2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高二（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023.2024学年上海市浦东新区进才中学高二（上）月考数学试卷（9

月份）

一、单选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数z=则argz=（）

A57r-j-j兀z-557r

ATB-6C-DT

2.用数学归纳法证明：1+2+3+“・+2?1=71（2"+1）时，从n=k推证n=k+l时，左边增加的代数式是

（）

A.4k+3B.4/c+2C.2k+2D.2k+1

3.已知tana、tan.是方程/++4=。的两个根，且a,/?e则a+/?等于（）

A.B.一茎C3或竽D.亨或一与

4.“圆幕定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一~、

个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，\

已知圆。的半径2,点P是圆。内的定点，且OP=「，弦AC,BD均过点P,则

下列说法错误的是（）

A.瓦？.正为定值»一,

B.力•云的取值范围是[一2,0]

C.当4C1B0时，荏.而为定值

D.|XC|•|BD|<16

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.已知复数z=U，i为虚数单位，贝妖的虚部是____.

2—1

6.已知,、族为单位向量，且|2日一向=/3，则d,3的夹角为.

7.已知复数z满足|z|=1,则|z+3-4i|（i为虚数单位）的最大值为.

8.函数y=tan（3x-力的单调增区间是.

9.在AABC中，鬻='（b+c+a）（b+c-a）=3bc,则△ABC的形状为.

10.设平面向量Z3满足日=（2,厅），ab=18,则B在日方向上的数量投影为.

11.若tana—^osa,JjJiJcos2a=.

OIoil1W

已知等差数列｛

12.a"的前n项和为%,且由<0,S6=S20，则L取最小值时，n=.

13.己知函数/(x)=sin(ojx+(p),如图,4,B是直线y=与曲线y=/(x)

的两个交点，若|阴屋，/第=.

14.如图，等边三角形4BC的边长为2,以4为圆心，1为半径作圆分别交4B,4c边

于D,E,再以点C为圆心，CD的长为半径作圆交BC边于尸，连接E,F,那么图中阴

影部分的面积为.

15.对于函数/(x)=sin(cosx)+cos(sinx),有以下命题①/(x—2兀)=f(x)②对于xe[0,n],有f(x+万)>

。③f(x)是奇函数④/(x)的最大值大于，无，其中正确的命题有.

16.对于一个有穷正整数数列Q,设其各项为的,a2，…，限各项和为S(Q),集合{(iJ)Q>aj,l<i<j<m}

中元素的个数为T(Q),对所有满足S(Q)=100的数列Q,则T(Q)的最大值为.

三、解答题(本大题共5小题，共48.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题6.0分)

已知复数z=m+2i是方程%2一6%+13=0的一个虚根(i是虚数单位，mE/?).

(1)求同;

(2)复数Zi=a-i,若另为纯虚数，求实数a的值.

18.(本小题8.0分)

如图，在平行四边形力8C0中，点E是AB的中点，点尸，G分另I」是40,8c的三等分点(河==：BC).

设48=dfAD—b.

(1)用d,另表示前，EG.

(2)如果EFLEG,|a|=1,求区

AEB

19.(本小题10.0分)

记△ABC的内角B,C的对边分别为a,b,c,已知3s比=siM—+sin2c

⑴若△ABC的面积为触2,求tcmB；

(2)若b=2,cosB=I，求△力BC的周长.

20.(本小题10.0分)

已知函数f(%)=2s讥(3%),其中常数3>0.

(1)若y=/(x)在［―也等上单调递增，求3的取值范围；

(2)令3=2,将函数y=/(x)的图象向左平移看个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，区

间［a,b］(a,6€/?且。<6)满足：y=g(x)在［a,b］上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的口贝中，

求6-Q的最小值.

21.(本小题14.0分)

设数列｛an｝的前几项和为右，且又=2%-2'+1,数列｛%｝满足垢=log2^,其中n€N*.

(1)证明｛翁｝为等差数列，求数列｛a"的通项公式；

(2)求数列｛普｝的前n项和为乙；

(3)求使不等式(1+^)-(1+^)...(1+3:)>m-/砥二；对任意正整数n都成立的最大实数m的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因为z=V-3—i=2(——1i)=2(cos^-^+isi九”^),

LLoo

所以argz=答.

故选：C.

把复数变为一个角的三角形式即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n=n(2n+1)时，

从n=k推证M=k+1时，左边增加的代数式=(k+l)[2(/c+1)+1]-k(2k+1)=4k+3.

