2023年高考数学二模试卷

2023年高考数学二模试卷

1.已知集合A={x|ax2-3%+2=0}的元素只有一个，则实数a的值为()

A.IB.0C.翔)D.无解

2.已知复数Z满足(i-l)z=2,给出下列四个命题其中正确的是()

A.z的虚部为一1B.\z\=2C.z=14-iD.z2=2i

3.已知向量万=(-1,1)范=(3,1),贝地在B上的投影向量为()

A.(to)B.(—喑—奥

C.(1,1)D.

4.某市在文明城市建设中，鼓励市民"读书好，好读书，读好书”.在各阅览室设立茶座,

让人们在休闲中阅读有用有益图书.某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅

读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者

挑选同一种书的概率为()

3539

ABC-

---

894D.

16

5.放射性核素粥89的质量”会按某个衰减率衰减，设其初始质量为Mo,质量M与时间t(单

位：天)的函数关系为M=M。向,若锢89的质量从/衰减至g%,1M0,2%所经过的

时间分别为口，t2,打，则()

A.打—2tl+t2B.£3=11+*2C.上2=2tl+土3D.=2tl-t2

6.经过P(2,3)向圆/+y2=4作切线，切线方程为()

A.5x-12y+26=0B.13%-12y+10=0

C.5x—12y+26=。或x=2D.13%—12y+10==2

7.正三棱柱ABC-481cl的底面边长是4,侧棱长是6,M,N分别为CC】，AB的中点，若P

是侧面BCG当上一点，且PN〃平面A&M,则线段PN的最小值为()

等强

A.J-5-D.

-s-

8.已知定义在R上的函数/(%)满足f(x+6)=/(x),y=/(x+3)为偶函数，若/。)在(0,3)

内单调递增.记a=/(2021),b=f(e"c=/(/n2),则a,b,c的大小关系为()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c

9.下列化简正确的是()

A.cos820sin52sin820cos52°=—2B.sinlS°sin30Osin750=：

Lo

22

C.ta"48°+产172：=D.COS15Sin15。=?

1—tan48tan722

10.已知函数/(X)的定义域为R,且f'(x)>1,/(3)=4,则下列结论中正确的有()

A./Q)为增函数B.g(x)=/(为一x为增函数

C./(2X一1)>4的解集为(一总2)口./(2%-1)>2工的解集为(2,+8)

11.已知抛物线y2=2PMp>0)的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线于4B两点，以线段4B

为直径的圆交y轴于“、N两点，设线段4B的中点为P,贝!|()

A.OA-OB=-^-

4

B.若|仍•|BF|=4p2,则直线AB的斜率为C

C.若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3,则抛物线的方程为y2=8x

D.若点尸到抛物线准线的距离为2,则sinzPMN的最小值为:

12.如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂卜户"

直，力。=0E=4,G为线段4E上的动点，则()C/；

A.若G为线段4E的中点，则GB〃平面CE尸

B.AE1CF8

C.BG2+CG2的最小值为48

D.点B到平面CEF的距离为殍

13.在Q-$7的展开式中，含；的项的系数是.

14.设a>0,b>1,若a+b=2,则，出取最小值时a的值为.

15.若函数f(无)=x(x-c)2在久=3处有极小值，则c的值为.

2

16.已知坐标平面xoy中，点&,尸2分别为双曲线c-^-y2=i(a>0)的左、右焦点，点

M在双曲线。的左支上，“尸2与双曲线C的一条渐近线交于点£>,且。为M『2的中点，点/为△

。“尸2的外心，若0、/、D三点共线，则双曲线C的离心率为.

17.在仆ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2bcosB,C=y.

⑴求B；

(2)在下面两个条件中选择一个作为已知，使△4BC存在且唯一确定，并求8c边上的中线的长

度.

②△48C的周长为4+2，？；②面积为SMBC=亨•

18.已知等差数列5｝中，公差d>0,=77,且-1,成等比数列.

(1)求数列｛。”｝的通项公式；

1

(2)若7；为数列｛/［二｝的前n项和，且存在neN*,使得7；-4斯+1>。成立，求实数屁勺取

anan+l

值范围.

