有理数的除法重难点

有理数除法【根底知识精讲】有理数除法的意义与小学学过的正数的除法的意义是相同的，即：两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫除法，所不同的是，负有理数可以参加除法运算.1．关于倒数乘积为1的两个数互为倒数，即：如果a·b=1，那么a,b互为倒数.反过来，如果a,b互为倒数，那么ab=1.因为任何与0相乘的积都是零，而不能是1，所以0没有倒数.一般地，求一个整数的倒数，直接写成这个数的分之一即可.求一个分数的倒数，只要把分子、分母颠倒一下即可.即a(a≠0)的倒数是；〔a≠0,b≠0〕的倒数是.例如的倒数是2，-3的倒数是-，-的倒数是-.2．除法的运算法那么法那么一：除以一个数等于乘上这个数的倒数，即：a÷b=a·(b≠0)法那么一说明了有理数的除法和乘法可以互相转化，由于0没有倒数，所以除数不能为0.法那么二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，得0.3．利用除法化简分数除法可以写成几种不同的形式，例如：6÷3可以写成，还可写成6∶3.说明除法可以表示成分数和比的形式;反过来,分数和比可化为除法,由于除法、分数和比可以互化，所以可以利用除法化简分数.4．关于运算律因为除法可以转化成乘法，所以乘法的运算律有的在除法中适用，例如乘法的分配律在除法中的应用，如〔-25〕÷〔-5〕=〔25+〕÷5=25÷5+÷5=5+=5，但是乘法的交换律和结合律在除法中是不适用的，如6÷5≠5÷6，〔6÷2〕÷3≠6÷〔2÷3〕【重点难点解析】1.本节的重点是有理数除法法那么；难点是确定商的符号和灵活运用除法的两个法那么.2.根据倒数的意义可知，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.在表示一个数〔0除外〕的倒数时，只要把这个数的分子、分母颠倒位置就可以了.3.对于除法的两个法那么.在计算时可根据具体的情况运用.一般在不能整除的情况下应用第一个法那么.如1÷〔-1〕=×〔-〕=-；在能整除的情况下，应用第二个法那么比拟方便，如：〔-16〕÷〔+2〕=-16÷2=-8，写成〔-16〕÷2=-16×〔+〕=-8就繁琐了.例1计算〔1〕〔-40〕÷〔-8〕；〔2〕〔-5.2〕÷3.分析:题(2)∵5.2=,3,∴原式=(-)×.解:(1)(-40)÷(-8)=5;(2)(-5.2)÷3=-×=-=-1.注:题(1)能整除,在确定商的符号之后,直接除比拟简便;题(2)的除数是分数,把它转化为乘法比拟简便.例2计算-2.25÷1×(-8)分析:把小数化为分数,除法转化为乘法,带分数化为假分数,即-×(-8)再乘.解:-2.25÷1×(-8)=-×(-8)=16注:有理数的乘除法运算是同一级运算,因此应按照从左到右的顺序进行运算.错误的解是-2.25÷1×(-8)=-2.25÷×(-8)=-2.25÷(-9)=,原因是先乘后除了.为了防止这类错误,应化除为乘.例3计算(-)÷()错解:原式=(-)÷+÷+(-)÷-(-)÷=-+-==正确:原式=-÷=-×=-注:乘法对加法满足分配律,但除法对加法并不满足分配律.只有当把除法转化为乘法以后,才能运用分配律.例4：化简以下分数(1)(2)-;(3)(4)-解:(1)(2)-[3÷(-9)]=-(-)=;(3)=0÷(-3)=0;(4)-[(-a)÷(-b)]=-a÷b=-.注:利用除法化简分数,主要是简化分数的符号,一般地有,分数的分子、分母、分数本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变，这一结论使上述问题化简过程更为简便，如第〔4〕小题-【难题巧解点拨】例1计算：65÷〔-〕+〔-17〕÷〔-〕解：65÷〔-〕+〔-17〕÷〔-〕=65×(-)+(-17)×(-)=48×(-)=(48+)×(-)=48×(-)+×(-)=-52-注：此题灵活运用运算律，使繁杂的计算变得简便.例2计算：〔-317÷158+1÷365×〕×〔2+1-〕解：〔-317÷158+1÷365×〕×〔2+1-〕=〔-317÷158+1÷365×〕×〔3-〕=〔-317÷158+1÷365×〕×0=0注：前一个括号计算复杂，后一个括号那么很特殊且简单，因此有时不能只顾算前面无视后面，造成浪费时间.例3计算：〔-191919×9898+989898×1919〕÷〔-+3.14〕分析：此题看上去好似计算量很大，但仔细观察分子可发现，191919=19×10101，9898=98×101，989898=98×10101，1919=19×101，这样一来，两个积互为相反数，相加得0.解：==【课本难题解答】1．计算〔1〕〔-〕×〔-1〕÷〔-2〕；〔2〕-6÷〔-0.25〕×解：〔1〕〔-〕×〔-1〕÷〔-2〕=〔-〕×〔-〕×〔-〕=-××=-〔2〕-6÷〔-0.25〕×=-6÷(-)×=6×4×=注：先将小数化成分数，将除法变成乘法，最后确定结果的符号.2．判断以下各式是否成立：〔1〕；(b≠0)〔2〕(b≠0)解：〔1〕、〔2〕均正确.注：根据分数与除法互化来做：如：，如：=(-a)÷b=-a÷b=-,÷(-b)=-a÷b=-∴【典型热点考题】例1填空题：〔1〕-1.5的倒数是;的倒数是-0.6.〔2〕a-b(a≠b)的倒数是;〔3〕-12÷(-3)=;-2÷(-6)=;〔4〕13÷(-52)=;-2÷(-1)=;〔5〕;-=.

