2023-2024学年江苏省南京市高二年级上册期末数学模拟试题(二)(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知等比数列｛4｝中，%=2,4=4,则％=（）

A.8B.16C.32D.36

【正确答案】B

【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出6=16.

【详解】等比数列｛%｝中，/=2,%=4,

y

\aq解得彳=2，故/=〃应=4x4=16.

故选：B.

2.过抛物线y=2/的焦点F作倾斜角为120。的直线交抛物线于A、B两点，则|4同长为（）

A.2B.1C.7D.1

Jz

【正确答案】A

【分析】先求出直线力8的方程，利用“设而不求法”求解.

【详解】根据抛物线方程y=2x2得：焦点坐标厂（0,：）.

O

直线4?的斜率为左=tanl2（r=-百，由直线方程的点斜式方程可得AB:y-J=-怎.

8

将直线方程代入到抛物线y=2x2当中，整理得.2?+6.J=0

设“（X1,凹），8（々,%），则有网+迎=一些，再无2=-得.

所以弦长|N8|=Jl+a2-k_勾=71+（V3j1（为+万：-4占？=2后,=：.

故选：A

3.已知圆£：一+y2-4=0与圆。2：/+/-以+勺-12=0相交于48两点，则两圆的公共

弦|明=

A.272B.3cC.近D.2

【正确答案】A

【分析】两圆方程相减得48所在的直线方程，再求出G到直线Z8的距离，从而由G的半

径，利用勾股定理及垂径定理即可求出|Z司.

【详解】圆G：x2+/-4=0与圆G：x2+y2-4x+4y-12=0相减得所在的直线方

程.％-歹+2=0

,圆G:一4=0的圆心G(0,0),〃=2,

二圆心（0,0）到直线“8：x-》+2=0的距离d=10~0+7=72,

"+1

则\AB\=2〃2-7==2叵-

故选A

本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解

本题的关键，属于基础题.

4.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的

非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2掰时，水面宽8m.若水面下降Im,则水面

宽度为()

A.2-76mB.4mmC.4近mD.12m

【正确答案】B

【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程/=-2勿(p>0)并求出P,

最后求解当y=-3时x的值即可求出水面宽度.

【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，

设抛物线方程f=-24(0>0),

由题意知,抛物线经过点力(-4,-2)和点8(4,2),

代入抛物线方程解得，P=4,

所以抛物线方程/8N

水面下降1米，即夕=-3,解得X1=2j^,x2=-2>/6,

所以此时水面宽度d=2*=4#.

本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.

5.若曲线C上存在点使〃到平面内两点4-5,0),8(5,0)距离之差的绝对值为8,则

称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()

A.x+y=5B.x2+y2-9C.—+^—~1D.x2=16y

259

【正确答案】B

【分析】先求出〃点的轨迹方程为1-4=1,“好曲线”一定与g-4=1有公共点，联立后

169169

求出交点坐标或由△判断出有无公共点，判断出结论.

【详解】由题意知：也平面内两点4-5,0),5(5,0)距离之差的绝对值为8,

由双曲线定义知：M的轨迹是以A,8为焦点的双曲线且。=4,c=5,

故从=/-。2=25-16=9,

即轨迹方程为：

169

••・“好曲线”一定与1-4=1有公共点，

169

联立J=1与x+V=5得：7x2-160x4-544=0,A=10386>0»

169

故x+尸5与。4二1有公共点，A为“好曲线”，

169

联立京卷=1与3+产=9得:/=-<0,无解，B不是“好曲线”,

联立己-4=1与《+片=1得：/=绊，/=£.,有解，c为“好曲线”，

1692594141

联立+-J=1与/=16y得：/一9歹+9=0,△=81—36=45>0,有解，故D为“好曲线”.

169

故不是“好曲线''的是B.

故选：B.

6.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，Ai,A2,BI,&为椭圆的顶点，B为右

焦点，延长氏氏与血必交于点尸，若N8/P&为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是

【正确答案】C

【分析】过耳作直线4打的垂线/,题意说明射线用尸在直线/上方，由此可得。,仇。的不等

关系（利用直线与x轴交点得出不等式），从而可得离心率的范围.