19.如图1,在44BC中,D,E分别为AB,4c的中点，。为DE的中点，AB=AC=2<5,

BC=4.将A40E沿。E折起至！UAOE的位置,使得平面&OE，平面BCE。,如图2.

(I)求证：AyO1BD.

(口)求直线4c和平面4/。所成角的正弦值.

(Ill)线段&C上是否存在点F,使得直线DF和BC所成角的余弦值为手？若存在，求出兼的

值；若不存在，说明理由.

20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划某

企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.该企业为了了解研

发资金的投入额x(单位：百万元)对年收入的附加额y(单位：百万元)的影响，对往年研发资

金投入额看和年收入的附加额%进行研究，得到相关数据如下:

投入额期234568911

年收入的附加额力3.64.14.85.46.27.57.99.1

(1)求年收入的附加额y与投入额X的经验回归方程；

(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于1,则称对应的投入额为"优秀投资额"，现从上

面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为"优秀投资额”的个数，求X的分布列及

数学期望.

【参考数据】Xiyt=334.1,=48.6,£?=*=356.

【附】在经验回归方程，=bx+a^.b=

第13-1)2-1%*_痴2,a=y-bx-

21.已知椭圆E：冒+=l(a>6>0)的左.右焦点分别为0(一1,0),F2(1,0),过&且斜率

为一的直线与椭圆的一个交点在X轴上的射影恰好为尸2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，下顶点为4,过点B(0,2)作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C,。两点.直

线?10,4C分别交支轴于点口，G.求证：AABG与A4。”的面积之积为定值，并求出该定值.

22.已知函数/'(X)=Inx,g(x)=(,其中a>0.

(1)若F(x)=方盛1而一/(霜在(°」)上单调递减，求。的取值范围.

(2)证明：送=㈤11与<ln(n+1),n,fceW*.

KT1

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合4有一个元素，即方程a/-3x+2=0有一解，

当a=。时，A=(x\ax2-3%+2=0}={x|-3%+2=0}={|},符合题意，

当aW。时，ax2-3x4-2=0有一解,

Q

则4=9-8a=0,解得：a=.，

O

综上可得：a=0或a=1,

O

故选：c.

集合力有一个元素，即方程a/-3x+2=0有一解，分a=0,a40两种情况讨论,即可得解.

本题主要考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题.

2.【答案】AD

【解析】解：(i-l)z=2,

__2_2(-1-i)_.

,•z--1+1-(-l+i)(-l-i)-Td-'，

对于A,Z的虚部为-1,故/正确，

对于B,|z|=J(-1尸+(-=。，故6错误，

对于C,z=-1+i,故C错误，

对于。,z2~(-1-j)2=(1+02=2i,故。正确.

故选：AD.

根据已知条件，结合复数的四则运算，先对z化简，再结合复数的性质,即可依次求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的性质，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：向量五=方=(3,1),设。=<a,b>,

八ab-21

cose=丽=GE=~7f'

行在b上的投影向量为Ia\cos9-需=V-2x(―^=)••^嗡=

故选：D.

根据投影向量的计算公式求解.

本题考查平面向量的投影向量的计算方法，属于中档题.

4.【答案】D

【解析】解：三人挑四种书，每人有4种选法，共有43=64种方法，

恰有2人选同一种书的方法有^以废种，即36种方法，

故恰有2人选同一种的概率P=占=丸

1O

故选：。.

由条件求出所有基本事件的个数，再求事件恰有2名阅读者挑选同一种书所包含的基本事件的个数,

利用古典概型的概率公式求概率即可.

本题主要考查古典概型及其概率公式，属于基础题.

5.【答案】A

fl

5Mo=M0・Io=sg或

=50

【解析】解：由题可得，^M=M-,则《

oo即12=50log23,

.t3=50，。出12

强Mo=Mo・

2

因为Eog212=log2(3x2)=log23+2,所以=2tl+t2.

故选：4.

根据题意列出方程组指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合/。比12=1。92(3X22)=

log23+2,得到t3=2tl+t2.

