北京十五中学2023年九年级上册数学期末统考模拟试题（含解析）

北京十五中学2023年九上数学期末统考模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若关于x的方程f+（2Z+l）x+公一i=o有两个不相等的实数根，则攵的取值范围是（）

A.k4—B.k<—C.42—D.k>—

4444

2.电影《流浪地球》一上映就获得追捧，第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，设第一天到

第三天票房收入平均每天增长的百分率为x,则可列方程（）

A.8（1+x）=11.52B.8（l+2x）=11.52

C.8（1+x）2=11.52D.8（1-x）2=11.52

3.4ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为（）

BC

75R2#>「1n,

AA.——B.C.—D.2

552

4.如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明（）

A.AB=AD且AC_LBDB.AB=AD且AC=BDC.NA=NB且AC=BDD.AC和BD互相垂

直平分

5.若点4（%,-6）,8（与-2）,C（毛,2）在反比例函数y=H（加为常数）的图象上，则占，々，W的大小

x

关系是（）

A.xt<x2<x3B.x3<x2<x,C.x2<x3<D.x2<xt<x3

6.为了得到函数y=2/的图象，可以将函数y=—2Y-4x+l的图象（）

A.先关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向上平移3个单位长度

B.先关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向下平移3个单位长度

C.先关于y轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向上平移3个单位长度

D.先关于y轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向下平移3个单位长度

7.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则直线y=bx+k的图象大致是（）

8.如图，是。。上的点，则图中与NA相等的角是（）

C.ZDEBD.ZD

9.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()

A.x2+-=0B.(X-1)2=(X+3)(X-2)+1

X

C.x=x2D.ax2+bx+c=0

10.如图，在AABC中，点D是AB边上的一点，若NACD=/83口=1,人02,人口（：的面积为1,则41^»的面积为（）

A

A.1B.2C.3D.4

11.口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实

验后发现摸到白球的频率稳定在0.3,则白球的个数是（）

A.5B.6C.7D.8

12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,AC与3。相交于点O,N是AO的中点，点M在BC边上，P是OD的中点,

过点P作PM_LBC于点M,交OC于点NJ则PN・MN，的值为（）

A.1B.72C.2D.

3

二、填空题（每题4分，共24分）

13.在AA8C中，若NA、08满足sinA—；+JtanB一若=0,则AABC为______三角形.

14.已知点A（X］，x）,6（%2，%）在二次函数.丫=（%一1）2+1的图象上，若%＞马〉1，则》（填

“〉，，“＜，，"="）

15.已知AABCS^A'ITC',SAABC：SAAB'C'=1：4,若AB=2,则A'B'的长为.

16.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是R3ABC的两条边，△ABC最小的角为A,那么tanA的值为

17.已知OO的周长等于6ncm,则它的内接正六边形面积为cm2

18.如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影

子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AOAB）,影长的最大值为m,最小值为n,那么下列

结论中：①m＞AC；②m=AC；③n=AB；④影子的长度先增大后减小.正确的结论序号是.（直角填写正确

的结论的序号）.

才B/

CA

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，A3是。的弦，过A3的中点E作ECLQ4,垂足为C,过点8作直线30交CE的延长线于

点。，使得DB=DE.

（1）求证：BD是。的切线；

（2）若4?=12,DB=5,求反比坦的破边上的高.

（3）在（2）的条件下，求A4O3的面积.

20.（8分）如图，已知二次函数,=/+⑪+3的图象经过点尸（-2,3）.

(1)求。的值和图象的顶点坐标。

(2)点。(伏〃)在该二次函数图象上.

①当加=2时，求〃的值；

②若。到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出〃的取值范围.

21.(8分)如图，4ABC内接于OO,AB=AC,NBAC=36。，过点A作AD〃BC,与NABC的平分线交于点D,

BD与AC交于点E,与。O交于点F.

(1)求NDAF的度数；

(2)求证：AE2=EF«ED；

(3)求证：AD是OO的切线.

22.(10分)如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E,F在AC上,

AB=AD,ZBFC=ZBAD=2ZDFC.

(1)若NDFC=40。，求NCBF的度数.

⑵求证:CD±DF.