故选:A.

用数学归纳法证明：1+2+3+…■l-2n-n(2n+1)时，从n=k推证n=k+1时，左边增加的代数式=(fc+

l)[2(k+l)+l]-fc(2/c+l).

本题考查了数学归纳法、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意知，tana+tcmO=—3，3c0，tanatan/?=4>0,

所以tan(a+0)==V-3'且tana,tcm夕同为负，

因为a,/?6(一表今，所以a,/?e(-p0),

所以a+夕€(―江,0),

又tan(a+£)=V"所以a+0=一学

故选：B.

结合韦达定理与两角和的正弦公式，求得tan(a+0)=q,再根据a,夕的取值范围，得解.

本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角和的正弦公式，韦达定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运

算能力，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：对于4如图,

设直线P。与圆。相交于E,F,则宜.定=-\PA\-\PC\=-\EP\\PF\=-(|0F|-\PO\)(\OE\+|P0|)

=|P0『-\E0\2=2,故A正确；

对于B：取AC的中点为M,连接。M,则耐.元=（而+福）・（丽+祝）

-OM2-MC2-20M2-4-又0W而『3|0p/=2，所以方•元的取值范围为[-4,0],故B错误；

对于C：当AC1BD时，AB-CD=（AP+PBy（CP+PD）=AP-CP+PB-PD

=-\AP\-\CP\-\PB\-\'PD\=-2\EP\\PF\=-4,故C正确；

对于。：因为|而|W4，|前|W4，所以|而|•|前|W16，因4C,80不能同时过圆心，

故不能取等号，|而||前|<16，故。正确.

故选：B.

对于4：设直线P。与圆。相交于E,F,则明.定=一|同||同=「。|2-区。|2,即可判断4是否正确；对

于B：取4c的中点为M,连接。M,则瓦？.沆?=（丽+而彳）.（词+祝）=丽2一祝2=2而2_4,又

0<0M2<\OP\2=2,即可得出函,沆1的取值范围，即可判断是否B正确;对于C：当4c1BD时，丽•丽=

（而+而）・（方+而）=--2|EP||PF|,即可判断C是否正确；对于。：由|近|W4,|BD|<4>即可判断。是

否正确；

本题考查向量的运算，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题.

5.【答案】|

1-i_(l-i)(2+i)_3-i_31.

【解析】解：因为z2^i=(2T)(2+i)=~=5~Sl

所以z='+"i,虚部为，.

故答案为：

先化简复数z,再求出得到虚部.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

6.【答案】'

【解析】解：由|2五—b\=两边平方得4五2—4,•B+京=3,

又闷=\b\=1»

所以益•h=

所以cos（乙另）=

又位历6[0,n]f所以〈五,b）=,

故答案为:

根据两个向量夹角的余弦公式求得结果.

本题考查的知识要点：向量的模，向量的夹角，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题.

7.【答案】6

【解析】解：设2=%+yi（x,y为实数），

则复数z满足|z|=1的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，

则忆+3-44=J（%+3,+（y-4）2表示的几何意义是圆上的点到（一3,4）的距离,

根据圆的性质可知，所求最大值为J（一3-0）2+（4-0）2+1=6.

故答案为：6.

由已知结合复数的儿何意义及圆的性质即可求解.

本题主要考查了复数的几何意义及圆性质的应用，属于基础题.

8.【答案】停一工片+》，kez

【解析】解：对于函数丫=tan（3x-力，令卜兀一^＜3x-；＜卜兀+看keZ,

求得与一行＜x（浮+%kGZ,

可得函数的单调增区间为（萼-$殍+%keZ.

31ZJ4

故答案为:得一"有+》,kez.

由题意，利用正切函数的单调性，得出结论.

本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题.

9.【答案】等边三角形

【解析】解：由正弦定理士=吗=£所以c=b,

csmBb

22

代入(b+c+a)(6+c—a)=3Z?c得3b2=(2b+a)(2b—a)=4b—a,Ab=a,

所以a=b=c,三角形为等边三角形.

故答案为：等边三角形.

由正弦定理化角为边得6=c,再代入另一已知条件得8=a,从而得三角形形状.

本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题.

10.【答案】6

【解析】解：另在3方向上的数量投影I3|cos@B)=署=J22，5)2=6.

故答案为：6.

根据投影的定义即可结合数量积求解.

本题主要考查向量的投影，属于基础题.