本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

6.【答案】c

【解析】解：(1)当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线；

(2)当切线斜率存在时，设切线方程为，：y-3=k(x-2),

.|2k-3|„<

由(0,0)到切线距离为d=了/二=2,得仁加

此时切线方程为y-3=^(X-2),即5x-12y+26=0.

故选：C.

根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.

本题考查圆的切线方程的求解，方程思想，化归转化思想，属中档题.

7.【答案】c

【解析】解：如图,

取BBi的中点为D,连接CD,ND,

vND//ABX,ND不包含于平面力BiM,力当包含于平面,:.ND〃平面AB】“，

同理CD〃平面ABiM，•:CDCND=D,

:平面CND〃平面,

*PN〃平面4B1M,

.•点P在绯殳CD上,

当PN1CD时，线段PN最短，

v\ND\=722+32=<13,\CD\=742+32=5,|CN|=V42-22=2<3,

贝!||CN|2+\ND\2=\CD\2,CN1.ND,

CN-ND=CD-PN,

...*2口尸=等.

故选：C.

先求出平面CND〃平面4&M,再确定点P在线段CD上,进而由PN1CD得出答案.

本题考查面面平行的判定，考查三角形面积的运用，属于中档题.

8.【答案】A

【解析】解：f(x)满足/(%+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,

所以函数的周期7=6,且关于x=3对称，

因为在(0,3)内单调递增，a=/(2021)=/(5)=/(I),b=心),c=/(Zn2),

又1>ln2>\ny/-e>e-1,

则a>c>b.

故选：力.

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.

本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.

9.【答案】ABD

【解析】解：4：cos82Osin52。一sin8220s52°=sin(52°-82°)=sin(-30)=-白正确；

B:sinlS°sin30Osin75°=sinlS°sin30%osl5°=^sin230°=:,正确；

Lo

C.tan48°+tan72°,—处;军.

tanx48

1-加48%丽72。=+72°)=tan(1200)=一口'钥l天'

D:cos2150—sin215°=cos30°=号,正确.

故选：ABD.

4逆用差角正弦公式求值；B诱导公式、倍角正弦公式化简求值；C和角正切公式化简求值；。倍

角余弦公式化简.

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题.

10.【答案】ABD

【解析】解：对于4,因为U(x)>1,所以人乃为增函数，故力正确；

对于B,由g(x)=/(x)-X,g{x)=f'(x)-l>o,所以g(x)为增函数，故8正确;

对于c"(3)=4,则/(2x-1)>4等价于/(2x-1)>/(3),又f。)为增函数，所以2x-1>3,

解得x>2,所以f(2x-1)>4的解集为(2,+电，故。错误；

对于。，/(2x-1)>2x割介于f(2x-1)-(2x-1)>1=f(3)-3.

即g(2x-1)>g⑶,又g(x)为增函数,所以2x-1>3,解得久>2,所以f(2x-1)>2x的解集

为(2,+8)，故。正确；

故选：ABD.

利用导数与函数的单调性的关系可判断4B,利用函数的单调性解不等式判断.

本题考查导数与函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题，构造新函数是解题关

键.

11.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的焦点弦的几何性质以及焦点弦长、焦半径的计算，考查方程思想和运算能力，

是直线与抛物线的综合问题，属于难题.

设直线珀勺方程为％=my+l，设做/,乃)，8(亚，力)，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达

定理和向量数量积的坐标表示可判断4；由抛物线的定义，结合韦达定理，解方程可得M,可得直

线4B的斜率，可判断8;由抛物线的定义求得p,可得抛物线的方程，可判断C；设直线，的方程为

x=my+l,设力(勺,乃)，B(x2,y2),联立直线方程和抛物线的方程，运用弦长公式和点到直线

的距离公式，求得sinzPMN关于m的表达式，求得最小值，可判断。.