【详解】设直线/为过用且与4层垂直的直线，易知&=-々则直线/的斜率为左=9,

ab

（力2\

而4（0,-6）,则该直线/的方程为y=fx-b,所以该直线与x轴的交点坐标为一,0,要

使得4f4为钝角，则说明直线8/在直线/上方，故满足c<些，结合〃=/-c2,得到

a

（右川

22c2

ac<a-c,^e=-,^e+e-l<0,结合0<e<l,解得ew0,^—.

aI2）

故选：C.

本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是利用过片与直线4层垂直的直线/与射线4P关

系得出不等式.

7.已知数列｛0,,｝的前〃项和为E,,4=1,当〃22时，a,+2S,i=",则&必等于（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

【正确答案】D

【分析】由“22时，a“+2S“T=〃得到。向+2S.=〃+1,两式作差，整理可得：

结合并项求和，即可求解.

【详解】解：由题意可得，当〃22时，a“+2S,i=",an+l+2S„=n+\,

两式作差可得见+「《,+2即=1,

即氏+|+4=1("22),

即当“22时，数列任意连续两项之和为1,又因为％=1,

=11011

所以S2021=%+(%+%)+(%+%)++(a2020+a2o2i)+-^—=>

故选：D.

8.若对任意正实数x,不等式e2,(a-%)41恒成立，则实数。的范围是()

In21-In2八..I一In2I

A.a<-----+—B.a<-----+l1C.a<ln2+-D.a>-----+—

222222

【正确答案】A

【分析】转化问题为“4、7+X恒成立，设/(x)=、7+x，则。4/(xL，利用导函数求得

/(X)的最小值，即可求解.

【详解】因为不等式e2*(a-x)4l恒成立，e2x>0.

所以“4次+'恒成立'

设/(X)$+X，则””(XL)，

7ln2

因为/'")=-后+1，令f'(x)=O,则X

2

In2In2时，

所以当xe-00万时，/'(x)<0,当xe~,+°°*(x)>0,

In2In2

所以/(x)在上单调递减,在,+8上单调递增,

f'"F2

In21In2

所以/(%).=/—I------,

222

jIn21

22

故选：A

二、多选题

9.设/(Xi*),*/,%)是抛物线V=4x上两点，O是坐标原点，若04108,下列结论正

确的为（）

A.乂%为定值B.直线/B过抛物线/=4x的焦点

C.最小值为16D.。到直线48的距离最大值为4

【正确答案】ACD

由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线N8方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦

达定理求得瓦-8|的最小值，即可判断C；由直线43过定点可判断D.

kk=九.单=2.上=生=-1

【详解】对于A,因为04,08,所以.x,x2W上!M外，

4V

所以必为=T6,故A正确；

对于B,设直线=+6,代入/=4x可得歹2-4〃沙-46=0,

所以必必=-4=-16,即6=4,所以直线/B过点（4,0）,

而抛物线V=4x的焦点为（1,0）,故B错误；

对于C,因为|必-力|=J（必+%）2-4乂%-^6ni+64>8，

当加=0时，等号成立，

又直线力3过点（4,0）,所以（%G）mm=；x4x8=16,故C正确；

对于D,因为直线过点（4,0）,所以。到直线48的距离最大值为4,故D正确.

故选：ACD.

解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化筒及韦达定理的应用，细心计算即可得解.

10.以下四个命题为真命题的是（）

A.过点（-10,10）且在X轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为

B.直线xcos9+与+2=0的倾斜角的范围是

一66'）

C.曲线£：x2+y2+2x=o与曲线。2：丫2+/-4y-8»+加=0恰有一条公切线，则加=4

D.设P是直线x-y-2=0上的动点，过p点作圆。：/+/=i的切线4，PB,切点为A,

B,则经过A,P,。三点的圆必过两个定点

【正确答案】BD

【分析】根据直线方程的求解、直线斜率与倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，以及圆方程

的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：当直线方程为y=-x时，也满足题意，故A错误；

B：由题可知直线的斜率为日cosdc一乎，去，设其倾斜角为二，贝！Jtana£一等

故倾斜角的范围是口停故B正确；

L66')

