2023年高考数学真题汇编含答案

目录

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（新课标I卷）.........................................1

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学（新课标H卷）........................................8

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国甲卷）......................................15

2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国乙卷）......................................24

2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国甲卷）.....................................34

2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国乙卷）.....................................18

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学（新课标I卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合加={-2,-1,0,1,2},N={x|f—x—GNO},则MAN=[C]

A.{—2,—1,0,1}B.{0,1,2)

C.{-2}D.{2}

1-i

2，已知z=2+2i'则z—z=[A]

A.-iB.iC.OD.1

3.已知向量a=(L1),3=(1,-1).若3+劝)_1_3+〃力),则【D】

A.X+〃=1B.4+〃=—1

C.D.u=—\

4.设函数1x)=2ML")在区间(0,1)单调递减，则。的取值范围是【D】

A.(—8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

5.设椭圆Ci：a+y2=l(tz>l),Ci：，+/=1的离心率分别为e\,e2.若e2=小e\,则a

=[A]

A.¥B.啦C.小D.^6

6.过点(0,—2)与圆f+丁-4x—1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=[B]

7.记S”为数列{a.}的前〃项和，设甲：{a,,}为等差数列；乙：为等差数列，则【C】

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8,已知sin（a一夕）=；,cosasin£=/，则cos（2a+20=[B]

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据XI,X2,…，X6,其中XI是最小值，X6是最大值，则【BD】

A.X2,X3,X4,X5的平均数等于XI,X2,…，X6的平均数

B.X2,X3,X4,X5的中位数等于XI,X2,…，X6的中位数

C.九2,X3,X4,X5的标准差不小于无I,X2,…，X6的标准差

D.X2,X3,X4,X5的极差不大于XI,尤2,…，X6的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级&=20Xlgj，

其中常数po3）>O）是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声源的声压级:已知在距离

与声源的距离

声源声压级/dB

/m

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为“，p2,P3,则【ACD】

A.pi2P2B./?2>10/73

C.p3=lOOpoD.piW100/72

11.已知函数/U）的定义域为R,1孙）=方力+%2/&），则【ABC】

A./（0）=0B./（l）=0

C./U）是偶函数D.x=0为«r）的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的

有［ABD］

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生须从这8门课中选修2门或3

门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.

14.在正四棱台ABCO-AIBGOI中，A8=2,Ai8i=l,44|=6，则该棱台的体积为—平

15.已知函数八x）=cos3%—13>0）在区间［0,2以有且仅有3个零点，则口的取值范围是也

31-

X2

一方=1（40,心0）的左、右焦点分别为乃，仍.点A在C上，点3在

16.已知双曲线C：a2

y轴上，FiA=-^FiB,则。的离心率为一邛.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知在△A8C中，A+B=3C,2sin（A-Q=sinB.

⑴求sinA；

（2）设AB=5,求AB边上的高.

JT

解：(1)由题意，A+3+C=4C=n,则C=］，

又2sin(A—Q=sin(A+Q,

所以2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

即sinAcosC=3cosAsinC,

即tanA=3tanC=3,

所以"n,4=3,又sii？A+cos2A=1,A£(0,n),

COS

g、l.一生叵

所以sinA一1.，

(2)由(1)得，tanA=3>l,

JTJIyio

所以了<A(爹，所以cosA=

10，

因为sinB=sin(A+O=sinAcosC+cosAsinC=^^X乎+^X乎=乎

5X空

又由正弦定理得磊=景,则A3喘普=-/-=2①‘

2

故边上的高为ACsinA=2/i5乂4俱=6。

18.(12分)如图，在正四棱柱中,AB=2,44i=4.点A2,&,Ci,£>2分别在棱

AAi,BB\,CC\,DD\±,A42=L8&=。£>2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A2D2；

(2)点P在棱上，当二面角P-A2c2-6为150。时，求&P.