【解答】

解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为尸@,o),

准线方程为X=-1，对于4，可设A(Xi，yJ乃(亚/2),

直线的方程为x=my+1,与抛物线y?=2Px联

立，消去X,可得y2-2pmy-p2=0,

2

可得乃+72=2pm,yty2=-p,

551104•OB=xix2+y，2=与沪+以及=卷一「2=一¥，故Z正确；

对于B,由抛物线的定义可得•田尸|=(与+§)(X2+与)=x62+§+x2)+。

=。+/•(2pm2+p)+。=4P2,解得m=±v-3,则直线的斜率为土一,故8错误；

对于C,若抛物线上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3,由抛物线的定义可得2+§=3,解得

P=2,则抛物线的方程为f=4x,故C错误;

对于。，抛物线的焦点F到准线的距离为P=2,则该抛物线的方程为y2=4x,设直线珀勺方程为

x=my+1，设4(Xi，yi),B(%2，y2)，联立1可得y?-4my-4=0,△=16m2+16>0,

2

yi+y2=4m,所以/+x2=m(yi+y2)+2=4m+2,

22

\AB\=Xi+x2+2=4(m+1),P到y轴的距离为d=殁热=2m+1,

所以sin/PMN=蠢=*=1一而%=L当且仅当m=。时，取得等号，故D

正确.

故选：AD.

12.【答案】ABD

【解析】解：因为BDEF是矩形，所以DE1DB,

又矩形BDEF所在平面与正方形4BC0所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形48CD相交

于BD,

且DEu平面BDEF,所以。E1平面4BC0,

而4。,DCu平面ABC0,所以0EVAD,DCVDE,

而4BCD是正方形，所以4。1DC,建立如图所示的空间直角坐标系,

E

A*.

B

x

则4(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),E(0,0,4),尸(4,4,4),

对于a,CE=(0,-4,4),CF=(4,0,4),

当G为线段AE的中点时，G(2,0,2),得话=(2,4,-2),

设平面CEF的一个法向量为记=(x,y,z),

有巴・竺=-4y+4z=0,则可取沆=(1,-1,—1),

(m-CF=4%+4z=0

因为话•访=2x1+4x(-1)+(-2)x(-1)=0,GBC平面CEF，则GB〃平面CEF，故/正确；

对于B,AE=(-4,0,4),CF=(4,0,4),

所以荏•#=-16+16=00荏1而，故8正确；

对于C,设G=Cq,yi，Zi),则(与一4,y1)Z1)=A(—4,0,4)(4e[0,1])=>G(4-42,0,41),

得BG2+CG2=64A2-32/1+48=64(4-i)2+44有最小值44,故。错误；

对于。,CB=(4,0,0),cos(CB,m)=尚焉=而忐^=¥，

所以点B到平面CEF的距离为|而|.cos(CB,m)=4x?=拶，故。正确.

故选：ABD.

根据面面垂直的性质可得DE1平面4BCD,由线面垂直的性质可得DEl.AD,DCLDE,又AD1

DC,建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线、线面的位置关系和求解点到平面的距

离，结合空间向量线性运算的坐标表示求出BG2+CG2,利用二次函数的性质即可求解.

本题考查线面平行，线线垂直的判定，考查点到平面的距离，考查空间向量的运用，考查逻辑推

理能力和运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】560

【解析】解：二项式。-$7展开式的通项公式为G•x7-r.(_|y=(_2)r,g•/-2r,

令7—27=-1=r=4,

所以(x-，的展开式中%勺系数为(—2)4.6=16x35=560.

故答案为：560.

根据题意可得二项式展开式的通项公式为(-2y.C夕•，令7-=一1,求出r即可求解.

本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

14.【答案】I

【解析】解：a>0,b>l,得匕-1>0,

由a+h=2,得a+(b-1)=1,

L

+(-+rr)[a+(b-l)]=10+止+凸10+2乎亘元二=16,

ah—1、Qb—1八、八a力一ixab—1

当且仅当绝2=言，即a=J,b=[时等号成立.

a0-144

故当a=上匕=/成+言取得最小值16.

3

4-

根据题意可得b-1>0、a+(b-1)=1,结合基本不等式中"1"的用法计算即可求解.

本题考查了"乘1法"与基本不等式的性质，属于基础题.