C：曲线G：(x+l『+y2=],曲线G：(x-2)2+(y-4『=20-〃?〉0,解得“<20；

若它们有一条公切线，且它们内切，圆心距d='(2+1)2+4?=5=,20--一卜

解得机=-16,故C错误；

D：设点P(〃?,〃L2),根据切线的性质可得：AOLPA,

经过4P,。三点的圆即为以PO为直径的圆，则圆的方程为x(x-〃?)+y(y-〃?+2)=0,

整理得：(x2+/+2j)-/n(x+j/=0),

令X?+/+2y=0,x+y=0,解得x=y=0或x=l,y=-l,

故经过4P,。三点的圆必过定点(0,0)和(LT),故D正确.

故选：BD.

本题综合考察直线和圆方程的求解，其中D选项中，对圆恒过定点的处理，是解决问题的

关键；同时要注意直线截距定义的把握以及直线倾斜角和斜率之间的关系，属综合中档题.

11.已知等比数列｛4｝的公比为4,其前"项的积为。，且满足q>l,a99am-l>0,

3<0,则()

A.0<^r<lB.峻⑼-卜。

C.1«)的值是。中最大的D.使北>1成立的最大正整数数〃的值为198

【正确答案】ABD

【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】•；^99^100—1>°，••。99。100>°，・・q>0.

■:卢~~y<0,A(4Z99-l)(4?too-l)<O,

aioo-1

又q>l,，0<9<1.故，正确.

由A选项的分析可知。99>］，0<。］却V1,・・内W］。］=a］。。<1,・・。99。】01一］<0，

7100=799^100<799,故8正确，C不正确.

[98=(aia]98)(a2ai97)(aa)=(aa)>1

*,(98=。1。29910099]00

aa

看99=\2%98al99=(。]%99)(。2al98)(^99^IOl)aIOO="100<1,

・••使4>1成立的最大正整数数〃的值为198,故。正确.

故选：ABD

2

12.（多选）已知函数/Xx）=三，下列关于〃x）的四个命题，其中真命题有（）

e

A.函数/（x）在［0,1］上是增函数

B.函数/（X）的最小值为0

C.如果xe［0,f］时，则，的最小值为2

e

D.函数〃x）有2个零点

【正确答案】ABC

【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题.

【详解】对于A,因为/（x）=E，求导得，'（X）=X（2T）,当x<0或x>2时，/'（x）<0,

ee

当0<x<2时,f'（x）>0,故。x）在（-8,0）和（2,+8）上单调递减,在（0,2）上单调递增,故

A正确：

对于B,当x=0时，/«=0,当xf+oo时，故B正确:

4

对于C,当X=2时，/（2）=m，则/（x）的图像如下所示：

如果x£[0/]时，/(x)max=^,由图可知，的最小值为2,故C正确；

对于D,由图可知/(X)只有一个零点，故D不正确.

故选：ABC.

关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及零点，解题的关键是要利用导

数研究函数的单调性，最值，进而作出函数的图像，考查学生的运算能力与数形结合思想，

属中档题.

三、填空题

13.已知直线4:2x+""+1=0与4：4〃?x+("?+I»+2=0垂直，则，"的值为.

【正确答案】0或-9##-9或0

【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.

【详解】因直线4:2x+即+1=0与，2:4加工+(加+1»+2=0垂直，则有2x4〃2+〃z(m+l)=。,

解得〃z=0或m=—9,

所以用的值为0或・9.

故0或・9

14.设曲线N=在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为瑞，令%=lgx,，则

q+%+++。999的值为__•

【正确答案】-3

【分析】由导数的几何意义求得切线方程，令歹=0再求的与1轴的交点的横坐标为Z，代

入。“=lgx〃中求得的通项公式，进而求得q+。2+。2++。999的值.

【详解】曲线V=X"”(〃€N,),

w

/.y=(A7+l)x,-**f(1)=n+lf

二.曲线歹=wN)在(1,1)处的切线方程为y-1=(〃+1)(%-1),

该切线与X轴的交点的横坐标为相=上7,

n+1

a„=lgx.，

=lg«-lg(w+l)，

at+a2++。999

=(lgl-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg4-lg5)+(lg5-lg6)++(1g999-1g1000)

=lgl-lgl000=-3.

