高考二轮复习理科数学课件增分1利用导数求参数的值或范围

增分1利用导数求参数的值或范围考点一已知函数极值、最值情况求参数范围例1(2023四川成都三模)已知函数f(x)=x4-ax3sinx,其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(π,π4)处的切线方程;(2)若x=0是函数f(x)的极小值点,求a的取值范围.解

(1)当a=1时,函数f(x)=x4-x3sin

x.∴f'(x)=4x3-(3x2sin

x+x3cos

x),∴f'(π)=5π3,∴曲线y=f(x)在点(π,π4)处的切线方程为5π3x-y-4π4=0.②当0≤a<1时,∃x0∈(0,),使得g'(x0)=0.当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,x0)上单调递减,∴当x∈(0,x0)时,g(x)<g(0)=0,∴当x∈(0,x0)时,f'(x)=g(x)+xg'(x)<0,f(x)在x∈(0,x0)上单调递减,∴x=0不是函数f(x)的极小值点.综上所述,当x=0是函数f(x)的极小值点时,a的取值范围为[1,+∞).解题技巧f'(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如:函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f'(x)=0有解,由此得出a的取值范围,还必须由a的取值范围验证f(x)在(0,1)内有极值.对点训练1已知函数f(x)=(x-2)ex.(1)求f(x)的极值;(2)若函数g(x)=f(x)-k(x-lnx)在区间

上没有极值,求实数k的取值范围.解

(1)f'(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.令f'(x)=0,得x=1.当x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的极小值为f(1)=-e,无极大值.考点二在不等式恒成立中求参数范围例2(2020新高考Ⅱ,22)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.(方法二

同构函数法)由f(x)≥1得aex-1-ln

x+ln

a≥1,即eln

a+x-1+ln

a+x-1≥ln

x+x,而ln

x+x=eln

x+ln

x,∴eln

a+x-1+ln

a+x-1≥eln

x+ln

x.令h(m)=em+m,则h'(m)=em+1>0,∴h(m)在R上单调递增.由eln

a+x-1+ln

a+x-1≥eln

x+ln

x,可知h(ln

a+x-1)≥h(ln

x),∴ln

a+x-1≥ln

x,∴ln

a≥(ln

x-x+1)max.∴当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减.∴[F(x)]max=F(1)=0,则ln

a≥0,即a≥1,∴a的取值范围为[1,+∞).(方法三

换元分离参数法)由题意知a>0,x>0,令aex-1=t,∴ln

a+x-1=ln

t,∴ln

a=ln

t-x+1,∴f(x)=aex-1-ln

x+ln

a=t-ln

x+ln

t-x+1.∵f(x)≥1,t-ln

x+ln

t-x+1≥1⇔t+ln

t≥x+ln

x,而y=x+ln

x在(0,+∞)上单调递增,(方法四

特值探路一般证明法)∵f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)≥1,∴f(1)≥1,即a+ln

a≥1.令S(a)=a+ln

a(a>0),则S(a)在(0,+∞)上单调递增.∵a+ln

a≥1且S(1)=1,即S(a)≥S(1),∴a≥1.下面证明当a≥1时,f(x)≥1恒成立.令T(a)=aex-1-ln

x+ln

a,只需证当a≥1时,T(a)≥1恒成立.∵T'(a)=ex-1+>0,∴T(a)在[1,+∞)上单调递增,则[T(a)]min=T(1)=ex-1-ln

x.因此要证明a≥1时,T(a)≥1恒成立,只需证明[T(a)]min=ex-1-ln

x≥1即可.由ex≥x+1,ln

x≤x-1,得ex-1≥x,-ln

x≥1-x.上面两个不等式两边相加可得ex-1-ln

x≥1,故a≥1时,f(x)≥1恒成立.当0<a<1时,∵f(1)=a+ln

a<1,显然不满足f(x)≥1恒成立,∴a的取值范围为[1,+∞).规律方法在不等式恒成立条件下求参数取值范围的几种方法(1)分类讨论法:(方法一)对参数分类,在各类中判断不等式是否恒成立,判断的方法是利用导数的方法求函数的最值,在求最值时利用了隐零点法.分类的依据是分析f(x)≥1的特点,一般先集中含参数项,即aex-1+ln

a≥ln

x+1,y=ln

x+1的图象过定点(1,1),当y=aex-1+ln

a的图象也过定点(1,1)时,则a=1,即两函数的图象在点(1,1)处相切,由两函数图象观察知a≥1不等式恒成立;(2)同构函数法:(方法二)利用同构思想将原不等式化成eln

a+x-1+ln

a+x-1≥eln

x+ln

x,再根据函数h(m)=em+m的单调性以及分离参数法即可求出,是本题的最优解;(3)换元分离参数法:(方法三)通过令aex-1=t换元,将原不等式化成t+ln

t≥x+ln

x,再根据函数y=x+ln

x的单调性以及分离参数法求出;(4)特值探路一般证明法:(方法四)利用f(1)≥1可得a的取值范围,再进行充分性证明,此法的好处是降低思考的成本,缩小讨论的范围.对点训练2

(2023全国甲,理21)已知(1)若a=8,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)<sin2x恒成立,求a的取值范围.例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.解

由∀x>0,f(x)≥0成立,得ln(x+1)≥-a(x2-x),不等式两边的函数图象都过点(0,0),①当-a>0,即a<0时,如上图所示,显然不符合题意.②当a=0时,f(x)=ln(x+1),∀x>0,f(x)=ln(x+1)>0,f(x)≥0成立,符合题意.③当a>0时,函数y=-a(x2-x)是开口向下的抛物线,过点(0,0)和(1,0),如图.令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(0,+∞).g(0)=1-a,则g(x)的图象与y轴的交点为(0,1-a),g(x)的图象如右图所示,由函数g(x)的图象可知,当0≤a<1时,在(0,+∞)上g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(0)=0,∴f(x)≥0.当a>1时,由g(0)=1-a<0,可得x2>0,∴当x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.∵f(0)=0,∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意.综上所述,a的取值范围是[0,1].解题技巧恒成立求参数值或参数范围的基本模式(1)同一函数的函数值的大小关系恒成立,如f(a,x)>f(b,x),利用函数的单调性脱去函数符号求得参数.(2)不同函数的恒成立问题:将F(a,x)≥0或f(a,x)≥h(a,x)⇔f(x)≥g(a,x)(不等式的一边含参数),此时函数f(x)与g(a,x)的图象边界相切,其解题思路有3种:①若g(a,x)过定点,且定点在f(x)上,采用分类讨论求参数;②若g(a,x)过定点,但定点不在f(x)上,采用参变分离法求参数;③若g(a,x)不过定点,采用f(x)≥A(常数)≥g(a,x).对点训练3(2020全国Ⅰ,理21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.解

(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.考点三已知函数单调性求参数范围例4(2023山东济南一模)已知函数(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在[0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;(3)若f(x)的最小值为1,求a.则g'(x)=ex-x-1,g″(x)=ex-1,当x<0时,g″(x)<0,g'(x)在(-∞,0)上单调递减,当x≥0时,g″(x)≥0,g'(x)在[0,+∞)上单调递增,g'(x)≥g'(0)=0,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,且g(0)=0,∴当x<0时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增