2024高中数学教学论文-空间向量解立体几何

2024高中数学教学论文-空间向量解立体几何“桥”飞架，天堑变通途向量的引入为数形结合思想注入了新鲜血液，为其开辟了更为广阔的天地。特别是将空间向量知识应用在立体几何题目中，更是一改立体几何题目以前单一的传统几何法,给我们以耳目一新的感觉.下面通过一个题的不同问题，领会空间向量中”直线的方向向量”和”平面的法向量”在解立体几何题目中的独到应用。例题长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP=2，Q是DD1的中点。zB1C1D1BP D1BPMA1 Q C y A Dx一求点线距离问题1：求点M到直线PQ的距离。分析：本题属于立体几何中求点与线距离类型，若用传统几何法需过点M引直线PQ的垂线，在图中寻找垂线不是件容易事情，而用向量法就可使问题得以解决。解：如图，以点B为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。得P（0，4，0），Q（4，6，2），M（2，3，4）∴=（-2，-3，2）=（-4，-2，-2）又点M到直线PQ的距离d=||sin<,>而cos<,>===∴sin<,>=,∴d==小结：本例充分体现了利用直线QP的一个方向向量、M到直线QP的距离及斜线段QM所构成的直角三角形，借助于向量与的夹角公式使问题得以解决，而不必将点线之间的距离作出,请读者加以体会。二求点面距离问题2：求点M到平面AB1P的距离。分析：采用几何法做出点面距，然后来求距离的传统法，很难求解，但若借助于平面的法向量即易解决。解：建系同上。A(4,0,0)=(-2,3,4)=(-4,4,0)=(-4,0,4)设=(x,y,z)是平面AB1P的一个法向量,则⊥,⊥∴,∴可取=(1,1,1)∴点M到平面AB1P的距离d=||==.小结:点面距离的向量求法为:设是平面的一个法向量,AB是平面的一条斜线,则点B到平面的距离为d=||.三求线面夹角问题3:求直线AM与平面AB1P所成的角.解:建系同上。由问题2可知=(-2,3,4),平面AB1P的一个法向量=(1,1,1)∴|cos<,>|=||=,又直线AM与平面AB1P所成的角为线AM与平面AB1P的法向量夹角的余角,故直线AM与平面AB1P所成的角为arcsin.小结:本例属于线面成角问题,向量法求解的方法是:设为平面α的一个法向量,是直线L的方向向量,则直线L与平面α所成的角为arcsin||.四求面面所成的角(二面角)问题4:求平面B1PQ与平面D1DCC1所成的锐二面角的大小.解:∵面D1DCC1垂直与坐标平面yoz,故设面D1DCC1的一个法向量为=(0,1,0),又设面B1PQ的一个法向量为=(x,y,z)∵=(0,4,-4),=(4,2,2)又⊥,⊥∴即∴可取(-1,1,1)∴|cos<,>|=||==.故平面B1PQ与平面D1DCC1所成的锐二面角的大小为arccos.小结:用向量法求二面角的具体方法是:设,是二面角α-L-β的两个半平面α,β的法向量,则<,>=arccos||就是所求二面角的平面角或其补角.五求两异面直线间的距离问题5:求两异面直线AB1与PQ间的距离.解:设两异面直线AB1与PQ的公垂线的一个方向向量为=(x,y,z)又=(-4,0,4),=(4,2,2).而⊥,⊥∴即∴=(1,-3,1),又=(0,4,-4)故两异面直线AB1与PQ间的距离d=||cos<,>=||=.小结:向量法解决两异面直线间的距离的作法是:L1,L2是两条异面直线,是L1,L2的公垂线AB的一个方向向量,又C,D分别是L1,L2上任两点,则|AB|=||.以上介绍了直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何的“点线距离”,“点面距离”,“线面夹角”,“面面成角”以及“两异面直线间的距离”这五种题型中的应用,涉及的题目用传统立体几何法求解有一定的难度,而空间向量的介入使得问题迎刃而解.从中充分展现了向量法的独到之处和强大威力.在近几年的高考中利用向量的模和夹角公式求立体几何中的线段长和两直线的夹角已多次出现,随着新一轮课改的推进,直线的方向向量和平面的法向量在解决立体几何问题中的应用必将成为高考命题的一个新的热点.利用导数处理与不等式有关的问题关键词：导数，不等式，单调性，最值。导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。利用导数证明不等式（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1：x>0时,求证；x－ln(1+x)＜0证明：设f(x)=x－ln(1+x)(x>0),则f(x)=∵x>0,∴f(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，所以x>0时,f(x)<f(0)=0，即x－ln(1+x)<0成立。2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e,求证:ab>ba,(e为自然对数的底)证：要证ab>ba只需证lnab>lnba即证：blna－alnb>0设f(x)=xlna－alnx(x>a>e)；则f(x)=lna－,∵a>e,x>a∴lna>1,<1,∴f(x)>0,因而f(x)在（e,+∞）上递增∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb所以ab>ba成立。（注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx－xlnb(e<x<b)则，f′(x)>0时时，故f(x)在区间（e,b）上的增减性要由的大小而定，当然由题可以推测故f(x)在区间（e,b）上的递减,但要证明则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。）（二）、利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。例3、求证：n∈N*,n≥3时，2n>2n+1证明：要证原式，即需证：2n－2n－1>0,n≥3时成立设f(x)=2x－2x－1(x≥3),则f(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f(x)≥23ln3－2>0∴f(x)在[3，+∞上是增函数，∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=1>0所以，n∈N*,n≥3时，f(n)≥f(3)>0,即n≥3时,2n－2n－1>0成立，例4、的定义域是A=[a,b，其中a,b∈R+,a<b若x1∈Ik=[k2,(k+1)2,x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2求证:>（k∈N*）证明：由题知g(x)=g(x)==0时x4－ax3－a2b2+a2bx=0即(x4－a2b2)－ax(x2－ab)=0,化简得(x2－ab)(x2－ax+ab)=0所以x2－ax+ab=0或x2－ab=0，∵0<a<b,∴x2－ax+ab=0无解由x2－ab=0解得（舍）故g(x)>0时x∈[,g(x)<0时x∈[a,,因而g(x)在[上递增，在[a,上递减所以x=是gA(x)的极小值点，又∵gA(x)在区间[a,b只有一个极值∴gA()=2是gA(x)的最小值。所以，的最小值为=2的最小值为2又∵∴x1∈Ik=[k2,(k+1)2,x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2时>（k∈N*）成立、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。例5：f(x)=x3－x,x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤证明：∵f(x)=x2－1,x∈[－1,1]时,f(x)≤0,∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)=最小值为f(1)=,即f(x)在[－1,1]上的值域为；所以x1,x2∈[－1,1]时，|f(x1)|,|f(x2)|,即有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|二、利用导数解决不等式恒成立问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x)(或m<f(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。例6、已知函数,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立知对一切x∈（0，+∞）恒成立，即对x∈（0，+∞）恒成立设则，由h′(x)=0解h′(x)>0时，解得0＜x＜,h′(x)＞0时x＞所以h(x)在（0，）上递增，在（，+∞）上递减,故h(x)的最大值为，所以三、利用导数解不等式例8：函数f(x)=,解不等式f(x)≤1解：由题知①∵∴a≥1时,f(x)<1－a<0恒成立，故f(x)在R上单调递减，又f(0)=1，所以x≥0时f(x)≤f(0)=1，即a≥1时f(x)≤1的解为{x|x≥0}②0<a<1时，若=0则>0时解得x∈∪,<0时解得故f(x)在上单调递减，f(x)在或上单调递增，又f(x)=1时解得x=0或x=，且0<a<1时所以0<a<1时f(x)≤1的解为{x|}由上得，a≥1时f(x)≤1的解为{x|x≥0}0<a<1时f(x)≤1的解为{x|}总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。参考资料：（1）赵大鹏：《3+X高考导练.数学》，中国致公出版社（2）王宜学：《沙场点兵.数学》，辽宁大学出版社（3）《状元之路.数学》高中数学教学论文：利用高中数学新教材全面推进素质教育

