高考二轮复习文科数学课件考点突破练8立体几何中的证明与计算

考点突破练8立体几何中的证明与计算1.(2023陕西宝鸡二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB=2AD=2,PD=4,AD⊥CD,E为棱PD上一点.(1)求证:无论点E在棱PD的任何位置,都有CD⊥AE;(2)若在PB上存在一点H,且PH=2HB,求三棱锥C-ABH的体积.(1)证明

因为PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PD⊥CD.因为AD⊥CD,AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因为点E为棱PD上一点,所以AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE.2.(2023陕西渭南一模)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E为A1C1的中点,AB=BC=2,C1F⊥AB.(1)求证:AB⊥BC;(2)若C1F∥平面ABE,且C1F=2,求点A到平面BCE的距离.(1)证明

在直三棱柱中,CC1⊥AB,又C1F⊥AB,且C1F,C1C⊂平面BCC1B1,CC1∩C1F=C1,∴AB⊥平面BCC1B1,又∵BC⊂平面BCC1B1,∴AB⊥BC.3.(2023贵州铜仁二模)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E为AB的中点,沿DE将△ADE折起,使得点A到点P位置,且PE⊥EB,M为PB的中点,N是BC上的动点(与点B,C不重合).(1)证明:平面EMN⊥平面PBC;(2)设三棱锥B-EMN和四棱锥P-EBCD的体积分别为V1和V2,当点N为BC的中点时,求

的值.(1)证明

∵PE⊥EB,PE⊥ED,EB∩ED=E,EB,ED⊂平面EBCD,∴PE⊥平面EBCD.又BC⊂平面EBCD,∴PE⊥BC.∵BC⊥EB,PE,BE⊂平面PEB,PE∩BE=E,∴BC⊥平面PEB.∵EM⊂平面PEB,∴EM⊥BC,由PE=EB,PM=MB知EM⊥PB.又BC,PB⊂平面PBC,BC∩PB=B,∴EM⊥平面PBC,又EM⊂平面EMN,∴平面EMN⊥平面PBC.4.(2023四川宜宾二模)在圆柱O1O2中,四边形DEFG为过轴O1O2的截面,DG=4,DE=16,△ABC为底面圆O1的内接正三角形,AB∥DE.(1)证明:CO2⊥平面ABFG;(2)求三棱锥G-BCF的体积.5.(2023江西九江十校联考二)如图,四边形ABCD是正方形,ABEF是矩形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF=AB=2,点G是EF上一点,且EG=m(0<m<4).(1)当m=2时,求证:平面ACG⊥平面BGC;(2)当m=1时,求直线AC与平面BCG所成角的余弦值.(1)证明

因为点C在半圆O上,AB为直径,则BC⊥AC.而CD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,于是CD⊥BC,又AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD,则有BC⊥平面ACD.由CD∥BE知点B,C,D,E共面,又BC∥平面ADE,平面BCDE∩平面ADE=DE,BC⊂平面BCDE,因此BC∥DE,即有DE⊥平面ACD,又DE在平面ADE内,所以平面ADE⊥平面ACD.(2)解

由(1)知,CD⊥AC,因为CD∥BE,则∠ADC或其补角为AD与BE所成的角,显然∠ADC为锐角,所以∠ADC=45°,则CD=AC=1.由(1)知四边形BCDE是平行四边形.在平行四边形BCDE中,BE=CD=1.因为CD⊥平面ABC,则有AC⊂平面ABC.因为CD⊥AC,又BC⊥AC,CD∩BC=C,CD,BC⊂平面BCDE,所以AC⊥平面BCDE,而CE⊂平面BCDE,从而AC⊥CE.因为CD⊥平面ABC,CD∥BE,所以BE⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC,所以BE⊥AB.取AE的中点M,连接CM,BM