解：(1)作A2A',88于4,D2D'LCCi于。，

则AW//DiD',AW=6。'，

在平行四边形A'中，A2D2//A'D',

因为A42=l,BB2=DD2=2,CC2=3,

所以C2。'=B2A'=1,

在正四棱柱中，易知C2。'//BzA',

所以在平行四边形4&C2。'中，B2C2//D'A'//A2D2,

(2)以8为坐标原点，BC,BA,8由所在直线分别为尤，y,z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，则C2(2,0,3),A2(0,2,1),£>2(2,2,2),

设P(0,0,h),则42。2=(2,0,1),A2c2=(2,-2,2),

A2P=(0,-2,〃一1),

设平面A2D2C2的法向量为"i=(相,y\9zi),

n/A2£>2=0,Zxi+zi=0,

则叫2…i+2zi=0,令1'则窈=一2—,

・A2c2=0,

故〃/=(1,—1,12),

设平面A2c2P的法向量为〃2=(X2,>2,Z2),

“2・A2c2=0,2x2~2y2+2Z2=0,

z

则即,,z、令Z2=2,则*=/I—1,X2=h-3,

.〃2-A2P=0,1一2产+(/?-l)Z2=0,

故〃2=(/7—3,h—1,2),

|〃/・〃2|____________________6_________________

贝”cos150°I=

|«/||«2|加7(/L3)」+(5—1)?+4

_________________小

yf2-ylCh—2)2+32

解得〃=1或3,则82P=|2—川=lo

第18题解图

19.(12分)已知函数4x)=a©+a)—x.

(1)讨论7U)的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，凡r)>21na+].

解：(1)/(%)=9一1,当aWO时，f(x)<0,/U)在R上单调递减，

当a>0时，令/(x)=0,解得x=-Ina,

则当xG(—8,一坨a)时，f(x)<0,当*e(—Ina,+8州寸，f(%)>0,

即加)在(一8,一Ina)上单调递减，在(Tna,+8)上单调递j曾，

综上，当aWO时，/U)在R上单调递减；

当a>0时，火x)在(-8,一Ina)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增.

(2)由(1)得，当a〉0时，兀¥)在(-8,—]na)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增，所以

y(x)2y(x)min=/(—Ina)=a(/+a)+lna=1+«2+lna,

33l

要证7(x)>21n,只需证l+H+in〃>21n,即4—g”-g>0,

ii2x^—1

令g(x)=/—Inx—5(x>0),则g，(x)=2x—;=~--,

乙JiA-

令g，(x)=0,得尤=孚(负值舍去)，

所以当xW(0,乎)时，g'(x)<0；当乎，+8)时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,乎)上单调递减，在停，+8)上单调递增，

所以g(x)2gfW]=1—In哗—1=1In2>0,

故原不等式得证.

2I

20.(12分)设等差数列｛。〃｝的公差为"且力>1.令5="~,记S〃，T”分别为数列｛如｝,｛加｝

Un

的前〃项和.

(1)若3a2=30+。3,53+73=21,求｛如｝的通项公式;

(2)若｛%｝为等差数列，且S99一论9=99,求d.

解：(1)由3a2=3ai+a3得3(ai+J)=3ai+ai+2d,

”,r^+n〃+1

即ai=d,所以Un—ndt则bn—>~-，

3X(3-1)d,2+3+49

所以S3+T3=3aH2十一d-=64+[=21,

即2法一7d+3=0,解得d=3或d=g(舍去)，

所以=3几

(2)因为｛瓦｝是等差数列,

所以历+加=2从，即弓=2X-4-3，

ci\a\~r2da\~rd

即af—3md+2摩=0,即(ai—d)(a\—2d)=3

所以ai=d或ai=2d,

(山+。99)X99(h+尻9)X99

又599—799=22=99,

所以(。1+499)—(4+尻9)=2,

当ai=d时，an=nd,则仇=勺」，所以｛儿｝的公差为力，

由(ai+a99)—Si+/w)=2得("+99J)—弓+^^)=2,

化简得50法一4—51=0,即(504—51)3+1)=0,

解得公肃或1=—1(舍去)；

当ai=2d时，a”=ai+(〃一l)d=(〃+l)d,

则历尸(露d=d，所以｛瓦｝的公差为5，

由(m+o99)—Si+/w)=2得(2d+1004)—=2,

化简得5/-4-50=0,即(514+50)(4-1)=0,

解得d=—第(舍去)或4=1(舍去)；

综上所述，d=|^.