15.【答案】3

【解析】解:因为f(X)=X(x-c)2,所以U(x)=(X-c)(3x-c),

又因为函数f(X)=x(x一c)2在X=3处有极小值，

所以八3)=(3-c)(9-c)=0,解得C=3或c=9,

当c=3时，八%)=(%-3)(3%-3),

所以x>3时，fQ)>0,1<x<3时，/'(%)<0,

所以函数f(x)在x=3处取得极小值；

当c=9时,f{x)=(x-9)(3%-9),

所以3<%<9时，/G)<0,%<3时，/7为>0,

所以函数f(乃在x=3处取得极大值，不合题意，舍去.

故答案为：3.

利用导数在x=&处取到极值的必要不充分条件/Go)=0,从而求出c值，再对c进行检验即可求

出结果.

本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】<5

【解析】解：由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±KF2(c,0),

不妨设点在第二象限，贝狄财坊=会,

由。为“尸2的中点，0、/、。三点共线知直线。。垂直平分,

n

贝mUi。le。r.-y=-1x,有-±-赤=一。，且=1鼠,=1丁m+c，

解得m=噌，兀=今所以M(咚1勺，

将M(咚1勺，即(若。刍，代入双曲线的方程，

得心算一殍=1，化简可得c2=5a2，即e=门，

aLcLcz

当点M在第三象限时，同理可得e=n.

故答案为：屋.

设,根据题意可知。。垂直平分MF2,利用两直线垂直斜率之积为-1和中点坐标公式可得

段=且J♦n=；•吟，求出m、n,得出点M坐标，代入双曲线方程得到关于a、c的方程，结

合离心率的定义化简即可求解.

本题主要考查了双曲线的性质，属于中档题.

17.【答案】解：⑴•.・C=2bcosB,C=y,

在小ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosB,sin2B=三,

又0<B<,则0<2B〈第:2B=,解得B=;

(2)如图所示,设。为BC的中点,贝必。为BC边上的中线.

若选。：由⑴得B屋，4=，设BC=AC=2x,

由余弦定理得cos年=4/誉2值,则赫=2g,

32-2x-2x

故周长为(4+2<^)x=4+2y/~3,解得x=1,则BC=AC=2,AB=2<3,

则在△ABD中，由余弦定理得cosB="B;编加=^+1-AD2=<3,解得力0=「.

2ABBD4V32

若选②：VS^ABC=ShABC-^absinC=,即6=V-3,则CD=?,

在44c。中,由余弦定理得=AC2+CD2_2AC.CDcosC=3+1-2xxx

42

I2，4，

4。=早，故8c边上的中线长为子.

【解析】⑴利用正弦定理将条件中的边转化成角，将c=?弋入，即可求出sin2B,即可得出答

案；

(2)若选⑦,首先根据44BC的周长求出三角形三边长度，然后在△4BD中使用余弦定理即可求出

中线力。的长度若选②，首先根据△4BC的面积求出4c与8C的长度，可得CD的长度然后在△ACD

中使用余弦定理即可求出中线4。的长度.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解：⑴由题意可得1孙+=77即**葭E-36

2

+5d-I)=(%+d)(ax+10d)(°-4d)•(7+5d)-36

又因为d＞0,所以｛)：；，所以即=n+1..............................(5分)

(2)•:---=---------=—.....—

')anan+i(n+l)(n+2)n+1n+2'

711,11,,1111n

n2334n+ln+22n+22(n+2),

•••存在neN*,使得7；—4即_】＞0成立.

二存在几GN*,使得温力-"n+2)＞。成立.

即存在nGN*,使得a＜而可成立.

温斤=温的42(当且仅当n=2时取等号)•

•••A＜^,即实数；I的取值范围是(—8忐...................(12分)

【解析】⑴利用等差数列的和以及等比数列的通项公式，求解数列的首项与公差，然后求解数列

的通项公式.

(2)数列七户)的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，通过T"-4厮-1＞。成立.说明存在

anan+l

neN*,使得温万-+2)＞0成立.得到2＜而看成立.利用基本不等式转化求解即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，等差数列以及等比数列的应用，是中档题.

19.【答案】(I)证明：因为在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，

所以DE〃BC,AD=AE.

