第1节曲线运动运动的合成与分解

第四章曲线运动万有引力与宇宙航行第1节曲线运动运动的合成与分解目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、曲线运动1.速度方向：质点在某一点的速度方向沿曲线在这一点的

切线

⁠方向。2.运动性质：曲线运动一定是

变速

⁠运动。3.曲线运动的条件两个角度运动学角度物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上（加速度可以是恒定的，也可以是变化的）动力学角度合外力的方向跟物体速度方向不在同一条直线上（合外力可以是恒力，也可以是变力）切线

变速

二、运动的合成与分解1.分解原则：一般根据运动的

实际效果

⁠进行分解。2.运算法则：位移、速度、加速度的合成或分解遵循

平行四边形

⁠定则。3.合运动与分运动的关系等时性合运动与分运动、分运动与分运动经历的

时间

⁠相等，即同时开始、同时进行、同时停止独立性各分运动相互独立，不受其他运动的影响。各分运动共同决定合运动的性质和轨迹等效性各分运动叠加起来与合运动有完全相同的

效果

⁠实际效果

平行四边形

时间

效果

⁠

如图所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动。（1）猴子相对地面运动的轨迹是直线。

（

×

）（2）猴子相对地面做匀变速运动。

（

√

）（3）猴子受到的合外力斜向右上。

（

×

）

×√×√×Part02着眼“四翼”·探考点⁠考点一

物体做曲线运动的条件与轨迹分析

[素养自修类]1.[曲线运动的条件及特点]初速度不为零的小球只受到一个大小不变的力作用，下列说法正确的是（

）A.小球一定做曲线运动B.小球的位置可能保持不变C.小球的速度大小可能保持不变D.小球的加速度一定保持不变解析：C

当小球的速度方向与力共线时，小球做直线运动，选项A错误；小球所受合外力不为零，一定会运动，所以小球的位置不可能保持不变，选项B错误；若力F与速度垂直，力的大小不变，方向不断变化，则小球能做匀速圆周运动，速度的大小保持不变，选项C正确；小球所受的合外力大小不变，方向不确定，所以加速度不一定保持不变，选项D错误。2.[运动轨迹的判断]如图，将六块塑料片拼接成一弯曲轨道置于放在水平桌面的白纸之上，让一沾上墨水的小铁球从中滚过，留下曲线OABC，下列说法错误的是（

）A.小球在B点的速度方向沿切线方向B.小球离开C点后做直线运动C.若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后仍沿原曲线运动D.若拆去3、4、5、6板，小球离开A点后将做直线运动解析：C

物体做曲线运动的速度方向沿所在位置的切线方向，故A正确；小球离开C点后，所受合力方向与速度方向在一条直线上，所以沿C点的速度方向做直线运动，故B正确；拆去5、6或3、4、5、6塑料板，小球将沿离开时的速度方向做直线运动，故C错误，D正确。3.[加速度方向与速率变化的关系]（2023·江苏徐州模拟）“落叶球”是足球比赛中任意球的一种踢法，如图所示，这是某运动员主罚任意球时踢出快速旋转的“落叶球”在空中运动的轨迹，跟正常飞行轨迹相比，“落叶球”会更早地向下落回地面。对“落叶球”在飞行过程中的分析正确的是（

）A.“落叶球”在空中的运动轨迹是对称的B.“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力C.“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了沿切线方向的空气阻力D.“落叶球”在最高点的瞬时速度为零解析：B

“落叶球”是快速旋转的球，受到空气作用力，所以在空中的轨迹不是对称的，A错误；根据做曲线运动的条件，“落叶球”的更早下落是因为在运动过程中受到了指向轨迹内侧的空气作用力，C错误，B正确；“落叶球”在最高点的竖直速度为零，水平速度不为零，所以瞬时速度不为零，D错误。⁠1.物体做曲线运动的特征（1）运动学特征：由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线的切线方向，所以做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动。（2）动力学特征：由于做曲线运动的物体的速度时刻变化，说明物体具有加速度，根据牛顿第二定律可知，物体所受的合力一定不为零，物体所受的合力的方向和速度方向始终不在一条直线上且指向轨迹凹侧。2.速率变化的判断合力方向与速

考点二

运动的合成与分解

[互动共研类]1.运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解。由于它们均是矢量，合成与分解都遵守平行四边形定则。2.合运动的性质和轨迹的判断（1）若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度（大小或方向）变化，则为非匀变速运动。（2）若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。【典例1】

如图所示，从上海飞往北京的波音737客机在上午10点10分到达首都国际机场。若飞机在水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s时开始降落，降落过程中飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前（

）A.飞机的运动轨迹为曲线B.经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C.在第20s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D.飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s