4

23.(10分)如图1,在AA5c中，AB=BC=2Q,cosA=-,点。为AC边上的动点(点。不与点A,C重合)，以O

为顶点作N8OF=NA,射线OE交3c边于点E,过点3作BFJL5Z)交射线OE于点尸，连接CF.

(1)求证：AABDsACDE；

(2)当。E〃AZ?时(如图2),求AO的长；

(3)点。在AC边上运动的过程中，^DF=CF,则C£>=

24.(10分)某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60

元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月

能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.

(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

(3)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

25.(12分)如图，在nABCZ)中，A3=4,BC=8,NA5c=60。.点尸是边5c上一动点，作AB45的外接圆。。交

5。于E.

(1)如图1,当尸5=3时，求E4的长以及。。的半径；

(2)如图2,当时，求证：4E平分NRW；

(3)当AE与AA8O的某一条边垂直时，求所有满足条件的。。的半径.

26.如图，AB是。O的直径，弧ED=MBD,连接ED、BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作。O的切

线交AB的延长线于点C.

(i)若OA=CD=1”E，求阴影部分的面积;

(2)求证：DE=DM.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k的取值范围.

【详解】解：由题意得

♦=(2k+l)2-4(k2-l)=4k+5>0

解得：k>4

4

故选D

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键.

2、C

【分析】设平均每天票房的增长率为X,根据第一天票房收入约8亿元，第三天票房收入达到了11.52亿元，即可得出

关于x的一元二次方程.

【详解】解：设平均每天票房的增长率为X,

根据题意得：8(l+x)2=11.52.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

3、A

【解析】解：在直角AAM中，BD=2,AD=4,则A5=，必+AD2=+4?=2行，

【解析】解：A.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判

断平行四边形ABCD是正方形；

B.根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABC。是正方形；

C.根据一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形A5CZ）是矩形，

不能判断四边形ABCD是正方形；

D.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形48Q7

是正方形.

故选B.

5、D

【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出X”X2,X3的大小关系，本题得以解决.

m--4-1

【详解】解：•••反比例函数y=4>（m为常数），n?+l>0,

x

.•.在每个象限内，y随x的增大而减小，

T-1

•.•点A（XI,-6）,B（x2,-2）,C（X3,2）在反比例函数^=竺二.（m为常数）的图象上，V-6<-2<0<2,

x

.*.X2<X1<X3,

故选：D.

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

6、A

【分析】先求出两个二次函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标即可判断对称或平移的方式.

【详解】•=一2%2一以+1的顶点坐标为(-1,3)

y=2/的顶点坐标为(0,0)

二点(-1,3)先关于x轴对称，再向右平移1个单位长度，最后再向上平移3个单位长度可得到点(0,0)

故选A

【点睛】

本题主要考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键.

7、A

【分析】首先根据线y=kx+b经过第一、二、四象限，可得kVO,b>0,再根据kVO,b>0判断出直线y=bx+k的图

象所过象限即可.

【详解】根据题意可知，k<0,b>0,

，y=bx+k的图象经过一，三，四象限.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了一次函数y=kx+b图象所过象限与系数的关系：

①k>0,b>Ooy=kx+b的图象在一、二、三象限；

②k>0,bVOoy=kx+b的图象在一、三、四象限；

③kVO,b>Ooy=kx+b的图象在一、二、四象限；

④kVO,b〈Ooy=kx+b的图象在二、三、四象限.

8,D

【分析】直接利用圆周角定理进行判断.

【详解】解：：/4与ND都是BC所对的圆周角，

故选O.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

9、C

【详解】A.x2+-=0,是分式方程，故错误；

x

B.(x—l)2=(x+3)(x—2)+1经过整理后为：3x-6=0,是一元一次方程，故错误；

C.x=x2,是一元二次方程，故正确；

D.当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故错误,

故选C.

10、C

【详解】VZACD=ZB,NA=NA,

.'.△ACD^AABC,

q\2

0,ABCv/

••SAABC=4,

SABCI>=SAABC-SAACI>=4-1=1.

故选C

考点：相似三角形的判定与性质.

11、B

【分析】设白球的个数为x,利用概率公式即可求得.

【详解】设白球的个数为x,

由题意得，从14个红球和x个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3,

X

则利用概率公式得：^—=0.3,

14+x

解得：x=6,

经检验，x=6是原方程的根，

故选：B.