11.【答案】\

【解析】解：tana=言鬻，

DIollllv

cosa

则四竺_~9即3sina+sin2a+cos2a=0,即3si?iQ+1=0,解得sina=—J,

cosa3+sma3

故cos2a=1—2sin2a=1—《=：・

7y

故答案为：

根据已知条件，先对原式变形，求出s讥a的值，再结合二倍角公式，即可求解.

本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题.

12.【答案】13

【解析】解：由题意知由<0,S6=S20,设等差数列｛册｝的公差为d,

则6al+15d=20al+190d,即175d=-14av

因为即<0,故d>0,即等差数列｛即｝为首项是负值的递增数列，

又由56=S20可得a:+。8+…+a2。=0,

即7(%3+«14)=0，故%3<0，«14>0，

即等差数列｛即｝前13项为负，从第14项开始为正，

故又取最小值时，n=13.

故答案为：13.

根据56=S20,利用等差数列前n项和公式推得175d=-14%,结合的<。判断d>0,再结合等差数列性

质可推出。13<0,a14>0,即可求得答案.

本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于中档题.

13.【答案】?

【解析】解：由于函数/'(X)=sin(<ox+w)，A,B是直线y=；与曲线y=/(x)的两个交点，

则可设出修1),8(*2，；)，

若|48|=2,则%2-与建，

由s讥％=：可知，%=2+2々兀或％=等+2/CTI,kEZ,

2o6

由图可知，a)x2+(p-(3/+0)=弓一名=与，

所以可得W%2—%1)=手

所以3=4,

因为fg)=sin(y4-(p)=0,

所以:+?=—kEZ,

可得W=+/C7T,kEZf

所以f(%)=sin(4x—与+kn)=sin(4x—+lai),

所以f(%)=sin(4x—等或f(%)=-sin(4x—同),

又因为f(0)<0,

所以/(%)=sin(4x-争,

所以f岑)=sin(4x与一%=sing=?.

故答案为：£3.

设401，券8(小3)，依题可得，%2-%1结合sinx=：的解可得3(小一%1)=手从而得到3的值，再

根据/(争=0以及/(0)<0,即可得/"(x)=sin(4x-争，进而求得/(年).

本题考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题.

14.【答案】卷+?一

1224

【解析】解：过4作力M-LBC于M,EN人BC于N,

因为等边三角形4BC的边长为2,Z.BAC==乙4cB=60°,

所以4M=?BC=?x2=O-

因为AD=AE=1,

所以40=BD,AE=CE,

所以EN==?，

所以图中阴影部分的面积为

S4ABe-S扇形ADE—SACEF-GABCD一，扇形Dc£

1「60X77X121y/~31L30X7TX(C)2

=2X2X^-^60--尹小丁-(/2'门-------360一)

兀，

=+G-—3.

1224

故答案为:21+£3_3

1224

过4作AMJ.BC于M,EN上BC于N,根据等边三角形的性质得到4M,求出EN,根据三角形的面积和扇形

的面积公式求解即可.

本题考查了扇形的面积计算问题，也考查了运算求解能力，正确作出辅助线是解题的关键.

15•【答案】①②④

【解析】解：①/(%—2兀)=sin(cos(x-2兀))+cos(sin(x-2兀))=sin(cosx)+cos(sinx)=/(%)>故选

项①正确；

②/(x+兀)=sin(cos(x+7T))+cos(sin(x+TT))=sin(—cosx)+cos(—sinx)=—sin(cosx)+cos(sinx),

当xe[0,兀]时，cosx+sinx<>/-2<]=cosx<^-sinx,sinxe[0,1]=尹sinxe[^-1,^],而y=sinx

在[0,自上单调递增，

•1•sin(cosx)<sin(^-sinx)=cos(sinx),.•.当xe[0,zr]时，f(x+兀)>0,故选项②正确；

③/'(x)的定义域为R,/(0)=sinl+cosO=sinl+1^0,故选项③错误；

④/'(0)=sin(cosO)+cos(sinO)=sinl+cosO=sinl+1>?+1>\[~2>故选项④正确；

故选：①②④.

根据函数的性质分别判断各选项.