21.(12分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的

命中率均为08由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为05

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知:若随机变量必服从两点分布，且P(M=1)=1一尸(必=0)=如i=l,2,…，〃，则E(£X,)

/=1

=.£/,记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(r).

i=l

解：(1)第2次投篮的人是乙的概率为0.5X0.4+0.5X0.8=0.6.

⑵设第z•次是甲投篮的概率为2，则第i次是乙投篮的概率是l—pi,

则p,+i=0.6p/+0.2(1一㈤=0.4p,+0.2,

,,91

构造等比数列pi+i+%=5(/?；+2),解得4=-w,

则P，+T=1伍一,,

V7111n,l11J2'

又P[=5，PL]，则P，=6义区

故口=，停)’1+3-

L俘I”「1

11⑸n5/八〃n

(3)E(Y)=pi+p2H----X------------Y=同[1—]。J+3,

1-5

故后⑴=1[1—(1)"]+3-

22.(12分)在直角坐标系g中，点P到x轴的距离等于点P到点(0,，的距离，记动点尸

的轨迹为W.

⑴求卬的方程；

(2)已知矩形A8CD有三个顶点在W上，证明：矩形A3CD的周长大于3s.

解：⑴设P(x,y),依题有|y|=^jc2+|y—2J，

即y=/+1.

(2)不妨设A,B,。在卬上，

则BA_LD4,设A(a,,直线BA,D4斜率分别为攵和一"，

由对称性，不妨设固W1,直线班的方程为y=Z(x—4)+层+(,

卜=9+9,

联立J]消去y可得x2一"+A。一屋=0,

\y=k(x—〃)+/+不

所以XA+XB=攵，所以5年一。，(攵-a)2+j,则|A3|=^/l+F\k-2a\,

同理可得|AD|=[1+(-/2\-\-2a\|1+2«.

所以|A阴+\AD\="乒\k-2a\\i+2a\

1+—(\k-2a\+：+2a)

1+k2k+^.I(1+F)3

Vk①,

1+2«|利用绝对值三角不等式消元.

3

、儿(m+1)1

设人根)=~=苏9+3根+而+3,m£(0.1］，

则/(")=2〃+3-，=(2m—1)(〃2+1)2

m2

1)单调递增,

单调递减,

所以|A阴+\AD\2乎②,

所以矩形周长为2(|A阴+\AD\)>35.

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学(新课标n卷)

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.在复平面内，(l+3i)(3—i)对应的点位于【A】

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.设集合A={0,~a},B={\,a~2,2a—2},若则a=[B]

A.2B.1C.|D.-1

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟

从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名

学生，则不同的抽样结果共有【D】

45152040

1

CA-4C(X)•C22004不T中BjCx)•C2()04和T

30304020

1

Cj,C00•C^20()kIT中DC400•C^2(X)和IT

4.若yu)=a+〃)ln2t+i为偶函数，贝Ua=[B]

A.-1B.OC.1D.1

r2

5.已知椭圆C：y+尸=1的左、右焦点分别为Fi,Fi,直线产无+加与C交于A,8两点,

若△BAB面积是△BAB面积的2倍，则m=[C]

2小巾2

A.B.2C.—D.—

6.已知函数人工)=。寸一Inx在区间(1,2)单调递增，则。的最小值为【C】

A.e2B.eC.e-1D.e-2

7.已知a为锐角，cos。=与必，则sin彳=[D]

7-1+小

B.