【点睛】

本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.

12、A

【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PMLBC可得PM//CD,

根据点P为OD中点可得点N'为OC中点，即可得出AC=4CN',根据MN'〃AB可得△CMN，^ACBA,根据

相似三角形的性质可求出MN'的长，进而可求出PN-MN'的长.

【详解】I,四边形ABCD是正方形，AB=4,

.*.OA=OC,AD=AB=4,

：N是AO的中点，P是OD的中点,

，PN是aAOD的中位线，

1

/.PN=-AD=2,

2

VPM±BC,

.,.PM//CD//AB,

.•.点N，为OC的中点，

/.ACMCNS

VPM//AB,

/.△CMN^ACBA,

.MN'_CN'_j_

AC-4(

，PN-MN'=2-1=1,

故选：A.

【点睛】

本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第

三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、直角

【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得NA和NB,即可作出判断.

【详解】；sinA-g+JtanB一百=0,

sinA——=0,tanB—>/3=0，

•**sinA=—,tanB=V3，

sin30°=g,tan60°=6,

/.ZA=30°,ZB=60°,

AZC=1800-^9()°=°,

.,.△ABC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求

出NA、NB的度数，是解题的关键.

14、X>必

【解析】抛物线丫=缶-1丫+1的对称轴为：x=l,

.•.当x>l时，y随x的增大而增大.

:.若xi>X2>l时，yi>yj.

故答案为〉

15、1

【分析】由相似三角形的面积比得到相似比，再根据AB即可求得A，B，的长.

【详解】解：•.•△ABCS^A，B，C',且SAABC：SAAB"C'=1：1,

，AB：AB=1：2,

VAB=2,

故答案为1.

【点睛】

此题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

16、一或——

34

【解析】解方程x2・4x+3=0得，xi=l,X2=3,

①当3是直角边时，・••△ABC最小的角为A,••.tanA=g；

,______1万

②当3是斜边时，根据勾股定理，NA的邻边=律方=2&，.•.tanA=j5=亍；

|历

所以tanA的值为彳或注.

34

17、2

2

【分析】首先过点O作OH_LAB于点H,连接OA,OB,由。O的周长等于6ncm,可得。。的半径，又由圆的内接

多边形的性质，即可求得答案.

【详解】解：如图，过点O作OHJ_AB于点H,连接OA,OB,

/.AH=-AB,

2

丁©O的周长等于67rcm,

・・・G)O的半径为：3cm,

VZAOB=-X360°=60°,OA=OB,

6

AAOAB是等边三角形,

AAB=OA=3cm,

AH=—cm,

2

.•.OH=7(9A2-AH2=^>

3027G

=

••S正六边形ABCDEF=6SAOAB=6X-X3X---------------,

故答案沏萼

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键.

18、①®④

【分析】由当AB与光线BC垂直时，m最大即可判断①②，由最小值为AB与底面重合可判断③，点光源固定，当线

段AB旋转时，影长将随物高挡住光线的不同位置发生变化过程可判断④.

【详解】当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，如图所示当AB与光线BC垂直时，m最大，则m>AC,①成立；

①成立，那么②不成立；

最小值为AB与底面重合，故n=AB,故③成立;

由上可知，影子的长度先增大后减小，④成立.

故答案为：①③④.

三、解答题（共78分）

19、（1）见解析；（2）4.5；（3）27

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得NQ3O=90。，结合切线的判定方法可得结论；

（2）过点。作于点尸，连接OE,结合中点及等腰三角形的性质可得斯=3,利用勾股定理可得DF的长;

（3）根据两组对应角分别相等的两个三角形相似可得AAEOADFE,利用相似三角形对应线段成比例可求得EO

长，由三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）证明：DB=DE,

二NA=NO5A,ZDEB=ZDBE,

VECLOA,ZDEB=ZAEC

：.ZA+NO£B=90。，

/.NOBA+NDBE=90°,

：.NOBD=90。

•••08是圆的半径，

二BD是0的切线；

（2）如图，过点。作。尸_LA5于点/，连接0E,

,点E是A8的中点，AB=12,

:.AE=EB=6,OELAB,

又,：DE=DB,OFBE,DB=5,DB=DE,

:.EF=BF=3,

二DF=yjDE2-EF2=4>

(3),:ZAEC=/DEF,

:.ZA=ZEDF,

•：OE±AB,OFLAB,

：.ZAEO=ZDFE=90°,

，AA£ONDFE，

.EOAE

••一9

FEDF

由(2)得AE=6,FE=3,Z)E=4

即皎=9,得EO=4.5,

34

,.„ABOE12x4.5

..AAOB的面积是：-------=--------=27.

