等差数列前项和的性质及应用

关于等差数列前项和的性质及应用知识回顾：1.{an}为等差数列

.

，an=，更一般的，an=，d=.an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b为常数am+(n-m)d2.等差数列前n项和Sn

=

=

.第2页,共54页，2024年2月25日，星期天复习：等差数列的前n项和公式第3页,共54页，2024年2月25日，星期天1、通项公式与前n项和的关系：例1、已知数列{an}的前n项和为，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？第4页,共54页，2024年2月25日，星期天分析：所以当n>1时，当n=1时，也满足上式。

因而，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。

第5页,共54页，2024年2月25日，星期天注：由上例得Sn与之间的关系：

由的定义可知，当n=1时，当n≥2时，

第6页,共54页，2024年2月25日，星期天新课1第7页,共54页，2024年2月25日，星期天第8页,共54页，2024年2月25日，星期天探究：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？分析：由，得令p+q+r=2p–(p+q)，得r=0。

==所以当r=0时，数列是等差数列，首项a1=p+q，第9页,共54页，2024年2月25日，星期天等差数列的前n项的最值问题一、第10页,共54页，2024年2月25日，星期天例题：已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值。分析：等差数列的前n项的最值问题第11页,共54页，2024年2月25日，星期天第12页,共54页，2024年2月25日，星期天1：数列{an}是等差数列，（1）从第几项开始有（2）求此数列前n项和的最大值练习：第13页,共54页，2024年2月25日，星期天小结：{an}为等差数列，求Sn的最值。第14页,共54页，2024年2月25日，星期天已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.7n113Sn能力提升第15页,共54页，2024年2月25日，星期天已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第16页,共54页，2024年2月25日，星期天已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn第17页,共54页，2024年2月25日，星期天练习1:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14C练习2:等差数列｛

an｝中，

，则前n项和取最大值时，n为（）A．6 ； B．7；C．6或7；D．以上都不对；C第18页,共54页，2024年2月25日，星期天1、数列{an}是等差数列，作业第19页,共54页，2024年2月25日，星期天新课2第20页,共54页，2024年2月25日，星期天性质1:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质2:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=0－(m+p)等差数列{an}前n项和的性质两等差数列前n项和与通项的关系性质3:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则第21页,共54页，2024年2月25日，星期天例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例3.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.10第22页,共54页，2024年2月25日，星期天例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.第23页,共54页，2024年2月25日，星期天课堂练习2.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且第24页,共54页，2024年2月25日，星期天练习第25页,共54页，2024年2月25日，星期天解:

练习第26页,共54页，2024年2月25日，星期天第27页,共54页，2024年2月25日，星期天作业第46页课本习题A组第4,5题第28页,共54页，2024年2月25日，星期天新课3第29页,共54页，2024年2月25日，星期天性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质4:(1)若项数为偶数2n,则

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2dnd等差数列{an}前n项和的性质第30页,共54页，2024年2月25日，星期天性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S偶－S奇=

,性质5:

为等差数列.an第31页,共54页，2024年2月25日，星期天例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A例1.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为

.5第32页,共54页，2024年2月25日，星期天第33页,共54页，2024年2月25日，星期天新课4第34页,共54页，2024年2月25日，星期天例3.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.153等差数列{an}前n项和的性质的应用第35页,共54页，2024年2月25日，星期天第36页,共54页，2024年2月25日，星期天例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质第37页,共54页，2024年2月25日，星期天(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.第38页,共54页，2024年2月25日，星期天作业求集合的元素个数，并求这些元素的和.第39页,共54页，2024年2月25日，星期天作业1、已知等差数列25,21,19,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.2：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第40页,共54页，2024年2月25日，星期天课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求的最值.第41页,共54页，2024年2月25日，星期天3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中间两项),此时有:S偶－S奇=,n2d0nd－(m+p)第42页,共54页，2024年2月25日，星期天性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则

S2n-1=(2n－1)an(an为中间项),

此时有:S偶－S奇=

,两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则性质5:为等差数列.an第43页,共54页，2024年2月25日，星期天新课5第44页,共54页，2024年2月25日，星期天倒序法求和倒序相加法：将数列的顺序倒过来排列，与原数列两式相加，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，这样的数列可用倒序相加法求和