8

r3-木-]+小

J4D.4一

8.记&为等比数列{如}的前〃项和，若S4=-5,S6=21S2,则S8=[C]

A.120B.85C.-85D.-120

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,为底面直径，ZAPB=120°,抬=2,点C在底面

圆周上，且二面角P-AGO为45。，则【AC】

A.该圆锥的体积为n

B.该圆锥的侧面积为45n

C.AC=2y/2

D.的面积为小

10.设。为坐标原点，直线y=一小(无一1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,

N两点，/为C的准线，则【AC】

A.p=2

B.\MN\=1

C.以MN为直径的圆与/相切

D.△OMN为等腰三角形

11.若函数_/U)=alnx+§+A(aWO)既有极大值也有极小值，则【BCD】

A.bc>QB.ab>QC.b2+Sac>QD.ac<0

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为a(0<a〈l),

收到0的概率为1一如发送1时，收到0的概率为以0VQV1),收到1的概率为1一氐考虑

两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每

个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为

译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译

码为1).【ABD】

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(l-a)(l一夕A

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为夕(1一夕产

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为伙1一4)2+(1-£)3

D.当0VaV0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案

译码为0的概率

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a,〜搬足|。一川=、万/\a~f~b\=\2a-b\,则\b\=__小.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的

正四棱锥，所得棱台的体积为_28.

15.已知直线九一/町+1=0与。C(x—1)2+>2=4交于A,5两点，写出满足3c面积为

Q

5”的m的一个佰一2(答案不唯一).

16.已知函数/(x)=sin(cox+s),如图，A,B是直线与曲线y=y(x)的两个交点，若|4?|

=y，则.*")=-*•

第16题图

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知AABC面积为小，。为

的中点，且AZ)=1.

JI

(1)若/4。。=可,求tan3；

(2)若从+。2=8,求。，c.

解：(1)因为。为5c的中点，

所以S&ABC=2S»ACD,

所以SAACD=乎X1-CD-sin-y,

解得CQ=2,

而cosZADB=—cosZADC=—^,

1+4—AB21

即cosNADB=2X1X2=-2'

解得AB=yft,

37+4-15s雨.及叵

故33=双行14，则sinB一左屋

J3

故tanB=c.

(2)设BO=x,由cosZADB+cosZADC=0.

1+x2-c21+x2—/72

得+2x=°,

即2(1+、2)=炉+，=8,解得x=S.

又SAACD=；XIX小XsinNAOC=半，

JI

BPZADC=—,所以AO既是中线也是高线.

则(小)2=2,故Z?=c=2.

an—6,“为奇数，

18.(12分)已知｛m｝为等差数列，bn='c冰/申跑记S，T”分别为数列｛金｝，｛儿｝的前

[2a,,,“为偶数.

〃项和，54=32,73=16.

(1)求｛z｝的通项公式；

(2)证明：当〃>5时，Tn>Sn.

解：(1)由题得〃i=ai—6,bi=1ai,Z?3=«3—6,

故乃=8|+82+/?3=。1+2“2+。3—■12=4磁—12=16,解得“2=7,

又S4=ai+02+03+44=2(02+613)=32.解得。3=9,

故公差为6=2,ai=7—2=5,

所以｛小｝是首项为5,公差为2的等差数列，所以a“=2〃+3.

⑵由⑴得S,=5〃+〃(〃―l)=/+4",

[2〃-3,〃为奇数，

b，，=[4n+6,〃为偶数，

若〃为奇数，

贝I」〃=(—1+3+…+2〃一3)+(14+22+…+4〃+2)

,.鹿+1,n-1

(—1+2〃—3)X—z(14+4〃+2)X—3层+5〃—10

=2+2=2'

〃2—3〃―10

令Tn—Sn=----2---->6解得〃>5或〃<一2(舍)，

若〃为偶数，

则7»=(—1+3+…+2M—5)+(14+22+…+4九+6)

n

(—1+2〃-5)X—(14+4〃+6)X—3n

=2+2=-2-'

〃2-n

令Tn-Sn=^~>0,解得n>1或〃<0(舍)，

综上，当〃>5时，Tn>Sn.

