平行四边形的判定课件人教版数学八年级下册

第十八章平行四边形18.1平行四边形平行四边形的判定平行四边形的判定方法：方法1(定义法)：两组对边分别________的四边形是平行四边形.

方法2：两组对边分别________的四边形是平行四边形.

方法3：两组对角分别________的四边形是平行四边形.

平行

相等

相等平行四边形的判定(1)自主导学两组对边分别相等的四边形是平行四边形【例1】如图，AC是▱ABCD的一条对角线，BM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N.求证：四边形BMDN是平行四边形.分析：利用全等三角形证明DN＝BM，DM＝BN，从而可判定四边形BMDN是平行四边形.探究学习证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，DCAB.所以∠DAN＝∠BCM，∠DCM＝∠BAN.又DN⊥AC，BM⊥AC，所以∠DNA＝∠BMC＝90°.所以△AND≌△CMB.所以DN＝BM，AN＝CM.又DC＝AB，∠DCM＝∠BAN，所以△CDM≌△ABN.所以DM＝BN.所以四边形BMDN是平行四边形.技巧点拨：当证明一个四边形是平行四边形时，在已知或易证一组对边相等的条件下，可以考虑证明另一组对边也相等.1.若一个四边形四条边的长依次为a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形__________(填“是”或“不是”)平行四边形.

是

跟踪训练两组对角分别相等的四边形是平行四边形【例2】下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是(

).

A.1∶2∶3∶4B.2∶2∶3∶3C.2∶3∶3∶2D.2∶3∶2∶3解析：由两组对角分别相等的四边形是平行四边形，易知要判定四边形ABCD是平行四边形需满足∠A＝∠C，∠B＝∠D.因此若已知四个内角的度数之比，则需∠A与∠C，∠B与∠D所占的份数分别相等.答案：D技巧点拨：当已知或易求得四边形的内角时，可以考虑用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这个判定方法来证明四边形为平行四边形.2.下列条件能判定一个四边形为平行四边形的是(

).A.一组对边平行，另一组对边相等

B.一组对边平行，一组对角互补C.一组对角相等，一组邻角互补

D.一组对角相等，另一组对角互补C跟踪训练1.能够判定四边形ABCD是平行四边形的条件是(

).A.AB∥CD，AD＝BCB.∠A＝∠B，∠C＝∠DC.AB＝CD，AD＝BCD.AB＝AD，CB＝CD2.如果一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(

).A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88°3.以不在同一直线上的三点为顶点，可作平行四边形的个数是(

).A.1B.2C.3D.4

C

D

C

提升训练A.红花、绿花的种植面积一定相等B.紫花、橙花的种植面积一定相等C.红花、蓝花的种植面积一定相等D.蓝花、黄花的种植面积一定相等5.一个三边都不相等的三角形与它的全等三角形按不同的拼法拼成四边形，其中是平行四边形的有________个.

4.如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫共6种颜色的花.如果AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，且EF，GH的交点在对角线BD上，那么下列说法错误的是(

).C

36.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：因为∠B＝∠D，∠1＝∠2，AC=CA，所以△ABC≌△CDA(AAS).所以BC=DA，AB=CD.所以四边形ABCD是平行四边形.

8.如图，在△ABC中，BD是它的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，试猜想BE与CF之间的数量关系，并说明理由.解：BE＝CF．理由如下：因为DE∥BC，EF∥AC，所以四边形DEFC是平行四边形．所以DE＝CF．因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC．因为BD平分∠ABC，所以∠EBD＝∠DBC．所以∠EDB＝∠EBD．所以BE＝DE．所以BE＝CF．9.如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D'处，折痕l交CD边于点E，连接BE.(1)求证：四边形BCED'是平行四边形.(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.

解：其长度为8cm，且不随点P位置的改变而发生变化.理由如下：由△ABC为等边三角形，可得△AGH也是等边三角形，所以GH＝AG＝AM＋MG

①，同理MN＝MB＝MG＋GB

②.因为MN∥AC，EF∥AB，所以四边形AMPE为平行四边形.所以PE＝AM.同理四边形BFPG也是平行四边形，所以PF＝GB.所以EF＝PE＋PF＝AM＋GB

③.由①＋②＋③，得EF＋GH＋MN＝AM＋GB＋MG＋AM＋GB＋MG＝2(AM＋MG＋GB)＝2AB＝2×4＝8(cm).10.如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC，BC于点E，F，作GH∥BC分别交AB，AC于点G，H，作MN∥AC分别交AB，BC于点M，N.试猜想EF＋GH＋MN的长度，并判断它是否随点P位置的改变而发生变化，说明你的理由.1.平行四边形的判定方法：方法4：对角线互相______的四边形是平行四边形.

方法5：一组对边________且________的四边形是平行四边形.

2.在四边形ABCD中，若AB＝CD，再添加一个条件：_______________________，就可以判定四边形ABCD为平行四边形.

平分

平行

相等

AB∥CD(答案不唯一)自主导学平行四边形的判定(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形【例1】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：由平行四边形的性质，有OA＝OC，OB＝OD.又由中点定义，有OE＝OG，OF＝OH，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明.探究学习证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.又E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，所以OE＝OG，OF＝OH.所以四边形EFGH是平行四边形.技巧点拨：当遇到与四边形对角线有关的相等线段时，通常会运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来判定四边形是平行四边形，灵活运用平行四边形的性质与判定定理是解决问题的关键.1.已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是(

).A.若AO＝OC，则四边形ABCD是平行四边形B.若AC＝BD，则四边形ABCD是平行四边形C.若AO＝BO，CO＝DO，则四边形ABCD是平行四边形D.若AO＝OC，BO＝OD，则四边形ABCD是平行四边形

D

跟踪训练【例2】如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形AECF是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形分析：借助平行四边形的性质很容易得出AE∥FC，只要证明AE＝FC即可.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABDC.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FC.又AE∥FC，所以四边形AECF是平行四边形.技巧点拨：运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定方法时，要注意平行和相等的是同一组对边.2.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD上的点，连接AE，CF，使∠BAE＝∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC，AF∥CE，∠B＝∠D．又因为∠BAE＝∠DCF，所以△ABE≌△CDF．所以BE＝DF．所以AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE．所以四边形AECF是平行四边形．跟踪训练1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有(

).A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

第1题图

B

提升训练2.如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.要使四边形ABCD是平行四边形，可添加下列条件中的(

).A.AD＝BC

B.CD＝BF

C.∠F＝∠CDE

D.∠A＝∠C第2题图C

4.如图，已知∠EFD＝∠BCA，BC＝EF，AF＝DC，若将△ABC沿AD所在直线向右平移，使点C与点D重合，则所得到的四边形ABDE的形状是______________.

3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB所在直线向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于________.

第3题图8

平行四边形

第4题图5.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD所在直线上的两点，且AE∥CF.求证：CE∥AF.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD＝CB，AD∥CB．所以∠ADB＝∠CBD．所以∠ADE＝∠CBF．因为AE∥CF，所以∠AED＝∠CFB．所以△ADE≌△CBF．所以AE＝CF．所以四边形AECF是平行四边形．所以CE∥AF．6.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD