中考数学一轮复习课件一次函数及其应用

一次函数及其应用

知识点1正比例函数的图象与性质解析式y＝kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数增减性当k＞0时，从左向右看，图象呈上升趋势，y随x的增大而①

增大

⁠当k＜0时，从左向右看，图象呈下降趋势，y随x的增大而②

减小

⁠图象（草图）⁠

⁠⁠

⁠经过的象限一、三二、四图象特征正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线增大减小【提分小练】1.下列函数中，y是x的正比例函数的是（

C

）A.y＝x＋1B.y＝－x2C.y＝D.y＝2.下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（

B

）A.当x＝3时，y＝1B.它的图象是一条经过原点的直线C.y随x的增大而减小D.它的图象经过第二、四象限CB知识点2一次函数的图象与性质解析式y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）增减性当k＞0时，从左向右看，图象呈上升趋势，y随x的增大而③

增

⁠当k＜0时，从左向右看，图象呈下降趋势，y随x的增大而④

减小

⁠与y轴的交点b＞0⇔交点在y轴正半轴上b＜0⇔交点在y轴负半轴上b＞0⇔交点在y轴正半轴上b＜0⇔交点在y轴负半轴上图象（草图）⁠

⁠⁠

⁠⁠

⁠⁠

⁠经过的象限⑤

一

、二、⁠一、三、四⑥

一、二、四

⁠二、三、四图象特征一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是经过点（0，b）和（－，0）的一条直线增大减小一、二、三一、二、四【提分小练】3.一次函数y＝2x－5的图象经过（

A

）A.第一、三、四象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、三象限4.若y＝kx－4的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是下列的（

A

）A.－4B.0C.1D.3AA5.一次函数y＝－3x＋6，与x轴交点的坐标为

（2，0）

⁠，与y轴交点的坐标为

（0，6）

⁠；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在其函数图象上，且x1＞x2，则y1

＜

⁠y2.（填“＞”或“＜”）（2，0）（0，6）＜知识点3一次函数解析式的确定方法待定系数法步骤（1）设：一般式y＝kx＋b（k≠0）（题干中未给解析式时需设）；（2）代：找出一次函数图象上的两个点，并将这两点的坐标代入函数解

析式，得到二元一次方程组；（3）求：解方程（组），求出k，b的值；（4）写：将k，b的值代入，直接写出一次函数解析式【提分小练】

7.经过点（1，3），且与直线y＝2x平行的直线的解析式为

y＝2x＋1

⁠.

y＝2x＋1知识点4一次函数图象的平移平移前平移方向平移后规律y＝kx＋b向左平移m个单位长度y＝k（x＋m）＋b左加向右平移m个单位长度y＝⑦

k（x－m）＋b

⁠右减向上平移m个单位长度y＝kx＋b＋m上加向下平移m个单位长度y＝⑧

kx＋b－m

⁠下减k（x－m）＋bkx＋b－m8.将函数y＝4x－1的图象向上平移2个单位长度，得到的函数的解析式为

y＝4x＋1

⁠.9.将函数y＝－2x＋1的图象向左平移2个单位长度，得到的函数的解析式为

y＝

－2x⁠.y＝4x＋1y＝－2x－3【提分小练】知识点5

一次函数与方程（组）、不等式的联系与一元一次方程的联系方程ax＋b＝0（a≠0）的解是一次函数y＝ax＋b（a≠0）的函数值为零时自变量的取值，也是直线y＝ax＋b（a≠0）与x轴交点的横坐标与二元一次方程组的联系方程组的解是直线y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2图象交点的横、纵坐标与不等式的联系（1）如图1，不等式kx＋b＞0的解集⇔一次函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方的部分对应x的取值范围；不等式kx＋b＜0的解集⇔一次函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方的部分对应x的取值范围；（2）如图2，设点C的坐标为（m，n），则不等式k1x＋b1≤k2x＋b2的解集是⑨

x≥m

⁠⁠

⁠

⁠

⁠图1

图2x≥m【提分小练】

11.如图，已知函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P（4，－6），则不等式ax＋b≤kx－3的解集是

x≤4

⁠.第11题图

x≤4知识点6

直线y＝kx＋b（k≠0）与坐标轴围成的三角形的面积直线与坐标轴围成的三角形面积如图3，S△AOB＝OA·OB＝｜xA｜·｜yB｜；如图4，S△ABC＝BC·AD＝｜xC－xB｜·｜yA｜；如图5，S△ABC＝BC·AD＝｜yB－yC｜·｜xA｜⁠