19.(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差

异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于

或等于C的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；

误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的

频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；

(2)设函数1c)=p(c)+q(c),当cG［95,105］时,求Qc)的解析式,并求人?)在区间［95,105］

的最小值.

解：(1)患病者频率分布直方图中第一个矩形所对应的概率为0.01,

要使p(c)=0.5%,则c为第一个矩形的中点值，故c=97.5,

所以g(c)=­2—+0.002X5=0.035=3.5%.

(2)当cG［95,100)时，p(c)=0.002(c—95),

^(c)=0.002X5+0.01X(100-c)=1.01-0.01c,

/c)=O82—。008c>0.02,

当c£［100,105］时,p(c)=0.002X5+0.012(c-100)=0.012t—1.19,

^(c)=0.002(105-c)=0.21-0.002c,/c)=0.01c-0.98,

当c=100时，.*c)min=0.02,

‘0.82—0.008c,c£[95,100),

故<c)=<

O.Olc-O.98,ce[100,105],

故_/k)在区间［95,105］的最小值为0.02.

20.(12分)如图，三棱锥A-8CO中，DA=DB=DC,BDLCD,NAOB=NA£>C=60。，E为

8C的中点.

(1)证明：BCLDA；

(2)点尸满足辟=DA,求二面角。-ARF的正弦值.

解：(1)连接。E,AE,因为DB=DC,E为的中点，所以

又DB=DA=DC,ZADC=ZADB=60°,

所以△AOC/AADB,则AC=AB,所以AELBC,

又AE,OEU平面AOE,AEHDE=E,

所以BC_L平面ADE,而DAU平面AOE,所以BC_LD4.

(2)不妨设DA=OB=OC=2,则8C=2啦，故DE=AE=p,

则所以AE上DE,故AE,BC,两两互相垂直，

则以E为坐标原点，以前,EB,EA方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系，

第20题解图

则D(A/2,0,0),A(0,0,V2),8(0,啦，0),E(Q,0,0),

由肆=DA得F(-巾,。，巾),

所以防=(6,一啦,0),BA=(0,一啦，y[2),

设平面A8D的法向量为m=(xi,yi,zi),

m•BD=y[2x[~\/2yi=0,

则彳_令zi=l,则xi=l,yi=l,

jn-BA=—y[2y]+A/2ZI=0,

则力=(1,1,1).

AF=(一陋，0,0),BF=(一也，一色，y[2),

设平面ABE的法向量为〃=(尤2,)2,Z2),

AF-n=0,[—\/2X2=0,

则彳即彳厂则X2=0,令”=1,则Z2=l,

BF.«=0,1-\2X2-V2^2+V2Z2=0,

所以〃=(0,1,1),

则cos(m,n)=乎，

故二面角O-A3-E的正弦值为、/年3.

21.（12分）已知双曲线。的中心为坐标原点，左焦点为（一2小，0）,离心率为小.

（1）求。的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为4,A2,过点（一4,0）的直线与。的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线M4与Mb交于点P,证明：点P在定直线上.

c-2y/5»c=2,\[5,

解：（1）由题意可知（c得｛'

『小r，仿=2，

则廿=16,故C的方程为£一若=1.

41O

(2)设M(xi,yi),N(xz,>2),

IMN：x=my-4,/AM：x=m\y-2,IAIN：%=加2y+2,

x=my—4,

x2y21肖冗WW(4/?z2—1)y2—32my+48=0,

)4-16=b

r.32m

»+*=^T

则j故2myiy2=3(yi+*),

fx\+2^x2~2

\x\=my\—4,

设尸⑶,)’则由匕s=〃m\3t+-22,,2("l+"72)Iyi”，,将Ji

-代

mim2xi+2-2*-2

i—2+根>2—6]

’(yi》2J2722yly2-(6yi+2y2)

入上式得,

加)〃一2的2-63y\—y2

yi”

-1rll3(yi+>2)­(6yi+2y2)—3yi+/__

又2my\yi=?>(y\+y2),则s=2,_,

3yLy2

则点尸在定直线x=—1上.