本题考查三角函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】1250

【解析】解：①存在大于1的项，否则此时有7\Q)=0；

@am=1,否则将am拆分成1个1后7(Q)变大；

③当t=l,2,m-l时，有否则交换生,&+i顺序后7(Q)变为T(Q)+1,

进一步有生-e{0,1},否则有%>at+1+2,此时将&改为&-1,并在数列末尾添加一项1,此时T(Q)

变大；

④各项只能为2或1,否则由①②③可得数列Q中有存在相邻的两项4=3,4+1=2,

设此时Q中有x项为2,则将g改为2,并在数列末尾添加一项1后，

7(Q)的值至少变为T(Q)+x+1-x=7(Q)+1；

⑤由上可得数列Q为2,2,2,1,1­••,1的形式，设其中有％项为2,有y项为1,

则有2x+y=100,从而有T(Q)=xy=(100—2x)x=-2x2+100%,

由二次函数的性质可得，当且仅当二窝时，T(Q)最大为1250.

故答案为：1250.

根据给定条件，分五步证明对所有满足S(Q)=100的数列Q，求出7(Q)的最大值作答.

本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题.

17.【答案】解：(l)z=m+2i是方程/—6x+13=0的一个虚根，

则W=m-2i也是方程/-6%+13=0的一个虚根，

故t(m-2i)(>n+2i)=13'解侍加一3,

z=3+23

所以|z|=732+22=<13；

(2)zt=a—i,

INI2_3+2i_(3+2i)(a+i)_3a-23+2a.

、Zia—i(a—i)(a+i)a2+la2+l"

・・・f•为纯虚数，

解得a=|.

13+2QH03

【解析】(1)根据已知条件，结合韦达定理，以及共辗复数的定义，求出m,再结合复数模公式，即可求解；

(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题.

18.【答案】解：⑴由题可得：EF=AF-AE=^AD-^AB=^b-^a,

1111

-+---+-

IG=EB+BG23FC232S3

(2)因为EfJ.EG,所以EFJ.EG，

所以前•前=颉).(颉+颉)=#一扣2=o,

因为|初=1,所以既/一［=0,解得|了|=*

【解析】(1)由平面向量的线性运算直接计算即可；

(2)由题得到前.丽=0,结合(1)可得回的方程，求解即可.

本题考查平面向量的线性运算和垂直的性质，属于基础题.

19.【答案】解：⑴由3sin2B=sin2j4+sin2c及正弦定理得3b2=a2+c2,

因为△力8c的面积为:炉,

acsinB=gb?,

因为炉=a2+c2—2accosB,

a2+c2-b2b2

所以ac=

2cosB-cosB

2

所以次TSinB=：b2,

所以tcmB=I；

(2)由余弦定理得非=a2+c2—2accosB,

7

又3b2=a2+c2,b=2,cosB=

所以炉=3b2—

则〃=|四，

所以QC=6,

22

所以(Q+c)?=a+c+2ac=3b2+lac=124-12=24,

解得a+c=2\/6,

故^ABC的周长为2+2，石.

【解析】(1)利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式求得tanB.

(2)利用余弦定理求得ac,进而求得a+c,从而求得三角形的周长.

本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题.

20.【答案】解：⑴因为3>0,y=f(x)=2s讥3X在［一，争上单调递增，

3>兀

一

7T一

42-3

得

解O<<

期-

-4

3<7T-

32

••.3的取值范围为(0,力.

(2)令3=2,将函数y=/(x)=2sin2x的图象向左平移沙单位长度，可得函数y=2s讥2Q+奇=

2s讥0+今的图象；

再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)=2sin(2x+1)+1的图象，

令。(%)=0，求得sin(2x+g)=-2，

2x+弓=2/CTTH~~—»或2x+-=2knH——,k€z,

3636

求得％=而+工或％=/C7T+乎，kEZ,

故函数g(x)的零点为》=Mr+驾或％=ATT+羊，kEZ

・•・相邻两个零点之间的距离为拜手

若b-a最小，则a和匕都是零点，此时在区间［见汗+甸，［见2〃+Q］,…，口加〃+Q］(znWN*)分别恰有3,5,

…,2m+1个零点，

所以在区间口14〃+甸是恰有29个零点，从而在区间(14〃+a,可至少有一个零点，

---b—a—147r>宗

另一方面，在区间塔,14兀+升汾恰有30个零点，

因此b-a的最小值为14兀+g=等・

>-7

【解析】(1)依题意可得｛2/n，解之即可.

(2)由条件根据函数y=Asin(3X+卬)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，令g(x)=0,即可解出零点的

坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b—a最小，则a和b都是零点，此时在区间口6兀+幻(小€/7")恰

有2m+1个零点，所以在区间阿14兀+a]是恰有29个零点，从而在区间(14兀+a,0至少有一个零点，即可

得到a,b满足的条件.进一步即可得出b-a的最小值.

本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，