⁠

⁠

⁠

⁠

⁠图3

图4

图5【提分小练】12.如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（0，8），且与正比例函数y＝6x的

图象相交于点（2，12），则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是

8

⁠.第12题图13.某种笔记本，每本3.5元，总销售额y（元）与销售本数x之间的函数解析式为

y＝3.5x⁠.8y＝3.5x知识点7

一次函数的应用

用一次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立一次函数模型；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用一次函数的性质解决问题；（5）作答.【提分小练】14.我军在演习期间发射某种型号的导弹，它的运行速度v（km/h）与时间t（h）之间的关系是v＝1020＋50t，则该导弹运行0.1h后的运行速度为

1025

⁠km/h.1025

命题点1

一次函数的图象与性质1.若一次函数y＝（k＋3）x－1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（

D

）A.2B.C.－D.－4D考点训练2.如图是一次函数y＝kx＋b的图象，下列说法正确的是（

C

）A.y随x增大而增大B.图象经过第三象限C.当x≥0时，y≤bD.当x＜0时，y＜0C3.将直线y＝－3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为

y＝－3x－2

⁠.4.如图，正比例函数的图象与一次函数y＝－x＋1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是

y＝－2x

⁠.y＝－3x－2y＝－2x（1）求过其中两点的直线的函数解析式；（选一种情形作答）

5.在平面直角坐标系内有三点A（－1，4），B（－3，2），C（0，6）.（2）判断A，B，C三点是否在同一条直线上，并说明理由.解：（2）由（1）知直线AB的解析式为y＝x＋5.当x＝0时，y＝0＋5≠6，∴点C（0，6）不在直线AB上，即点A，B，C三点不在同一条直线上.命题点2

一次函数与方程（组）、不等式的联系

A.x＞－2B.x≥－2C.x＜－2D.x≤－2A第7题图7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与y＝mx＋n（a＜m＜0）的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝mx＋n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；

③方程mx＋n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax＋b＝－1.其中结论正确的个数是（

B

）A.1B.2C.3D.4B8.如图，直线y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为

x＜4

⁠.第8题图x＜4命题点3

一次函数的应用9.现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件.某物流公司的汽车行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1h到达目的地.汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示.请结合图象，判断以下说法正确的是（

D

）A.汽车在高速路上行驶了2.5hB.汽车在高速路上行驶的路程是180kmC.汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/hD.汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/hD（1）设参加这次红色旅游的老师、学生共有x名，y甲，y乙（单位：元）分别表

示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求y甲，y乙关于x的函数解析式；解：（1）y甲＝0.8×1000x＝800x，y乙＝2×1000＋0.75×1000×（x－2）＝750x＋500.（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？解：（2）①当y甲＜y乙时，800x＜750x＋500，解得x＜10；②当y甲＝y乙时，800x＝750x＋500，解得x＝10；③当y甲＞y乙时，800x＞750x＋500，解得x＞10.答：当老师、学生总人数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师、学生总人数为10人时，两旅行社支付的旅游费用相同；当老师、学生总人数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少.

⁠

⁠近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最少？最少费用是多少元？【思路引导】（1）设甲种头盔的单价是x元，乙种头盔的单价是y元，根据“购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元”列二元一次方程组，求解即可；（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，根据此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，列一元一次不等式，求出m的取值范围，再表示出w与m的一次函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定总费用最小时，甲种头盔购买数量，进一步求出最小费用即可.【自主解答】

答：甲种头盔的单价是65元，乙种头盔的单价是54元.