22.(12分)(1)证明：当0<x<l时，%—x2<sinx<x；

(2)已知函数/(%)=cosar—In(1—x2),若％=0是y(x)的极大值点，求。的取值范围.

解:(1)设g(x)=x—x2—sinx(0<x<1),

贝1Jg'(x)=l—2x—cos九，g"(x)=-2+sinx<0,

则/⑴在(o,1)内单调递减，则g'a)vg'(o)=o,

所以g(x)在(0，1)内单调递减，则g(x)〈g(0)=0，即%一fvsinx,

同理，设h(x)=sinx—x(0<x<1),贝U〃'(x)=cosx——1《0,

则〃(幻在(o,1)内单调递减，

贝(jA(x)</z(0)=0,贝ljsinx<%,

故当04<1时，x—x2<sinx<x.

2x

⑵由题知了(尤)=—asinax+j^,ff(0)=0,

g、i〃,2(1—x2)+4/

所以/(%)=~。9cosax+(-W)2-

2+2『

=­a9cosax-x

(I-%2)2

/(0)=2—〃2,

①若((0)=2—屋>0,即一也<a<^2，

易知存在<5>0,使得x£(0,6)时，/'(x)>0,

所以/(X)在(0,6内单调递增，所以/(x)>/(0)=0,

所以/(x)在(0，6)内单调递增，与x=0是./U)的极大值点矛盾;

②若"(0)=2—序<0,即&<—&或a>小时，

存在加>0,使得(一9,S')时,f(x)<0,

所以1(x)在(一加，6,)内单调递减，

因为/(0)=0,所以当一(5<尤V0时，f(x)>0,兀x)单调递增，

当0<x<(5时，fW<0,/U)单调递减，

满足x=0是勺极大值点；

③若广(0)=0,即。=地，

又/U)为偶函数，故只需考虑的情形，

此时了(x)=一/sin(也x)+pz^2，

由(1)得当0<x<1时，x>sinx9

当OVxV坐时，一立sin(y[2x)>—2x,

则乎)时，.「(x)>—=2x(1J,-1)>0,

;(x)在(0,乎)内单调递增，与尤=0是ZU)的极大值点矛盾，舍去.

综上，。的取值范围为(一8,一啦)U(V2，4-00).

2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国甲卷)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集U=Z，集合M={x|x=3Z+l,%ez},N={x|x=3A+2,%£Z},则Cu(MUN)=【A】

A.{x|x=3Z,kSZ}B.{巾=3攵-1,%£Z}

C.{x|x=3Z—2,kwz}D.0

2.设a£R,(a+i)(l—ai)=2,则a=[C]

A.-2B.-1C.1D.2

3.执行右边的程序框图，则输出的8=[B]

A.21B.34C.55D.89

/输出8/

4.已知向量a,5，c满足同=步|=1,|c|=^/2，且a+〃+c=O,则cos<a~c,b—c>=[D]

4224

A..gB.-gC.§D.7

5.设等比数列｛z｝的各项均为正数，前〃项和为S,若ai=l,55=553-4,则S4=[C]

A.4B.容C.15D.40

oo

6.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好

滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概

率为[A]

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

7.设甲：sin2a+sin2J^=L乙：sina+cos7=0,则【B】

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知双曲线C：弓=l(a>0,8>0)的离心率为小，。的一条渐近线与圆。-2)2+。

—3)2=1交于A,B两点，则|A8|=[D]

亚维3^5也

A.5B.5C.5D.5

9.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中

安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有【B】

A.120种B.60种C.30种D.20种

(JIAJI

10.函数y=/(x)的图象由函数y=cos9+不)的图象向左平移不个单位长度得到，则y=/(x)

的图象与直线y=g尤一义的交点个数为【C】

A.1B.2C.3D.4

11.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,NPCA=45。，则△PBC

的面积为【C】

A.2啦6.372C.4巾D.6蛆

12.设O为坐标原点，Fi,仍为椭圆C：5=1的两个焦点，点产在。上，cosNF1PF2

=|,则|OP|=[B]

A.今B.粤C.弓D.亭

二'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若7(x)=(x-Ip+or+sinQ+受)为偶函数，则a=2.

j3x—2y<3,

14.若x,y满足约束条件，-2x+3yW3,则z=3x+2v的最大值为15.