故-3.

15.甲、乙两地相距240km,汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的

运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为白，元.为使全程

运输成本最小，汽车应以km/h的速度行驶.

【正确答案】80

【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变

成本为金元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值•

【详解】解：设全程运输成本为V元，

由题意，W=(1604-v3)=240(^^+v2),y>0,

v6J400v6400

,1602、

y=240(一-+——V).

vr6400

令V=0,得y=80.

当y>80时，/>0；当0<y<80时，y<o.

所以函数k型。60+$，)=240(图+±y)在(0,80)上递减，在(80,+8)上递增，

所以v=80km/h时，%=720.

故80.

16.若倾斜角为2的直线过椭圆二+彳=1,(0>6>0)的左焦点尸且交椭圆于A,8两点，

6a-b

若|4尸|=3|3尸则椭圆的离心率为—.

【正确答案】昱

3

【分析】根据题意得出直线48的方程为y=9(x+c),设/(芭,必),8(々)2)，将直线方程

2

与椭圆方程联立可得必=再詈歹，％=.*：：翳，由|工用=3|8用可得：%=-3%,

进而化简即可求解.

【详解】椭圆左焦点尸(-。,0),直线45的倾斜角为2,则斜率为正,

63

二直线43的方程为y=*(x+c),设力(玉,办),8方,%),

y=+c♦得一2®20_/=0

联立

x2y2]

y/3b2c+2ab24ib2c-2ab2

解得：y=

x/+3/''a23b2

\AF\=3\BF\,:.y^-3y2.

即2ah2=—3x(6b2c-2a〃)，

即4v562c=4ab2,解得.e=—=

a3

喈

四、解答题

17.已知点P(2,0)及圆C.f+/-6x+4y+4=0

(1)若直线/过点P且与圆心C的距离为1,求直线/的方程.

(2)设直线办-了+1=0与圆C交于A,B两点，是否存在实数。，使得过点尸(2,0)的直线4垂

直平分弦N8?若存在，求出实数。的值；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)3x+4y—6=0或x=2；(2)见解析

【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于1建立方

程，解出子线的斜率，由此求得直线方程.当直线斜率不存在时，直线方程为x=2,经验证可知也

符合.(2)将直线方程代入圆的方程，利用判别式大于零求得。的取值范围，利用“圆的弦的垂直

平分线经过圆心”，求出直线的斜率，进而求得“的值，由此判断。不存在.

试题解析：

⑴设直线1的斜率为k(k存在)，则方程为y—0=k(x—2),即kx-y-2k=0.

又圆C的圆心为(3,-2),半径r=3,

\3k+2-2k\3

由^一]——1>解得k=-：.

』k2+l4

3

所以直线方程为y=-*(x-2),即3x+4y—6=0.

当1的斜率不存在时，I的方程为x=2,经验证x=2也满足条件

(2)把直线y=ax+l代入圆C的方程，消去y,整理得便+l)x2+6(a—l)x+9=0.

由于直线ax-y+l=O交圆C于A,B两点，

故A=36(a-1)2-36®+1)>0,

解得a<0.

则实数a的取值范围是(一8,0).

设符合条件的实数a存在.

由于b垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在b上.所以L的斜率kpc=-2.

而kAB=a=-―/-,所以a=：.

噎2

由于;任(_oo,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线12垂直平分弦AB

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目

给出圆心到直线的距离，故可利用点到直线的距离公式，建立方程，求的直线的斜率.由于直线

的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆

方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.

18.已知函数/(x)=x-(a+l)lnx-q(a>0).

⑴当a=3时，求/(x)的单调区间；

(2)讨论/(X)的极值.

【正确答案】(1)单调递增区间为(0,1),(3,+8),单调递减区间为(1,3)

(2)答案见解析

【分析】(1)求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；

(2)先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.

【详解】(1)当。=3时，/(x)=x-41nx--,

则/，3=1,+之=止耍=口-3k-1)

XXx~X

由了小)>0,得O<X<1或X>3；由/'(x)<0,得1<X<3.