答案

D⁠若飞机在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小为0.2m/s2的匀减速直线运动。（1）飞机的运动轨迹是直线还是曲线？解析（1）飞机的初速度方向斜向下方，而加速度方向竖直向上，故飞机的运动轨迹为曲线。答案

（1）曲线

（2）当飞机竖直速度减为零时，飞机恰好着陆，则着陆前飞机的位移为多大？

答案

（2）1802m｜一题悟通｜例题及相关拓展延伸旨在让学生掌握合运动轨迹和性质的判断，以及合运动各物理量的计算方法。（1）分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解。（2）要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解。（3）两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。⁠1.[合运动轨迹的判断]（2023·江苏扬州高三月考）在水平桌面上放置一张纸，画有如图所示的平面直角坐标系，一个涂有颜料的小球沿y轴正方向运动（不计球与纸间的摩擦），经过原点O时，白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，经过一段时间，纸面上留下的痕迹可能为（

）解析：A

白纸从静止开始沿x轴正方向做匀加速直线运动，等效为小球相对于白纸在x方向上沿x轴负方向做匀加速直线运动，即x方向上的合力指向x轴负方向；小球在y方向上沿y轴正方向做匀速直线运动，合力为零，故总的合力指向x轴负方向，指向轨迹内侧，小球的合运动为匀变速曲线运动，故选A。2.[合运动的运动规律]（2023·江苏宿迁模拟）2021年央视春节晚会采用了无人机表演。现通过传感器获得无人机水平方向速度vx、竖直方向速度vy（取竖直向上为正方向）与飞行时间的关系如图所示，则下列说法正确的是（

）A.无人机在t1时刻上升至最高点B.无人机在t2时刻处于超重状态C.无人机在0～t1时间内沿直线飞行D.无人机在t1～t3时间内做匀变速运动解析：D

因为最高点是竖直方向速度为0的时刻，无人机在t3时刻上升至最高点，所以A错误；无人机在t2时刻处于减速上升过程，加速度向下，处于失重状态，所以B错误；无人机在0～t1时间内沿曲线飞行，因为其合加速度方向与合速度方向不在同一直线，所以C错误；无人机在t1～t3时间内，水平方向做匀速直线运动，合力为0，竖直方向做匀减速直线运动，其合外力不变，所以无人机做匀变速运动，所以D正确。考点三

小船渡河模型

[方法模型类]小船渡河的两类情况最短时间最短航程v船＞v水v船＜v水⁠⁠⁠【典例2】

小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5min到达正对岸。求：（1）水流的速度大小；

答案

（1）0.2m/s

（2）小船在静水中的速度大小、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α。解析（2）船头保持与河岸成α角向上游航行时，如图乙所示。则v2＝v1cos

α，d＝v1sin

α·t2由图甲可得d＝v1t1联立解得α＝53°，v1≈0.33

m/s，d＝200

m。答案

（2）0.33m/s

200m

53°⁠1.[最短时间渡河问题]若河面宽300m，水流速度为3m/s，木船相对静水的速度为1m/s，则木船渡河所需的最短时间为（

）A.75sB.95sC.100sD.300s

2.[最短位移渡河问题]

（2023·海安中学检测）如图所示，快艇在静水中的航行速度大小为13m/s，某河流的水流速度大小为5m/s，已知快艇在此河流中渡河的最短时间为12s。若快艇以最短路程渡河，则渡河的时间为（

）A.13sB.15sC.18sD.20s

3.[水流速度大于船在静水中速度的渡河问题]A船以vA的速度用最短的时间渡河，B船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合（设河水速度保持不变），则两船过河所用的时间之比是（

）A.vA∶vBB.vB∶vA

考点四

绳（杆）端速度分解模型

[方法模型类]1.绳（杆）端速度分解模型（1）模型特点沿绳（杆）方向的速度分量大小相等。（2）绳（杆）端速度的分解思路2.四种常见的速度分解模型【典例3】

如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，a、b两物体质量分别为m1和m2，且m1＜m2。若将b从位置A由静止释放，当落到位置B时，b的速度为v2，且绳子与竖直方向的夹角为θ。这时a的速度大小v1等于（

）A.v2sinθC.v2cosθ解析物体a的速度与绳上各点沿绳方向的速度大小相等，所以绳的速度等于a的速度v1，而b的实际速度v2可分解为沿绳子方向的分速度和垂直于绳子的分速度。因此v1跟v2的关系如图所示，由图可看出a的速度大小v1＝v2cos