22

【点睛】

本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性

质，明确题意，确定所求问题的条件是解题的关键.

20、(1)(-1,2)；(2)①11；©2<n<ll.

【解析】(1)把点P(-2,3)代入y=x2+ax+3中，即可求出a；

(2)①把m=2代入解析式即可求n的值；

②由点Q到y轴的距离小于2,可得-2<mV2,在此范围内求n即可.

【详解】(1)解：把「(一2,3)代入^=/+⑪+3,得3=(—2)2—2a+3,

解得。=2.

y=x?+2x+3=(x+l)~+2,

二顶点坐标为(一1,2).

(2)①当m=2时，n=ll,

②点Q到y轴的距离小于2,

.,.-2<m<2,

.•.2<n<lL

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键.

21、⑴NDAF=36。；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】(D求出NABC、NABD、NCBD的度数，求出ND度数，根据三角形内角和定理求出NBAF和NBAD度

数，即可求出答案；

(2)求出AAEFsaDEA,根据相似三角形的性质得出即可；

(3)连接AO,求出NOAD=90唧可.

【详解】(1)TAD〃BC,

AZD=ZCBD,

VAB=AC,ZBAC=36°,

1

:.ZABC=ZACB=-x(180°-ZBAC)=72°,

2

AZAFB=ZACB=72°,

VBD平分NABC,

11

:.ZABD=ZCBD=-ZABC=-x72°=36°,

22

AZD=ZCBD=36°,

.•.ZBAD=1800-ND-ZABD=180°-36°-36°=108°,

ZBAF=180°-ZABF-ZAFB=180°-36°-72°=72°,

・•・ZDAF=ZDAB-ZFAB=108°-72°=36°；

(2)证明：VZCBD=36°,ZFAC=ZCBD,

/.ZFAC=36O=ZD,

VZAED=ZAEF,

AAAEF^ADEA,

.AEED

••=9

EFAE

.*.AE2=EFXED；

(3)证明：连接OA、OF,

VZABF=36°,

二NAOF=2NABF=72。，

VOA=OF,

:.ZOAF=ZOFA=-x(1800-ZAOF)=54°,

2

由⑴知NDAF=36。，

，ZDAO=36°+54°=90°,

即OA±AD,

•；OA为半径，

.♦.AD是。O的切线.

【点睛】

本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是

解此题的关键.

22、(1)50°；(2)见解析

【分析】(1)根据圆周角定理及三角形的外角，等腰三角形的知识进行角度的换算即可得；

(2)根据圆的内接四边形对角互补的性质进行角度计算即可证明.

【详解】解:(1)YNBAD=NBFC,

ZBAD=ZBAC+ZCAD,NBFC=NBAC+NABF,

:.ZCAD=ZABF

XVZCAD=ZCBD,

/.ZABF=ZCBD

.,.ZABD=ZFBC,

又AB=AD

:.ZABD=ZADB,

/CBF=ZADB,

：.NCBF=/BCF,

ZBFC=2ZDFC=SQ0,

.*A*180。-80。

・•.\^-Dr——DU•

2

(2)令NCFD=a,则==

V四边形ABC。是圆的内接四边形,

.../BAD+/BCD=180°,即/BCD=180°-2a,

又AB=AD,

...ZACD^ZACB,

二ZACD=ZACB=9()0-a

ANCFD+ZFCD=a+(90。—a)=90。

:./CDF=9Q°,即CD，。/7.

【点睛】

本题主要考查圆的性质与三角形性质综合问题，难度适中，解题的关键是能够灵活运用圆及三角形的性质进行角度的

运算.

25

23、(1)证明见解析；(2)—；(3)1.

2

【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.

AfiAnAD-

(2)解直角三角形求出BC,由△ABDsaACB,推出——=——，nTWAD=—.