Lr+y21,

15.在正方体中，E,F分别为AB,GU的中点.以EF为直径的球的球面与

该正方体的棱共有12个公共点.

16.在△ABC中，ZBAC=60°,AB=2,BC=«,N84C的角平分线交3c于。，贝ijAO=

2.

三'解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)记S为数列｛小｝的前〃项和，已知z=l,2sli=nan.

(1)求｛&”｝的通项公式；

(2)求数歹,叫的前〃项和7；.

解：⑴因为2S”=〃厮①,

所以当〃=1时，2a1=S，解得ai=0；

当〃22时，2sl=(〃-1)勾”1②，

则①一②得2。"=〃&"—(〃-1)。"一|,即(〃-2)a”=(〃-,

所端〃一1

n―2•

则公n-1in~204_303_2

n—2an-2n-3432'Q21

将上式两边同时累乘可得点=n—\,所以斯=(〃-1)02=〃-1；

当〃=1时，0=0满足上式，故小=〃一1.

(2)由⑴可得z=〃-1,则母1=生,

所以4=0+养H-----卜日③，

1n与

2丁”=了^+T④,

则③_④得;Tn=2+/---

==1_±〃

所以]Tn一12"2n+1

2

所以〃=2一室.

18.(12分)如图，在三棱柱ABC-AiBiC中,AiCJ_平面ABC,NAC8=90。，AA\=2,Ai到平

面BCC\B\的距离为1.

⑴证明：AiC=AC；

⑵已知A4到BB\的距离为2,求AB\与平面BCC\B\所成角的正弦值.

解：（1）因为AC,平面ABC,所以ACAC,AxCLBC,

因为NACB=90。，所以ACJ_BC,

又ACCAC=C,AiC,ACU平面AAiGC,故8C,平面441clC.

因为BCU平面BCCiBi,所以平面BCG8i_L平面441CC

如图①，过4作AQ_LCG交CG于点。，

因为平面BCCBm平面A41cle=CG,且AiOU平面A4C1C,

所以40,平面BCC\B\,

又Ai到平面BCGBi的距离为1,故AI£>=1,

在RtZ^AiCiC'11,2CCi,A]D—^AiCi,A\CtAiAiCP'—CC」,

|AiCi•AiC=2,

即Ad+Ad=4,解得4c=4C=啦.

故4C=AC

(2)由(1)得，AC=yf2,

在RtZ\A3C中，作CELAB交A3于点E,连接AiE,如图②,

设BC=m,CE=t,则AB=y/2+m2,

y[2m

所以AC8C=ABCE,即也•〃2=弋2+加2则t=

^2+m2

又在Rt"CE中，/+2券m2=、编/4+4出〃於,

在平行四边形A41B8中，作4bJ_8Bi交8B1于点R因为A41到的距离为2,

所以A\F=2,则AiE•AB=BBi•A\F,

即北:；；•山+苏=2X2,解得或加=—小（舍），

由（1）知，AiC±AC,A\C±BC,AC±BC,

则以N,CB,C4所在直线分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系。一盯z.

则A（啦，0,0）,Bi（一啦，小，/），4（0,0,m）,0（-^2,0,啦）.

由（1）知，4。为平面BCGB的一个法向量，且。为CC中点，

则。（一乎,0,阴,4。=（一坐0,一阴,

又ABi=（一2巾，小，巾）,设A8与平面8CC闰的夹角为仇

ABi•4。V13

则sin。=|AB,|.\AiD\13

故ABi与平面BCGBi所成角的正弦值为书.

图①图②

第18题解图

19.（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只

分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组

的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).

⑴设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

⑵试验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.8

26.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.5

18.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的

数据的个数，完成如下列联表：

<m2m