所以/(X)的单调递增区间为(0,1),(3,丘)，单调递减区间为(1,3).

当0<°<1时，/(X)的单调递增区间为(0,〃)，(1,+8),单调递减区间为(。/)，

故此时〃x)的极大值为极小值为"1)=1-。；

当°=1时，r(x)>0,即/(x)在(0,+8)上单调递增.此时/(x)无极值；

当。>1时,/")的单调递增区间为(0,1),3+00),单调递减区间为(1,4),故此时〃x)的

极大值为/(1)=1-。，极小值为/S)=a-l-(a+l)lna.

综上所述：当0<〃<1时，/(X)的极大值为〃a)=a-l-(a+l)lna,极小值为/。)=1-“；

当a=1时，，即/(X)在(0,+8)上单调递增.此时/(X)无极值；

当。>1时，/(X)的极大值为"1)=1-%极小值为/(a)="l-(a+l)lna.

«)=('-？1)

19.已知｛《,｝是递增的等差数列，勾=3,且a,%，4成等比数列.

(1)求数列｛对｝的通项公式；

(2)设数列一^的前“项和为7；,求证.

156

【正确答案】⑴a”=2〃+l

(2)见解析.

【分析】(1)根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.

(2)根据裂项相消求和，即可求出7；,然后根据单调性即可证明.

【详解】(1)设｛%｝的公差为d,因为％3，4，q成等比数列，

所以aj=-aB=>(3+3d)-=3(3+124)n/—2d=0,

因为｛《｝是递增，所以1>0,故”=2,所以勺=2〃+l.

i=iLfJ___i]

(2)_(2n+l)(2w+3)_512n+12n+3J,

iifi__L、

+岛2?+3〃21327+3,

因为熹单调递减，所"单调递增,

故当〃=】时，区焉=z；q,而北=黑一五%）小

1

<—

6

20.已知过圆Cnx2+y2=1上一点的切线，交坐标轴于力、8两点，且力、8恰好

2"）

分别为椭圆C2：W+A=l（。>6>0）的上顶点和右顶点.

a2h2

（1）求椭圆G的方程;

（2）已知P为椭圆的左顶点，过点尸作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线

过定点。（-1,0）,求证：PMLPN.

片+片=1

【正确答案】（1）4P一；（2）证明见解析.

3

【分析】（1）设切线方程为y-（x-y）,由圆心到直线的距离等于半径，建立方程,

解出4=-立，从而求出力（0,逑），和8（2,0）,直接写出椭圆的方程；

33

（2）由（1）可知p（-2,0）,设直线MN方程为：x=my-1,M（x/,为），N（必J2）

用设而不求法表示出尸。&",整理化简可得PM・N=O，即可证明PMJ_PN.

【详解】（1）设过点E；,当的切线方程为厂等=4（x-y）,即依-八等-权=0,

因为圆心到直线的距离等于半径,

所以了-2"解得左=-立，

।/=13

J/+1

所以切线方程为一^-x—y+->/3=0,

33

令x=0,得^=毡，A（0,逋），

33

令y=0,得x=2fB(2,0).

所以。=二^,a=2,

3

兰+匕1

所以椭圆C2方程为：TT-1.

3

（2）由（1）可知p（-2,0）,

设直线MN方程为：x=my-1,M（制,yi）,N（右，”）

联立直线与椭圆的方程得：（加?+3）y2-2加y-3=0,

2m-3

yH72=m2+,32,叩2=m24「-3，

x/+xj=｛myi-1）+（my2-1）=m（刈土及）-2,

xiX2=（myi-1）（my2~1）—nvyiy2~m（/到2）+1，

PM9N=（x/+2,yi）•（x?+2,歹2）=（x/+2）（也+2）+yiy2

=X/X2+2（X/+X2）+4到必，

=m2yiy2-m（yi+y2^+1+2[阳（y/±及）-2]+4~少）2，

=（7772+1）〉/"+〃？（yHy?）+1，

—47MJ

=（加2+1）（-----）+m（------）+1,

nr+3m+3

—3m2—3+2m2+/w2+3八

=--------