解：(1)-;- (2) (3)4;;(4)-;2; (5);1注意：〔1〕一般倒数用分数表示比拟方便；〔2〕只有在a-b≠0的条件下，a-b才有倒数；〔3〕利用除法可以简化分数的符号，一般地有分数的分子、分母、分式本身的三个符号中，任意改变其中两个的符号，分数的值不变.例2计算题：〔1〕-54×2÷〔-2〕×；〔2〕〔-128〕÷〔-32〕；〔3〕[15-(1÷1+1÷3)]÷(-1).解：〔1〕原式=54×××=54×=12〔2〕原式=128÷32+÷32=4+=4〔3〕原式=-[15-〔×+×〕×]=-[15-〔+〕]×=-×=-10注意：〔1〕如果算式中只含有乘除法运算，应按从左到右的顺序进行运算，不能乱.〔2〕含有加减乘除的混合运算中，要先算乘除，再算加减，遇到括号要先算括号里面的.例3计算：-8+8÷〔-2×〕解：原式：=-8+÷〔-×〕=-8+÷〔-〕=-8-33=-41【同步达纲练习】〔时间45′，总分值100分〕1．选择题：〔1〕两个有理数的商是正数，这两个数一定是〔〕A．都是负数； B．都是正数C．至少一个是正数； D．两数同号.〔2〕计算：〔-1〕÷〔-5〕×〔-〕的结果是〔〕A．-1； B．1； C．- D．-25.〔3〕以下说法错误的选项是〔〕.A．任何有理数都有倒数； B．互为倒数的两数的积等于1；C．互为倒数的两数符号相同； D．1和-1互为负倒数.〔4〕一个数的倒数的相反数是3，那么此数是〔〕A．； B．； C．-； D．-.〔5〕假设a<,那么a满足〔〕A．a>1; B．0<a<1或a<-1;C．a>-1; D．-1<a<0或a>1〔6〕两数的商为正，那么这两数〔〕A．和为正； B．差为正；C．积为正； D．以上都不对.〔7〕以下说法错误的选项是〔〕A．小于-1的数的倒数大于其本身； B．小于1的正数的倒数大于其本身；C．一个数的倒数不能等于它本身； D．m-n(m≠n)的倒数是.〔8〕如果a<b<0,那么以下式子成立的是〔〕.A．B．ab<1; C．; D．2.计算：〔1〕÷〔-〕；〔2〕〔-〕÷〔+3〕；〔3〕-÷〔-7〕；〔4〕〔-〕÷〔5〕÷〔-〕÷〔-〕；〔6〕〔-0.1〕÷10÷(-100);〔7〕(-81)÷2×÷(-16)÷(-); 〔8〕(16)÷8÷53×(-7).3.写出以下各数的倒数：-4，，2.4,-1,1-0.014．化简分数：〔1〕-； 〔2〕； 〔3〕-； 〔4〕.5．列式计算：〔1〕一个数的4倍是-5，这个数是多少？〔2〕一个数与1的积是-4，求这个数.〔3〕0．378的多少倍是-2.646？【素质优化训练】1．填空题〔1〕的倒数是-0.125;-2的负倒数是;0.36的倒数的相反数是.〔2〕如果a,b互为倒数,那么3ab=,如果abc<0,且a,b异号,那么c0.〔3〕当a时,,当a时,.〔4〕当m=时,2÷(3m+1)没有意义;当n=时,(1-2n)÷11=0.〔5〕两数的积是-1,其中一个数是-1,那么另一个数是.〔6〕-和的和的倒数是;-和的倒数和是.〔7〕假设>1,那么a的取值范围是;假设<1,那么a的取值范围是.〔8〕假设ab<0,且a>b,那么a0,b0.〔9〕假设0.〔10〕如果-1<a<b<0,那么.2.计算(1)[1×24]÷5;(2)-1÷×(-0.2)×1÷1.4×(-);(3)(-)×(+)÷×(-)(4)(-11)÷0.5-(-21)÷0.5+(-10)÷0.5;(5)13÷÷3+÷-0.34÷1.参考答案：【同步达纲练习】1.(1)D;(2)C;(3)A;(4)D;(5)B;(6)C;(7)C;(8)D.2.(1)-;(2)-(3)(4)-;(5)1(6)0.0001;(7)-4;(8)3.-,15