ACABAC

(3)点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.作FHJ_AC于H,BMJLAC于M,BNJ_FH于

N.则NNHM=NBMH=NBNH=90°，由△BFNsaBDM,可得=变=tan/BDF=tanA=3,推出

BMBD4

33

AN=-AM=-X12=9,推出CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7,再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题.

44

VBA=BC,

.•.ZA=ZACB,

VZBDE+ZCDE=ZA+ZABD,NBDE=NA,

/.ZBAD=ZCDE,

/.△ABD^ACDE.

(2)解：如图2中，作BM_LAC于M.

图2

4

在RtAABM中，则AM=AB・cosA=20x—=16,

由勾股定理，得到AB2=AM2+BM2,

A202=162+BM2,

/.BM=12,

VAB=BC,BM±AC,

AAC=2AM=32,

VDE//AB,

.*.ZBAD=ZADE,

VZADE=ZB,ZB=ZACB,

AZBAD=ZACB,

VZABD=ZCBA,

/.△ABD^AACB,

.AB_AD

(3)点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF.

理由：作FH_LAC于H,AM_LAC于M,BN_LFH于N.则NNHM=NBMH=NBNH=90。,

・・・四边形BMHN为矩形，

AZMBN=90°,MH=BN,

VAB=BC,BM±AC,

VAB=20,AM=CM=16,AC=32,BM=12,

VBN±FH,BM±AC,

:.ZBNF=90°=ZBMD,

VZDBF=90°=ZMBN,

AZNBF=ZMBD,

/.△BFN^ABDM,

BNBF3

------=------=tanZBDF=tanA=—,

BMBD-----------------------------4

33

ABN=-BM=-X12=9,

44

ACH=CM-MH=CM-BN=16-9=7,

当DF=CF时，由点D不与点C重合，可知ADFC为等腰三角形，

VFH±DC,

ACD=2CH=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质

知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴

题.

24、(1)y=-2x+200(304x460)；(2)当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元；(3)当销售单

价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元.

【分析】(1)当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20

件.从而用60减去x,再除以10,就是降价几个10元，再乘以20,再把80加上就是平均月销售量；

(2)利用(售价-进价)乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800,解方程即可；

(3)由(2)方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利

润时的x值及最大利润.

【详解】解：(1)由题意得：丫=80+20*45

二函数的关系式为：y=-2x+200(30Wx《6O)

(2)由题意得：

(x-30)(-2x+200)-450=1800

解得xi=55,X2=75(不符合题意，舍去)

答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元.

(3)设每月获得的利润为w元，由题意得：

w=(x-30)(-2x+200)-450

=-2(x-65)2+2000

V-2<0

.•.当xW65时，w随x的增大而增大

,..304xW60

.••当x=60时,w最大=-2(60-65)2+2000=1950

答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元.

【点睛】

本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性.

25、(1)D1的长为病，的半径为叵；(2)见解析；(3)的半径为2或或近

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【分析】(1)过点A作3尸的垂线，作直径AM,先在RtaAB”中求出4”的长，再在RtaA”尸中用勾股定理

求出AP的长，在Rt^AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；

(2)证N4PB=NA4O=2NR1E,即可推出结论；

(3)分三种情况：当时，A8是。。的直径，可直接求出半径；当AEJ_AO时，连接08,OE,延长4E交

3c于R通过证△BFES/SZME,求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE_LAB时，过

点。作5c的垂线，通过证求出PE,AE的长，再利用勾股定理求出直径3E的长，即可得到半径

的值.

【详解】(1)如图1,过点A作8P的垂线，垂足为"，作直径AM,连接MP,

在R3A8”中，ZAB/7=60°,

,ZBAH=30°,

：.BH=^AB=2,4”=43*加60。=2百，

:.HP=BP-BH=1,

.•.在RtAAHP中，

AP=VAH2+HP2=V13，

'：AB是直径，

二NAPM=90。，

在RtAAMP中，NM=NA8P=60°,

屈

AP_2A/39

：.AM=

sin60VT3

2

.••。0的半径为避9,

3

即出的长为而，。。的半径为叵；

3

(2)当NAP5=2NP5E时，

":NPBE=NPAE,

：.ZAPB=2ZPAE,

在平行四边形A