特征值和方法

关于特征值和方法引言工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。第2页,共49页，2024年2月25日，星期天London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)第3页,共49页，2024年2月25日，星期天IdecidethatIhavetowritesomethingtoday,otherwiseIwouldnotknowhowtospeakEnglishhere.Thisisaveryquickstoryaboutabridge.

LondonlaunchedthreemajorconstructionprojectstocelebratethearrivaloftheMillennium.Afterall,Greenwich(pronouncedgreen-ich)issupposedtobe(supposedtobe?!)wheretheprimemeridianlies,andtheplacewheretheMillenniumofficiallystartsintheworld.ThethreeprojectsaretheMillenniumDomeinNorthGreenwich,sofarthelargestsingleroofedstructureintheworld,LondonEyerightacrossWestminster,whichbecomessofarthelargestobservationwheelintheworld,andtheMillenniumBridgethatlinksSoutheastLondonwithSt.Paul’sCathedral,whichiscurrently…well...notswinginganymore,itissaid.第4页,共49页，2024年2月25日，星期天ThebridgewasdesignedbyImperialCollege,acollegeofmyformeruniversity.Ontheveryfirstdaythatthebridgewasopentopublic,thereweresimplysomanypeoplegoingtheretowalkfromthesouthbanktoSt.Paul’sthattheweightcompletelyexceededthearchitect’sexpectation.

Theslendersteeltrussbridgebegantovibratewithamillionpeopleonthere.Theopeningceremonyendedupinanembarrassingvertigo.

MillenniumleftLondonersahappyadageaboutswingingbridge,meaningfancytechnologythatlooksgoodbutfunctionsinafunnyfashion.

AmIusingtoomanyF’shere?OrisitsimplybecausemytonguestartstoswinginthesamedirectionwhenIamwritingaboutthiswobblybridge?

NexttimeyouvisitLondon,Istronglyrecommendthisplace.Afterall,withalittleswing,thisisashortcuttodashintoSt.Paul’sdirectlyfromthesoutheast!第5页,共49页，2024年2月25日，星期天G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRank（网页级别）vector“The$25,000,000,000Eigenvector”搜索引擎第6页,共49页，2024年2月25日，星期天9.1特征值与特征向量设A是n阶矩阵，x是非零列向量.如果有数λ存在，满足，(1)那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.

第7页,共49页，2024年2月25日，星期天如果把(1)式右端写为，那么(1)式又可写为:记它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式，其中a0=(-1)n｜A｜.

(2)第8页,共49页，2024年2月25日，星期天

显然，当λ是A的一个特征值时，它必然是的根.反之，如果λ是的根，那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式成立.从而，λ是A的一个特征值.

A的特征值也称为A的特征根.

第9页,共49页，2024年2月25日，星期天矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：

定理9.1.1n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要条件是A有零特征值.定理9.1.2设矩阵A与矩阵B相似，那么它们有相同的特征值.定理9.1.3n阶矩阵A与AT有相同的特征值.定理9.1.4设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特征值，x、y分别是其相应的右特征向量和左特征向量，那么，xTy=0.第10页,共49页，2024年2月25日，星期天9.2Hermite矩阵特征值问题

设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH.如果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵.第11页,共49页，2024年2月25日，星期天9.2.1Hermite矩阵的有关性质

设是Hermite矩阵A的n个特征值.有以下性质:

全是实数.

有相应的n个线性无关的特征向量，它们可以化为一组标准酉交的特征向量组,即

是酉空间中的一组标准酉交基.第12页,共49页，2024年2月25日，星期天记U=(),它是一个酉阵，即UHU=UUH=I，那么即A与以为对角元的对角阵相似.A为正定矩阵的充分必要条件是全为正数.第13页,共49页，2024年2月25日，星期天定理9.2.1设是Hermite矩阵A的n个特征值，那么

证:第14页,共49页，2024年2月25日，星期天

设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵，称为矩阵A关于向量x的Rayleigh商，记为R(x).定理9.2.2如果A的n个特征值为其相应的标准酉交的特征向量为那么有定理9.2.3设A是Hermite矩阵，那么第15页,共49页，2024年2月25日，星期天9.2.2极值定理

定理9.2.4(极值定理)设Hermite矩阵的n个特征值为，其相应的标准酉交特征向量为.用Ck表示酉空间Cn中任意的k维子空间，那么第16页,共49页，2024年2月25日，星期天9.2.3Hermite矩阵特征值问题的性态

矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一样，都存在当矩阵A的原始数据有小变化(小扰动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题，如果引起的变化小，称该特征值问题是良态的.反之，称为病态的.

矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常分别就单个特征值或整体特征值给出条件数进行分析.对于Hermite矩阵，由于其特征值问题的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明Hermite矩阵特征值的扰动定理.第17页,共49页，2024年2月25日，星期天定理9.2.5设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为

那么,证设矩阵A关于特征值λ1，λ2，…，λn

的标准酉交特征向量为u1，u2，…，un，是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1维子空间.

对中任意非零向量x,由极值定理,有第18页,共49页，2024年2月25日，星期天由定理9.2.3，又由定理9.2.2，对任意x≠0，有从而有另一方面,A=(A+E)-E.记为矩阵-E的特征值，那么，重复上面的过程,可得从而有第19页,共49页，2024年2月25日，星期天定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值的扰动定理

定理9.2.6设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩阵，其特征值分别为和，那么这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化不会超过‖E‖2.一般‖E‖2小，因此，Hermite矩阵特征值是良态的.第20页,共49页，2024年2月25日，星期天9.3Jacobi方法理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征值为对角元的对角阵.问题是如何构造这样的正交矩阵呢?Jacobi方法就是通过构造特殊的正交矩阵序列，通过相似变换使A的非对角线元素逐次零化来实现对角化的.9.3.1平面旋转矩阵与相似约化先看一个简单的例子.第21页,共49页，2024年2月25日，星期天设是二阶实对称矩阵，即a21=a12，其特征值为λ1，λ2.令使得记容易验证BT=B,且第22页,共49页，2024年2月25日，星期天解之得:当时当时可选取

为使RTAR为对角阵，要求b12=b21=0第23页,共49页，2024年2月25日，星期天一般的n阶平面旋转矩阵第24页,共49页，2024年2月25日，星期天9.3.2经典的Jacobi方法

设A是实对称矩阵，记A1=A.Jacobi方法的基本思想是用迭代格式

Ak+1=QTkAkQk,k=1,2,…

构造一个相似矩阵序列，使｛Ak｝收敛于一个对角阵.其中Qk为平面旋转矩阵，其旋转角θk由使Ak的绝对值最大元a(k)pq=a(k)qp=0或按列依次使A的非对角元零化来确定.第25页,共49页，2024年2月25日，星期天

定理9.3.1设A是n阶实对称矩阵，那么由Jacobi方法产生的相似矩阵序列｛Ak｝的非对角元收敛于0.也就是说，｛Ak｝收敛于以A的特征值为对角元的对角阵.

记其中Ek是Ak除主对角元外的矩阵.由平面旋转矩阵的性质中,对于,有因此,第26页,共49页，2024年2月25日，星期天又由假设,因此,这样,便有从而,当第27页,共49页，2024年2月25日，星期天9.3.3实用的Jacobi方法

循环Jacobi方法必须一次又一次扫描，才能使｛Ak｝收敛于对角阵，计算量很大.在实际计算中，往往用一些特殊方法来控制扫描次数，减少计算量.下面介绍一种应用最为广泛的特殊循环Jacobi方法——阈Jacobi方法.阈Jacobi方法首先确定一个阈值δ，在对非对角元零化的一次扫描中，只对其中绝对值超过阈值的非对角元进行零化.当所有非对角元素的绝对值都不超过阈值后，将阈值减少，再重复下一轮扫描，直至阈值充分小为止.减少阈值的方法通常是先固定一个正整数M≥n，扫描一次后，让.而阈值的下界是根据实际问题的精度要求选定的.

第28页,共49页，2024年2月25日，星期天9.3.4用Jacobi方法计算特征向量假定经过k次迭代得到Ak+1=RTk…RT1AR1…Rk，(15)这时Ak+1是满足精度要求的一个近似的对角阵.如果记Qk=R1R2…Rk=Qk-1Rk，(16)

那么，Qk是一个正交矩阵，且(15)式又可表示为Ak+1=QTkAQk.当Ak+1的非对角元素充分小，Qk的第j列qj可以看成是近似特征值a(k+1)jj相应的特征向量了.第29页,共49页，2024年2月25日，星期天

在实际计算中，可以按(16)式在迭代过程中形成Qk，把Qk看成是Qk-1右乘一个平面旋转矩阵得到.不妨记Q0=I，Qk的元素按下式计算：第30页,共49页，2024年2月25日，星期天9.4对分法