θ，C正确。答案

C⁠1.[绳端速度分解模型]如图所示，一工人利用定滑轮和轻质细绳将货物提升到高处。已知该工人拉着绳的一端从滑轮的正下方水平向右匀速运动，速度大小恒为v，直至绳与竖直方向的夹角为60°。若滑轮的质量和摩擦阻力均不计，则该过程（

）A.货物也是匀速上升B.绳子的拉力大于货物的重力D.工人做的功等于货物动能的增加量

2.[杆端速度分解]如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小恒为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是（

）A.v1＝v2B.v1＝v2cosθC.v1＝v2tanθD.v1＝v2sinθ解析：C

可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos

θ＝v2sin

θ，v1＝v2

tan

θ，C正确。3.[接触面处速度分解]如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的线速度为（

）B.vsinθD.vcosθ

Part03聚焦“素养”·引思维⁠“STSE问题”巧迁移─生活中的运动的合成与分解类型一

骑马射箭【典例1】

民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则（

）

答案

B类型二

转台投篮【典例2】

趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球。下面的各俯视图中篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）的是（

）解析当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，篮球就会被投入球筐，故C正确，A、B、D错误。答案

C类型三

风中骑车【典例3】

某人骑自行车以4m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4m/s，那么，骑车人感觉到的风向和风速为（

）A.西北风

风速为4m/sC.东北风

风速为4m/s

答案

D类型四

帆板运动【典例4】

如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参考系（

）A.帆船朝正东方向航行，速度大小为vB.帆船朝正西方向航行，速度大小为v

答案

DPart04锁定“目标”·提素能⁠1.（2023·苏北三市联考）如图所示，一块可升降黑板沿墙壁竖直向上做匀速运动。某同学用画笔在黑板上画线，画笔相对于墙壁从静止开始水平向右先匀加速，后匀减速直到停止。取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则画笔在黑板上画出的轨迹可能为（

）解析：D

由题意知画笔相对于黑板在竖直方向上向下做匀速运动，水平方向先向右做匀加速运动，根据运动的合成和分解可知此时画笔做曲线运动，由于合力向右，则曲线向右弯曲；同理可知，画笔向右减速时，曲线向左弯曲，D正确。2.在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示。关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是（

）A.合外力的方向与速度方向在一条直线上B.合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧C.合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向D.合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向解析：C

足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确。3.如图所示，这是质点做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知质点在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是（

）A.C点的速率小于B点的速率B.A点的加速度比C点的加速度大C.C点的速率大于B点的速率D.从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大解析：C

质点做匀变速曲线运动，B点到C点的过程中加速度方向与速度方向夹角小于90°，所以C点的速率比B点速率大，故A错误，C正确；质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；质点从A点运动到C点的过程中，质点运动到B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90°，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90°，故D错误。4.（2023·江苏省白蒲高级中学高三月考）如图为某校学生跑操的示意图，跑操队伍宽d＝3m，某时刻队伍前排刚到达出口的B端，正在A点的体育老师准备从队伍前沿直线匀速横穿到达对面出口BC，且不影响跑操队伍，已知学生跑操的速度v＝2m/s，出口BC宽度L＝4m，则以下说法正确的是（

）A.体育老师只能沿直线AC到达出口B.体育老师可能沿直线AD到达出口C.体育老师的速度一定为1.5m/sD.体育老师到达对面出口的时间可能大于2s

5.（2023·江苏常州二模）天眼晚新闻2月15日报道，黔西乌江源百里画廊化屋景区春节四天旅游收入3000余万。游船是其中的一项旅游收入项目。假设景区两岸有一段平行且足够长的水面，游客在静水中划船的速度为1.0m/s，平行于岸的水流速度为0.6m/s，且水速与离岸距离无关，河宽600m，游客在渡河的过程中，船身始终垂直于河岸，那么游船（

）A.到达对岸将做变速运动B.航行的速度为1.0m/sC.随水流发生的位移大于750mD.某日河面涨水（两岸水面宽度不变），水流速度增加到0.8m/s，游船到达对岸的时间为10min

6.（2023·无锡市期中考试）如图所示，MN和M'N'之间为一竖直方向的风洞实验区，可对置于其中的物体产生一个竖直方向恒定的风力。现将一质量为m的小球从A点斜向上抛出，小球将沿图示轨迹击中P点。若将风力等值反向，小球抛出时初速度不变，则可垂直于M'N'击中M'N'上Q点（未画出）。下列说法错误的是（

）A.开始时风力竖直向下B.小球在P点的速度大于在Q点的速度C.小球在AP间运动的时间等于在AQ间运动的时间D.在开始情况下，若仅增大小球质量m，小球可能垂直击中Q点

7.（2023·江苏淮安二模）雨滴在空中以4m/s的速度匀速竖直下落，