高考二轮复习文科数学课件高考增分大题五增分2圆锥曲线中的定点定值证明问题

高考增分大题五圆锥曲线的综合问题增分2

圆锥曲线中的定点、定值、证明问题

考点一圆锥曲线中的证明问题(1)求椭圆C的方程和离心率;(2)设P,Q为椭圆C上不同的两个点,直线AP与y轴交于点E,直线AQ与y轴交于点F,若点M(1,0)满足MF⊥ME,求证:P,O,Q三点共线.当n=2k时,直线PQ的方程y=k(x+2),不符合题意.当n=0时,P,O,Q三点共线.综上,P,O,Q三点共线.即点(-x0,-y0)在直线AF上,因为点P(x0,y0)在椭圆上,由椭圆的对称性知点(-x0,-y0)也在椭圆上,即点(-x0,-y0)是直线AF与椭圆的交点Q,所以P,O,Q三点共线.(方法三)由题意得A(-2,0),不妨令点E在x轴上方.因为MF⊥ME,所以△EMF为直角三角形,所以|OE|·|OF|=|OM|2=1.规律方法常见解析几何证明问题转化策略

对点训练1(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,)的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于

.(2)(方法一)设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示,设直线AB的斜率为k(k>0).不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.A,B坐标满足y2-y1=k(x2-x1),A,D坐标满足∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.即(b-a)(c-b)+(b2-a2)(c2-b2)=0.显然(b-a)(c-b)≠0,于是1+(b+a)(c+b)=0.此时,|b+a|·|c+b|=1.于是min{|b+a|,|c+b|}≤1.考点二与圆锥曲线有关的定点问题为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点.(2)证明

(方法一)如图所示,由(1)知A(-3,0),B(3,0),设P(6,m).直线PA的方程为规律方法1.圆锥曲线中定点问题的常见解法(1)要证明直线或曲线过定点,可以根据已知条件直接求直线或曲线的方程,方程一旦求出,即能找到直线或曲线过的定点,也就证明了过定点;(2)对于直线或曲线是否过定点问题,一般先假定过定点,并假设出定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点;(3)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.C上.(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.∵直线AP,AQ分别与y轴交于M,N两点,且过A(-2,0),∴设直线AP的方程为y-0=k1(x+2),即y=k1x+2k1,设直线AQ的方程为y-0=k2(x+2),即y=k2x+2k2,∴M(0,2k1),N(0,2k2),T(0,k1+k2).又y1=k(x1+2)+3,y2=k(x2+2)+3,y1=k1x1+2k1,y2=k2x2+2k2,=2k+(-2k+3)=3,∴T(0,3).综上,线段MN的中点为定点(0,3).考点三与圆锥曲线有关的定值问题例3在平面直角坐标系中,A1,A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A1M,A2M相交于点M且它们的斜率之积是,记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,且点P位于x轴上方,记直线A1Q,A2P的斜率分别为k1,k2,证明:为定值.若直线l斜率存在,设直线l为y=k(x-1)=kx-k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),解题技巧1.求或证明某个量为定值的常见方法(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.以F2为圆心,2为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设过椭圆C的右焦点F2的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-2,直线l1交椭圆C于M,N两点,直线l2交椭圆C于G,H两点,线段MN,GH的中点分别为R,S,直线RS与椭圆C交于P,Q两点,A,B是椭圆C的左、右顶点,记△PQA与△PQB的面积分别为S1,S2,证明:为定值.解

(1)因为两圆的交点在椭圆上,所以6+2=2a,则a=4.考点四圆锥曲线中定点、定值的探究问题例4(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,S(t,4)为C上一点,直线l交C于M,N两点(与点S不重合).(1)若l过点F且倾斜角为60°,|FM|=4(M在第一象限),求C的方程.(2)若p=2,直线SM,SN分别与y轴交于A,B两点,且

=8,判断直线l是否恒过定点?若是,求出该定点;若否,请说明理由.【教师讲评—触类旁通】分析1:在(1)中,联立直线与抛物线的方程后得出方程两个根,由M在第一象限得出M的横坐标,再根据条件|FM|=4求出p的值,从而得出抛物线C的方程.分析2:在(2)中,采取设而不求的方法,设出直线方程并联立直线与抛物线方程得出两交点M,N的纵坐标与直线系数的关系式(*),再用M,N的