微专题一用数学方法解决物理问题

微专题一用数学方法解决物理问题1.三角函数求极值【例1】如图1所示，底边AB恒定为b，当斜面与底边夹角θ为多大时，物体沿此光滑固定斜面由静止从顶端滑到底端所用时间才最短？图1答案45°解析设斜面长度为L，有L＝eq\f(b,cosθ)a＝gsinθ，且有L＝eq\f(1,2)at2解得t＝eq\r(\f(2b,gsinθcosθ))＝eq\r(\f(4b,gsin2θ))故当θ＝45°时，所用时间最短，最短时间为tmin＝eq\r(\f(4b,g))。2.辅助角求极值三角函数：y＝acosθ＋bsinθy＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中tanα＝eq\f(a,b)，当θ＋α＝90°时，有极大值ymax＝eq\r(a2＋b2)。【例2】如图2所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走。已知该旅行箱的总质量为15kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面上做匀速直线运动，若拉力的最小值为90N，此时拉力与水平方向间的夹角为θ，重力加速度大小为g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，旅行箱受到地面的阻力与其受到地面的支持力成正比，比值为μ，则()图2A.μ＝0.5，θ＝37°B.μ＝0.5，θ＝53°C.μ＝0.75，θ＝53°D.μ＝0.75，θ＝37°答案D解析对旅行箱受力分析，如图所示。根据平衡条件，水平方向有Fcosθ－Ff＝0竖直方向有FN＋Fsinθ－G＝0其中Ff＝μFN故F＝eq\f(μG,cosθ＋μsinθ)令μ＝tanα，则F＝eq\f(Gsinα,cos（α－θ）)当α－θ＝0°时，F有最小值，故Fmin＝Gsinα＝90N，则α＝37°，故μ＝tan37°＝0.75，θ＝37°，故选项D正确。3.正弦定理在如图3所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)。图3【例3】如图4所示，两个质量分别为eq\r(3)m、m的小圆环A、B用不可伸长的细线连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的圆心角为90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表示，下列判断正确的是()图4A.小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是eq\r(3)∶1B.小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15°C.细线与水平方向的夹角为30°D.细线的拉力大小为eq\f(\r(3),2)mg答案A解析对小圆环A和B进行受力分析，根据平行四边形定则作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于绳子的拉力的大小，设A、B所受的支持力与竖直方向的夹角分别为α和β，如图所示。根据正弦定理可得eq\f(\r(3)mg,sin45°)＝eq\f(FT,sinα)，eq\f(mg,sin45°)＝eq\f(FT′,sinβ)，由于FT＝FT′，α＋β＝90°，整理可得α＝30°，β＝60°，FT＝FT′＝eq\f(\r(6),2)mg，再次利用正弦定理eq\f(FNA,sin（180°－45°－30°）)＝eq\f(\r(3)mg,sin45°)，eq\f(FNB,sin（180°－45°－60°）)＝eq\f(mg,sin45°)，整理可得eq\f(FNA,FNB)＝eq\f(\r(3),1)，故选项A正确，B、D错误；根据几何知识可知，细线与水平方向的夹角为90°－45°－30°＝15°，故选项C错误。4.均值不等式由均值不等式a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)可知：(1)两个正数的积为定值时，当两数相等，和最小。(2)两个正数的和为定值时，当两数相等，积最大。【例4】如图5所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为多少？(不计空气阻力，重力加速度大小为g)图5答案eq\f(v2,8g)解析设小物块滑到轨道最高点时的速度大小为v0，对小物块由动能定理得－2mgr＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)mv2小物块从轨道上端水平飞出后做平抛运动，则有2r＝eq\f(1,2)gt2，x＝v0t，可得x＝eq\r(－16r2＋\f(4v2r,g))＝eq\r(4r\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,g)－4r)))故4r＝eq\f(v2,g)－4r，即r＝eq\f(v2,8g)时，水平位移最大。5.利用二次函数求极值二次函数：y＝ax2＋bx＋c(1)当x＝－eq\f(b,2a)时，有极值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。(2)利用一元二次方程判别式求极值。用判别式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的极值。【例5】如图6所示，用内壁光滑细圆管弯成的半圆形轨道APB(半圆轨道半径远大于细圆管的内径)和直轨道BC组成的装置，把它竖直放置并固定在水平面上。已知半圆轨道半径R＝1m，质量m＝100g小球(视为质点)压缩弹簧由静止释放，小球从A点弹入圆轨道从C点以v0＝8m/s离开轨道后进入长L＝2m、μ＝0.1的粗糙水平地面(图上对应为CD)，最后通过光滑轨道DE，从E点水平射出，已知E距离地面的高度为h＝1m，除CD段外其他处摩擦阻力忽略不计，重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，求：图6(1)小球到达C点时对圆管的压力；(2)弹簧储存的弹性势能的大小；(3)若E点的高度h可以调节，当h多大时，水平射程x最大，此最大值是多少。答案(1)1N，方向竖直向下(2)1.2J(3)1.5m3m解析(1)小球在BC段做匀速直线运动，所受合外力为零，小球所受支持力为FN＝mg＝1N，根据牛顿第三定律知小球对圆管的压力大小为1N，方向竖直向下。(2)小球从静止到C点根据功能关系有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mg·2R＋Ep，解得Ep＝1.2J。(3)小球从C点到E点根据动能定理有－mgh－μmgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,E)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)得vE＝eq\r(60－20h)m/s过了E点小球做平抛运动，有h＝eq\f(1,2)gt2，x＝vEt得到x与h的关系为x＝eq\r(12h－4h2)m当h＝1.5m时，x有最大值，xmax＝3m。6.数学归纳法和数列法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。该类问题求解的基本思路为(1)逐个分析开始的几个物理过程。(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)。(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。等差：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d(d为公差)。等比：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q为公比)。【例6】如图7所示，质量M＝2kg的平板小车左端放有质量m＝3kg的小铁块(可视为质点)，它和小车之间的动摩擦因数μ＝0.5。开始时，小车和物块共同以v0＝3m/s的速度向右在光滑水平面上运动，车与竖直墙正碰，碰撞时间极短且碰撞中不损失机械能。车身足够长，使铁块不能和墙相撞，且始终不能滑离小车，g取10m/s2。求小车和墙第一次碰后直至其最终恰好靠墙静止这段时间内，小车运动的总路程。图7答案1.25m解析小车第一次碰墙后以原速率反弹，并在小铁块的摩擦力作用下向左减速，因mv0>Mv0，故小车先减速为零，后向右加速直至与铁块达到共同速度；之后小车第二次碰墙后反弹，重复上述过程。设小车第一次碰墙后向左运动的最大距离为s1，第二次碰墙后向左运动的最大距离为s2，第三次碰墙后向左运动的最大距离为s3…，小车第一次碰墙之后与铁块的共同速率为v1，第二次碰墙之后与铁块的共同速率为v2，第三次碰墙之后与铁块的共同速率为v3…第一次碰墙之后，由动能定理得μmgs1＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)解得s1＝eq\f(Mveq\o\al(2,0),2μmg)＝eq\f(3,5)m由动量守恒定律得(m－M)v0＝(m＋M)v1解得v1＝eq\f(m－M,m＋M)v0＝eq\f(1,5)v0第二次碰墙之后，由动能定理得μmgs2＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,1)解得s2＝eq\f(Mveq\o\al(2,1),2μmg)＝eq\