一、问题的提出：

在课程改革的大潮中，高中数学新教材应运而生并试用几年了。它那综合编排的体系、富有一定弹性的教材结构、注重从实际问题引入等特点更符合高中学生的年龄特征和认知规律，更适合一线教师进行教学改革、全面推进素质教育，博得了教师们的好评。但在高考选拔制度未改变的情况下，也有很多教师无视新教材的这些变化，在教法、学法上没有作相应的调整，甚至只是浏览一下新教材中删除、补充了哪些内容，然后按照自己多年归纳、总结好了的知识体系进行轻车熟路的灌输，与素质教育、课程改革的指导思想背道而驰。因此，如何科学、合理、正确地使用好新教材，优化教学结构、提高课堂效率、培养学生能力是每一个基层教育工作者急需解决的问题。

二、充分利用新教材是课程改革的重要一环

现在，我们所说的课程已经不再只是教学计划、教学大纲、教科书等文件（即课程不再只是特定知识的载体），而且包括教师和学生共同探求知识的过程。因此，教材改革只是课程改革的突破口，而课程改革的核心环节是课程实施，是如何充分利用新教材进行教法、学法的改革。实际上，课程方案一旦确定，教学改革就成了课程改革的重头戏。如果教学观念不更新，教学方式不转变，新编教材得不到充分利用，课程改革就会流于形式，事倍功半甚至劳而无功。因此，如何挖掘新教材的教育功能，充分体现课程改革的指导思想，是我们基层教育工作者的一项持久、复杂而艰巨的任务，它的好坏关系着我国课程改革的成败。

三、高中数学新教材的很多特点更适合实施素质教育现在的高中数学新教材是根据教育部颁布的新课程计划和新教学大纲，在两省一市试验教材的基础上进行修订的，它以全面推进素质教育为宗旨，具有许多适合实施素质教育的特点：

a）综合编排的知识体系，便于学生自主学习

教材打破了原来分科安排内容（分为代数、立体几何、解析几何）的编写体系；安排知识顺序时注意处理好与初中数学的衔接；符合逻辑上基本规则；在深浅上注意坡度的设计；工具性内容靠前安排；相关内容适当集中。这些特点更加符合高中学生的年龄特征和认知规律，更适合学生的自主学习和课前预习，也有利于我们展开素质教育、培养学生能力。

b）渗透数学思想方法，突出培养思维能力。

数学教学不应仅仅是单纯的知识传授，而应在讲知识内容的同时注意对其中的数学思想方法加以提炼总结，使之能逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用。因此，新教材在各章的内容安排上，十分注意对数学思想方法的体现。

c）采用实际问题引入，强调数学应用意识

新教材突出了数学与实际问题的联系，意在培养学生的数学应用意识。在教材编排上：章前图的设计为了说明数学来源于实际；章前引言从实际问题导出；阅读材料很多是介绍数学模型及应用方法；习题也适当地增加了联系实际的题目，所有这些都是为了创设联系实际问题的氛围，培养应用数学的意识。

d）增加实习作业和研究性课题培养学生实践能力及创新精神

增加“实习作业”和“研究性课题”是高中数学新教材的又一大特色，它强调学生的动手能力，把数学学习从教室走向了社会，使学生在充满合作机会的群体交往中，学会沟通、学会互助、学会分享，学会合作，实现知识、情感、态度和价值观的完善。

