲,次时，有心1，当y<0时，A错误；

由“，忖1（当工》同号时等号成立）得：

4x）'<4M|Wx'+4p「&，>----^―./+4j*-.=3N尸+4也

P+4yls4,B正确；

v:+Ay3-xy'=（i+2y）3-5n1=3=3+5943+5=8（当/=4,一时等号成立）

-272<x+2r<272,c,D错误；

故选：B.

(JX,

3x+户Jr

d;»->J-

15.在I的二项展开式中，J'A称为二项展开式的第r+1项,其中尸0,1,2,

/J'X"

3'+户

3,...,n.下列关于I）的命题中，不正确的一项是（）

U

A.若则二项展开式中系数最大的项是C54、”.

0

B.已知I>0,若"=9,则二项展开式中第2项不大于第3项的实数1的取值范围是

C.若”=10,则二项展开式中的常数项是<。丁.

D.若"=27,则二项展开式中\凶事指数是负数的项一共有12项.

【答案】D

【解析】

【分析】A选项：根据系数最大列不等式，解不等式即可；B选项：根据题意列不等式，然后分

】o3=o

和、>1两种情况解不等式即可；c选项：令3,解方程即可；D选项：令3,解不

等式即可.

—<r〈一

【详解】A选项：令IGP'，解得4.1,所以「=2,所以A正确；

aIT:<4

B选项：空2三空2,整理可得.~3,当0<、二1时，不等式恒成立；当x>l时，解得

0<x

⑴，所以,故B正确;

10--r=0

C选项：令3,解得r=6,所以常数项为J。'=G。'，故C正确；

刀一r〉?l

D选项：令-3…，解得5,所以r可取m，27,共11项，故D错.

故选：D.

16.“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期数学成

就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：

“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面

的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则

这个四棱锥的外接球的表面积为（）平方尺.

阳马

心——B

A.4B.--c.138/rD.1287T

【答案】C

【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.

如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为

"+_>/138

-，外接球的表面积S=4冗R'=138开.

故选：c.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必

要的步骤.

17.已知数列10J满足：'%=1,=对一切正整数〃成立.

(1)证明：数列｛4♦「％｝是等比数列；

(2)求数列的前〃项之和.

【答案】(1)证明见解析

e4"”1

瓦=—

(2)18318

【解析】

【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；

(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式求解出数列的通项公式，再利用分组求和即可得到结

果.

【小问1详解】

1,1

q=a,=1^2-n.=—

证明：2,A2,

1.•a.#a+4fl«=5a.u,对一切正整数〃成立，”eN,

即"一。.数列｛与“一、｝是以3"为首项，4为公比的等比数列.

【小问2详解】

a..、-a--*21

由(1)知,

;.a.=("。、,)+(4-a.J++(a-a)+a=［：•+>+'+

q47+；=;(尸+】)

a-1(2+1)-1

当〃=1时，3.［满足上式，

=-(2a-,+l)(»eN，)

综上所述，43

⑴s…机」_L

设数列‘4’的前乙,项之和为，，则31-4=31818318.

18.平面向量而=Gsinx.co/x).5=(8SK_JJ),函数卜=-"“)=6n+~.

(1)求函数y=f的最小正周期；

xe[O.-],,

(2)若二，求产'的值域；

(3)在中，内角48、c的对边分别为＜7、5、c,已知a=1.»=",求

△4SC的面积.

【答案】(1)五

343

⑶2

【解析】

/(x)=V^sinf2x--

【分析】(1)利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到'’V6),然后求最小正

周期即可；

(2)利用换元法和三角函数单调性求值域即可；

(3)利用余弦定理得到J然后利用三角形面积公式求面积即可.

【小问1详解】

mn—3smxcosx--J3cosx=-sin2.r—小—cosJx——=-cJ3sinl（_、x-加y1——

/(x)=V3sm|2x--|

所以I6人

最小正周期为力.

【小问2详解】

5兀

H=2x--xeu-v—

设6,L~」，不，

_nn'n1开］，兀［1.5^1./r,

扬啖在［6’2」上严格增,在L2—袁ksin—=—sin—=1

6」上严格减，、6）62,2，所

以J'=『7的值域为L-J.

【小问3详解】

“)=6即加，

5=—

因为B为三角形内角，所以3.

