用待定系数法求二次函数的解析式

关于用待定系数法求二次函数的解析式二次函数解析式有哪几种表达式？1）一般式：y=ax2+bx+c2）顶点式：y=a(x-h)2+k回味知识点第2页,共36页，2024年2月25日，星期天直线x=-11、若抛物线y=ax2+3x-4与抛物线y=-2x2形状相同，则a=

.2、二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是

.3、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(-3,0)则它的对称轴是

.4、二次函数y=x2-2x+2当x=

时，y的最小值为

.5、二次函数y=4x2+mx+1的图象顶点在x轴上，则m=

；若它的顶点在y轴上，则m=

.±2(0,1)11±40第3页,共36页，2024年2月25日，星期天6.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0,a-b+c＞0,则一定有()A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0A7.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M（b,)在

()A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限D-1a<0,b>0,c>0第4页,共36页，2024年2月25日，星期天D8.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c

的图像如图，则下列a、b、

c间的关系判断正确的是()A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a-b+c<0

9.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则不等式bx+a>0的解为()A.x>a/bB.x>-a/bC.x<a/bD.x<-a/bDa<0,b<0,c<0a<0,b<0第5页,共36页，2024年2月25日，星期天10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断不正确的有()A.abc＞0B.b2-4ac＞0C.2a+b＞0D.4a-2b+c＜0DX=-b/2a<1∴-b<2a∴2a+b＞0当x=-2时,y=4a-2b+c＞0第6页,共36页，2024年2月25日，星期天抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（3）b的符号：由对称轴的位置确定（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定（7）2a±b的符号：对称轴与直线x=1或x=-1的位置确定小结第7页,共36页，2024年2月25日，星期天

创境导入。

已知一次函数图像上的两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式。问题：已知二次函数图像上的几个点的坐标，可以求出它的解析式？第8页,共36页，2024年2月25日，星期天学习目标．(1)理解待定系数法的意义。(2)会用顶点式y=a(x-h)2+k求解析式.(3)会用三点式求函数解析式.（4）会转化成上述两种形式求解析式第9页,共36页，2024年2月25日，星期天1设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。解：∵点(1,-2)是该抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(2,3)∴3=a(2－1)2-2解得:a=5∴抛物线的解析式为:y=5(x－1)2-2=5x2-10x+3y=a(x－1)2-2自学指导探究1：第10页,共36页，2024年2月25日，星期天2、形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。y=2(x-1)2=2x2-4x+2第11页,共36页，2024年2月25日，星期天解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5已知一个二次函数的图象过点（－1,10）（1,4）（2,7）三点，求这个函数的解析式？探究2：如何解方程组第12页,共36页，2024年2月25日，星期天

已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1。故顶点坐标为（

1

，2）所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2得a=-2故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x探究3第13页,共36页，2024年2月25日，星期天精讲点拨求二次函数解析式的一般方法：1、已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。2、已知图象的顶点坐标（或对称轴和最值）,通常选择顶点式。yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。3、转化为上述两种形式。第14页,共36页，2024年2月25日，星期天有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，解：根据题意可知抛物线经过(0，0)(20，16)和(40，0)三点可得方程组

通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂。

评价例1{C=0400a+20b+c=161600a+40b+c=0解得a=-—b=—c=012558尝试练习第15页,共36页，2024年2月25日，星期天有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．∴设抛物线为y=a(x-20)2＋16

解：根据题意可知∵点(0，0)在抛物线上，

通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活。评价∴所求抛物线解析式为

还有别的解法？∴０=400a+16,a=-—125∵抛物线的顶点坐标为（20,16）第16页,共36页，2024年2月25日，星期天解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：1：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：

a=-1故所求的抛物线为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1思考：1用一般式怎么解？

2用顶点式怎么求解？

探究4第17页,共36页，2024年2月25日，星期天有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．设抛物线为y=ax(x-40）解：根据题意可知∵点(20，16)在抛物线上

选用两交点式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷评价

∴16=20a(20–40),a=-—

125还有别的解法？第18页,共36页，2024年2月25日，星期天

已知抛物线过A（1，0），B（0，3），且对称轴为x＝2，求函数解析式．∴所求函数的解析式为y＝x2-4x+3．

解法一：设所求的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵图像经过点（1，0），（0，3），代入解析式得

c=3,a＋b＝-3．又对称轴为x＝2，尝试练习2第19页,共36页，2024年2月25日，星期天

已知抛物线过A（1，0），B（0，3），且对称轴为x＝2，求函数解析式．

解法二：∵对称轴为x＝2∴设所求的函数解析式为y＝a（x－2）2＋k，则代入A，B点坐标后得解得a＝1，k＝-1．∴所求函数的解析式为y＝（x－2）2-1，即y＝x2-4x+3．第20页,共36页，2024年2月25日，星期天精讲点拨1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)第21页,共36页，2024年2月25日，星期天根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。当堂训练第22页,共36页，2024年2月25日，星期天一个二次函数，当自变量x=-3时，函数值y=2当自变量x=-1时，函数值y=-1，当自变量x=1时，函数值y=3，求这个二次函数的解析式？已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是

与Y轴交点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式？4、5、第23页,共36页，2024年2月25日，星期天6、请写出如图所示的抛物线的解析式：（0，1）（2，4）xyO第24页,共36页，2024年2月25日，星期天你学到那些二次函数解析式的求法求二次函数解析式的一般方法：1、已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。

2、已知图象的顶点坐标＊对称轴和最值,通常选择顶点式。

3、已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式

yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。第25页,共36页，2024年2月25日，星期天7、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。解：由题意得：点(-1,0)是该抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(-3,2)∴2=a(-3+1)2因此抛物线的解析式为:y=a(x+1)2第26页,共36页，2024年2月25日，星期天已知二次函数的图像经过点A(3,-2)和B(1,0)且对称轴是直线x＝3.求这个二次函数的解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。第27页,共36页，2024年2月25日，星期天抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b=

，c=

。87解:求得抛物线y=2x2-4x-1顶点(1,-3)设原抛物线顶点为(m，n)则m-1=1，n-2=-3，m=2，n=-1∴原抛物线解析式为y=2(x-2)2-1

即y=2x2-8x+7第28页,共36页，2024年2月25日，星期天若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,则b=

，c=,-815解:求得抛物线y=x2-2x+2顶点(1,1)设原抛物线顶点为(m，n)则m-3=1，n+2=1，m=4，n=-1∴原抛物线解析式为y=(x-4)2-1

即y=x2-8x+15第29页,共36页，2024年2月25日，星期天

根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式：1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。3、抛物线经过点（4，-3），且x=3时y的最大值是4。练习：第30页,共36页，2024年2月25日，星期天四、数形结合一、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若△AOP的面积为6.(1)求二次函数的解析式.ABPOxy解;由已知,A(4,0),B(0,4)得直线AB的解析式为y=-x+4,作PE⊥OA于E,则0.5OA×PE=6,可得PE=3当y=3时,3=-x+4,∴X=1,∴P(1,3)

∵P在抛物线上,∴把x=1,y=3代入y=ax2,得a=3,

∴y=3x2E第31页,共36页，2024年2月25日，星期天ABPOxy（2）如果D为抛物线上一点，使△AOD面积是△AOP的面积的4倍,求D点坐标。

第32页,共36页，2024年2月25日，星期天

例2、已知二次函数的图象的顶点坐标为Ｃ（１，０），直线y=x