答：当购买14只甲种头盔时，此次购买头盔的总费用最少，最少费用为1976元.【夺分宝典】设问一：求解析式（1）文字型、表格型：抓住关系式——总量＝各部分之和，各部分＝单位量×数量/重量/时间求解；如：总成本＝A产品成本＋B产品成本＝A单位成本×A的重量＋B单位成本×B的重量；剩余路程＝总路程－已走路程＝总路程－行驶时间×速度；（2）图象型：提取两个满足题意的点的坐标，利用待定系数法求解.注：若为分段函数，需分段求解，并写出各段自变量的取值范围.设问二：求最值（1）利用不等式确定自变量的取值范围；（2）自变量的端点处可能为最值；（3）根据一次函数的增减性确定最值.注：最优方案本质也是求解最值的问题.设问三：方案设计（1）方案个数：根据限定的自变量取值范围，自变量取到几个值，就有几种方案；（2）两种方案比较：根据解析式分类讨论，比较两个方案在不同取值下最优结果.【对点训练】1.我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.根据图象解答下列问题：（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；解：（1）员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多.（2）求方案二y关于x的函数解析式；

（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选

择方案？解：（3）由两方案的图象交点（30，1200）可知：若销售量x的取值范围为0＜x＜30，则选择方案二；若销售量x＝30，则选择两个方案都可以；若销售量x的取值范围为x＞30，则选择方案一.2.（2022·黔西南）某乡镇新打造的“田园风光”景区今年计划改造一片绿化地，种植A，B两种花卉，已知3盆A种花卉和4盆B种花卉的种植费用为330元，4盆A种花卉和3盆B种花卉的种植费用为300元.（1）每盆A种花卉和每盆B种花卉的种植费用各是多少元？

（2）若该景区今年计划种植A，B两种花卉共400盆，相关资料表明：A，B两种花卉的成活率分别为70%和90%，景区明年要将枯死的花卉补上相同的新花卉，但这两种花卉在明年共补的盆数不多于80盆，应如何安排这两种花卉的种植数量，才能使今年该项的种植费用最低？并求出最低费用.解：（2）设种植A种花卉m盆，种植两种花卉的总费用为w元.∴w＝30m＋60（400－m）＝－30m＋24000.根据题意，得（1－70%）m＋（1－90%）（400－m）≤80，解得m≤200.∵－30＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝200时，w最小，w最小＝－30×200＋24000＝18000，则400－m＝200.答：种植A，B两种花卉各200盆，能使今年该项的种植费用最低，最低费用为18000元.

1.一次函数y＝（k－3）x＋2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是（

D

）A.k＞0B.k＜0C.k＞3D.k＜32.一次函数y＝x＋1的图象不经过（

D

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限DD巩固训练3.（2023·毕节期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（

B

）A.y＝－2x＋3B.y＝－2x＋6C.y＝－2x－3D.y＝－2x－6B4.一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）之间的函数关系式为（

B

）A.y＝12－0.5xB.y＝12＋0.5xC.y＝10＋0.5xD.y＝0.5xB5.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（－2，－1）的位置，则在同一平面直角坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（

A

）A.y＝x＋1B.y＝x－1C.y＝2x＋1D.y＝2x－1A6.（2023·安顺模拟）对于某个一次函数y＝kx＋b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（

C

）A.k＞0B.kb＜0C.k＋b＞0D.k＝－bC7.一个函数图象过点（1，3），且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式：

y＝x＋2（答案不唯一）

⁠.8.如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x＋b交于点A（1，2）.当y1＜y2时，x的取值范围是

x＜1

⁠.第8题图y＝x＋2（答案不唯一）x＜1

10.如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y＝2x－3上，则点A移动的距离是

3

⁠.第10题图m＜n311.一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示.当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数解析式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数解析式为

y＝80x－10

⁠.y＝80x－1012.某加油站执行优惠，1000元的加油卡打9折出售，且用该加油卡加油每升优惠0.3元.某人买了该加油卡一张.假设该加油卡内的金额全部用完且油价始终未变.（1）这个人买加油卡实际花了多少元？解：（1）1000×0.9＝900（元）