四、如何挖掘新教材的教育功能，全面推进素质教育

由以上分析可知，我国新一轮课程改革的成败关键在于教学一线的教师如何充分挖掘、利用新教材的这些特征，转变教学观念、优化教学结构、培养学生的各种能力，全面推进素质教育。以下是本人在使用新教材过程的一点体会：

a）科学指导学生阅读教材，在预习中自主探索、获取知识

高中数学新教材是一个综合编排的知识体系，知识编排顺序符合高中学生的年龄特征和认知规律，更适合学生自主学习和课前预习。而一个善于提前阅读教材、自我探索知识的学生，通过阅读，对知识有了一定的理性认识，逐步提高了学习数学的兴趣，学习更加积极主动，学习成绩也比较好。因此教师要鼓励学生提前预习、阅读教材，主动探索数学知识。我在教学过程中，抓住新教材的这一特征，每节课都拿出十至十五分钟的时间给学生阅读教材，让其知道知识的来龙去脉，形成自己的知识体系。在阅读的过程中要注意：

（1）设置出适合本节课内容的学习方法和学习目标，激发起学生的兴趣和动机，让学生带着问题和强烈的求知欲去阅读。

（2）在阅读的过程中，要鼓励学生提出自己的问题、观点。

（3）对于有争议问题，鼓励学生积极讨论，尝试在小组中得出答案，即使错了，也要给予积极的肯定。

在课堂阅读的同时，我积极鼓励学习成绩很好的学生超前预习、阅读教材，有些学生总是比我的教学进度提前一章的内容，并把问我尚未讲过的问题作为一种兴趣、乐趣，甚至同学之间进行相互竞争。通过鼓励学生阅读教材、提前预习，实现了数学学习的良性循环，取得了很好的教学效果。一些原来学习成绩较差的同学，经过一段时间的努力，学习成绩也有了飞速的提高。

b）创设问题情景，调动学生学习数学的积极性

创设适当的问题情景可以激发学生的学习兴趣和动机，使学生产生"疑而未解，又欲解之"的强烈愿望，进而转化为一种对知识的渴求，从而调动学生的学习积极性和主动性，达到提高课堂教学效果的目的。

利用高中数学新教材创设问题情景、调动学生的学习兴趣，与原来的教材相比可以说是信手拈来、得心应手。章前图的解说；章前引言的实际问题；与之相关的阅读材料；甚至有些联系实际的例题、习题均可作为创设问题情景的材料。当然，如果你把这些素材用现代教学手段进行适当的加工，效果就会更好。

例如：我在讲解三角函数中《函数的图像》这节课时，就是利用课后习题中求弹簧振子的振幅、周期、频率这个题目引入本节课，把它做成一个FLASH课件，创设问题的情景，促使学生积极参与活动，把学生的学置于问题之中，使整个教学过程转化为学生“发现问题、提出问题、解决问题、发现新问题”的能力培养过程。这样通过创设问题情景，使教学活动在知识和情感两条主线的相互作用下完成，知识通过情感功能更好地被学生接受、内化。取得了意想不到的教学效果。（本节课详细内容限于篇幅不再赘述，该课件荣获青岛市课件比赛一等奖，已经上传到k12网站）

c）

传授知识的过程中要注重结论与过程的统一

抛弃“高分低能”，讲求知识与能力并重，是素质教育的根本出发点。因此，在传授知识的过程中注重结论与过程的统一，是数学教学的一条基本原则。

从教学的角度讲，重结论、轻过程的教学只是一种“形式上的走捷径”的教学，把形成结论的生动过程变成了单调刻板的背诵条文，剥离了知识与智力的内在联系。它排斥学生的思考与个性发展，把教学过程庸俗化到无需智慧努力，而只需听讲和记忆就能掌握知识的程度。这实际上是对学生智慧的扼杀和个性的摧残。强调过程，就是强调学生探索知识的经历和获得知识的体验。它不但使学生在获取知识的过程中培养了各种能力，而且也使所学的知识更加牢固。

例如：在讲高中新教材&4.11节《已知三角函数值求角》时，我做过这样一个可控性对比试验：

在我所教的两个平行班级中，其中一个班级直接告诉这种题目的求解方法，并总结出解题的规律：先求在第一象限的正角，然后判断：若所求角在第二象限，则为；若所求角在第三象限，则为；若所求角在第四象限，则为.在做课后练习的过程中，非常顺利，即便是学习比较差的