所以41。=&E,又。为0E的中点，所以4。1DE.

因为平面410E1平面BCE。,

平面为DECI平面BCE。=DE,且&。u平面公£)£1,

所以公。1平面BCE。,

因为BDu平面BCED,

所以公。1BD.

(U)解：取BC的中点G,连接0G,所以。E106.

由(I)得七。10E,右。10G.

如图建立空间直角坐标系。-xyz.

由题意得，&(0,0,2),6(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-l,0).

所以砧=(2,-2,-2),A^D=(0,-1,-2),砧=(2,2,-2).

贝©•黑=0,

[n-ArD=0,

即舄魂觉=°'

令％=1,贝！Jy=2,z=—1,所以元=(1,2,-1).

设直线&C和平面&BD所成的角为8,

贝！IsinO=|cos(n,^C)|=黑翼=号.

故所求角的正弦值为学.

(in)解：线段上存在点尸适合题意.

设不甘=A卡，其中46[04].

设F(Xi，yi，Zi),则有(x〕yi，Zi-2)=(22,22,-2A),

所以与=2"%=22,Z]=2-24,从而尸(2尢242-2A),

所以而=(22,2A+1,2-24),又阮=(0,4,0),

所以际而屈心黯=।的+"

|£,F||SC|4^(2A)2+(2A+l)2+(2-2a)2'

________|24+1|__________£2?

(21)2+(2a+l)2+(2-2A)27'

整理得16万—24a+9=0.解得4=弓.

所以线段4C上存在点尸适合题意,且第=I.

【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用直线与平面所成角的求法，考查空间想象能

力，转化思想以及计算能力，属于中档题.

(I)证明41。1。立结合平面&OE1平面BCEO,推出公。，平面8CE。,即可证明4。1BD；

(U)取BC的中点G，连接OG，推出OE1OG.ArO1OE,&。1OG建立空间直角坐标系。一xyz.求

出平面&B。的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线&C和平面&B。所成的角的正弦值；

(III)设审=AA^C,其中4G[0,1].求出前=(2A,2A+1,2-2A),结合近=(0,4,0),然后利用空

间向量的数量积求解异面直线所成角，推出结果即可.

2+3+4+5+6+8+9+11

.【答案】解:(l)x==6,y=白?=1%=等=6.075,

208

334.1-8x6x6.075

所以b_20.625

^=lxl~nx356-8x36

c八

又因为a=y-bx'所以a=6.075-0.625x6=2.325，

所以年收入的附加额y与投入额x的线性回归方程为y=0,625%+2.325；

(2)8个投入额中，"优秀投资额"的个数为5个，故X的所有可能取值为0,1,2,3?(X=0)=:=表,

P(X=1)=粤=JI,P(X=2)=辱=mP(X=3)=乌=春

、}C§56，、,C§56，、?Cg561

则X的分布列为：

X0123

1

P15155

56562828

【解析】(1)根据已知数据和参考公式，即可求出y与投入额X的经验回归方程；

(2)求出X的所有可能取值和对应的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出答案.

本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.

21.【答案】解：(1)过&且斜率为子的直线的方程为y=f(%+1),

令x=1,得y-¥,

a2-b2=1

由题意可得H+工_1,解得=2,b2=l.

2

•・•求椭圆E的方程为：+y2=i；

证明：(2)由题意知，直线BC的斜率存在，设直线BC:y=收+2,

0(%1，71),C(x2,y2),

y=kx+2

联立/上21得(1+2fc2)%2+8kx+6=0.

e+y=i

-8k_6

•1,%+"2=询'X/2=询'

由4=16k2—24>0，得/c2>—,

4

・•・乃+为=k(Xi+%2)+4=五普,

2

y/2=（依i+2）（依2+2）=kxrx2+2k&+x2）+4=

直线4。的方程为y=若无-1,令y=0,解得％=惫,

则“(惫，°),同理可得G(危，。)，

1Xi1%23%1%2

BC-OH=X1XIl><X3X|l=l1

,■,^^2T+^2T+?；4(l+y1)(l+y2)

6

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