理论上，一个实对称矩阵正交相似于一个以其特征值为对角元的对角阵.但是，经典的结果告诉我们，一个大于4次的多项式方程不可能用有限次四则运算求根.因此，我们不可能期望只用有限次相似变换将一个实对称矩阵约化为一个对角阵.下面先介绍将一个实对称矩阵相似约化为实对称三对角矩阵的方法，再讨论求其特征值的对分法.第31页,共49页，2024年2月25日，星期天9.4.1相似约化为实对称三对角矩阵

将一个实对称矩阵正交相似约化为一个实对称三对角矩阵的算法，可归纳如下：记A(1)=A,对k=1,2,…,n-2①按(4)式、(5)式和(8)式计算；②按(9)～(12)式，计算A(k+1).第32页,共49页，2024年2月25日，星期天第33页,共49页，2024年2月25日，星期天9.4.2Sturm序列的性质

设实对称三对角矩阵为其中βi≠0(i=1,2,…，n-1)

其特征矩阵为T-λI.记T-λI的第i阶主子式为第34页,共49页，2024年2月25日，星期天这是关于λ的i次多项式，当i=n时，pn(λ)=｜T-λI｜是矩阵T的特征多项式.令p0(λ)≡1，则有p1(λ)=α1-λ，pi(λ)=(αi-λ)pi-1(λ)-β2i-1pi-2(λ)，i=2,3，…，n.(15)多项式序列｛pi(λ)｝(i=0,1,…，n)称为Sturm序列

第35页,共49页，2024年2月25日，星期天定理9.4.1｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n)的根都是实根.

证由(14)式，pi(λ)是i阶实对称矩阵的特征多项式，因此，｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n)的根全是实根.定理9.4.2定理9.4.2设α是pi(λ)的一个根，那么

①pi-1(α)pi+1(α)≠0，即相邻的两个多项式无公共根；②pi-1(α)pi+1(α)<0，即pi-1(α)与pi+1(α)反号.

定理9.4.4pi(λ)的根都是单根，并且将pi+1(λ)的根严格隔离.

第36页,共49页，2024年2月25日，星期天9.4.3同号数和它的应用定义1设p0(λ)≡1，｛pi(λ)｝(i=1,2,…，n)是一个Sturm序列，称相邻的两个数中符号一致的数目为同号数，记为ai(λ).若某个pi(λ)=0，规定与pi-1(λ)反号.定理9.4.5设两个实数x<y，那么，形如(13)式的实对称三对角矩阵T的特征多项式在区间(x,y］上根的数目为a(x)-a(y).第37页,共49页，2024年2月25日，星期天9.4.4求Hermite矩阵特征值的对分法

对分法的计算可归纳为以下4个部分①确定(13)式的矩阵T的全部特征值的分布区间.②在区间［a,b］中，用区间对分的方法找出只含T的一个特征值的子区间.③在只含一个特征值的子区间上的对分法.④同号数的计算.第38页,共49页，2024年2月25日，星期天9.5乘幂法

设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小排序为又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量v1，v2，…，vn线性无关.乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法.第39页,共49页，2024年2月25日，星期天xk→λk1a1v1(k→∞).因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量.

迭代格式为按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1的乘幂法的计算公式：

第40页,共49页，2024年2月25日，星期天9.5.2收缩方法设矩阵A的n个特征值按模从大到小排序为，其相应的n个线性无关特征向量为v1，v2，…，vn.在计算A的最大特征值λ1及相应特征向量v1后，可以通过收缩方法，继续用乘幂法计算λ2及其相应的特征向量v2.第41页,共49页，2024年2月25日，星期天定义n阶矩阵把去掉A1的第1行和第1列的n-1阶矩阵记为第42页,共49页，2024年2月25日，星期天那么，B有与A1除λ1外的相同的n-1个特征值｜λ2｜>｜λ3｜≥…≥｜λn｜，可以用乘幂法计算λ2及其相应的特征向量.在计算λ1和v１后，按(15)式形成n-1阶矩阵B的计算过程称为收缩方法.第43页,共49页，2024年2月25日，星期天9.6反幂法反幂法可以求一个非奇异矩阵A的逆矩阵A-1的按模最小的特征值及相应的特征向量，又可以求A的一个近似特征值相应的特征向量.9