口4+c-1

COSD=-------------------=—1

2x?xc2,即厂-幺-3=0,解得。=3.

1……

所以△SBC的面积为？22.

19.如图所示，在矩形ABC。中，，48=4,从二-1,E是CO的中点，。为AE的中点，以AE为折痕将

_/［二,2向上折起，使。点折到尸点，且尸「一六二’.

(1)求证：尸。上面A8CE；

(2)求AC与面尸48所成角d的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

x/5o^

(2)15.

【解析】

【分析】(1)取月「的中点尸，连”，PF,证明OFJ>BC,BCLPF,得到BC上面尸纱，从

而证明3(7_1_尸0,然后可得POU面45CE；

(2)作。G//5C交46于G,则，。3_L。尸，然后以点。为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量

求解即可.

【小问1详解】

由题意，可得H4=EE,OA=OE,则尸。_L/E,

取BC的中点凡连。尸，R?,可得0FAB,所以。尸18C,

因为尸B=FC,BC1.PF,且尸90。尸=尸，所以平面尸。尸,

又因为尸。u平面月。尸，所以EC_LP°.

又由BC与AE为相交直线，所以尸平面上3「任.

【小问2详解】

c

.r

作。G,“8。交,45'于3,则。G«L。尸

如图建立空间直角坐标系，

则闿,TO)J(UO)C(T3O)/(O,O0),1?=(T4O),Q=(VL0),而=(O4O),

nXP=r+y+>/5^=0

设平面P45的法向量为方二n；二〕，则I小心.”工0,所以可取彳=("0.D,

qI/--JHXl2仃V^O

所以4C与面尸A5所成角6的正弦值1'〃R5.615.

x3+)，_1G

20.已知椭圆「：7V=1(a>b>0)的离心率为3,它的上顶点为A,左、右焦点分别为

尸।J0I,月工•山(常数c>0),直线"，他分别交椭圆「于点s,C.C为坐标原点.

(1)求证：直线3。平分线段工0；

(2)如图，设椭圆厂外一点P在直线30上，点尸的横坐标为常数内(m>a),过户的动直线,与椭

MPMQ

圆「交于两个不同点时、N,在线段上取点°,满足尸"G'J，试证明点。在直线

Jmv+-61=0j_

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

c-J3

【分析】(1)由离心率一。一3,将。，b均用c表示，求出直线"'的方程，与椭圆方程联立求得

点B坐标，即可得到直线3。的方程，根据椭圆的对称性，求出点0的坐标，再证出工C中点在直线

3。上即可；

MP_MQ_

(2)设MlJJC和尸"QN，用线段定比分点坐标公式将P,。坐标表示出来,

并

代入？E1+=°,结合p的横坐标为小和Al,N在椭圆上，进行运算证明即可.

【小问1详解】

2333

由题意,3则a=,b-yja—c->]3c~c

Jr+y_[

.•.椭圆r方程为牙,即3+犷=&,，

,任■oc

上.=-----=V-£-

...直线行的斜率‘°-LC,直线所'的方程为「一①―，

’2『+3y=6?..

45

联立b'=Q("c'消去J,化简得H+女A。，解得以=0,

B~~c

即点R的横坐标为-，代入直线盟的方程，得V~

历n

-丁-。岳

a=FT=亍肥

一一C-0j'=^-x

直线3。的斜率2，直线3。的方程为,3

BC-n

...由椭圆的对称性知I"

又°|线段AC的中点坐标为、

氏3叵1，=正X

V344,...线段AC的中点在直线30：,上,

即直线30平分线段4c.

【小问2详解】

设过点尸的直线，与椭圆r交于两个不同点的坐标为

：M,"在椭圆F上，...八-V+3r;-6c:

MPMQMPMQ

,:PNQN,；.设PNQN,易知4>0,且，

则由己知，看诉=_瓯质-L京，

0（许+4与M+检）

1-A*1-1J,11+A,1+1）

.••由线段定比分点坐标公式，有

;点尸的横坐标为常数k（W>a）,

»尸鸟上以=当—=3（—

又...点P在直线30：.3上，...1-13,1-a

Q（.+4*2Jl+办、］

将1+4'1+4J代入l+石叱r,得

2E+®，=2212^.

1-21+A1-A1+4

2（4-7X；）3（F；一小；）

-pu5_+_