高中数学总复习提纲

第一章集合与简易逻辑集合及其运算一．集合的概念、分类：二．集合的特征：⑴确定性⑵无序性⑶互异性三．表示方法：⑴列举法⑵描述法⑶图示法⑷区间法四．两种关系：从属关系：对象、集合；包含关系：集合、集合五．三种运算：交集：并集：补集：六．运算性质：⑴，．⑵空集是随意集合的子集，是随意非空集合的真子集．⑶若，则，．⑷，，．⑸，．⑹集合的全部子集的个数为，全部真子集的个数为，全部非空真子集的个数为，全部二元子集（含有两个元素的子集）的个数为．简易逻辑一．逻辑联结词：1．命题是可以推断真假的语句的语句，其中推断为正确的称为真命题，推断为错误的为假命题．2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简洁命题，由简洁命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．4．真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二．四种命题：1．原命题：若则逆命题：若P则q，即交换原命题的条件和结论；否命题：若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．2．四个命题的关系：⑴原命题为真，它的逆命题不肯定为真；⑵原命题为真，它的否命题不肯定为真；⑶原命题为真，它的逆否命题肯定为真．三．充分条件与必要条件1．“若则”是真命题，记做，“若则”为假命题，记做，2．若，则称是的充分条件，是的必要条件3．若，且，则称是的充分非必要条件；若，且，则称是的必要非充分条件；若，且，则称是的充要条件；若，且，则称是的既不充分也不必要条件．4．若的充分条件是，则；若的必要条件是，则．其次章函数指数与对数运算一．分数指数幂与根式：假如，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做．负的次方根记做．1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：；3、正数的正分数指数幂的意义：；正数的负分数指数幂的意义：．4、分数指数幂的运算性质：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，其中、均为有理数，，均为正整数二．对数及其运算1．定义：若，且，，则．2．两个对数：⑴常用对数：，；⑵自然对数：，．3．三条性质：⑴1的对数是0，即；⑵底数的对数是1，即；⑶负数和零没有对数．4．四条运算法则：⑴；⑵；⑶；⑷．5．其他运算性质：⑴对数恒等式：；⑵换底公式：；⑶；；⑷．函数的概念一．映射：设A、B两个集合，假如依据某中对应法则，对于集合A中的随意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．二．函数：在某种改变过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，依据某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，改变的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的改变范围叫做函数的值域．三．函数是由非空数集到非空数集B的映射．四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．函数的解析式一．依据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知，求函数的解析式．二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知是一次函数，且，函数的解析式．三．由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式．函数的定义域一．依据给出函数的解析式求定义域：⑴整式：⑵分式：分母不等于0⑶偶次根式：被开方数大于或等于0⑷含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑸对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二．依据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知定义域为，求定义域；已知定义域为，求定义域；三．实际问题中，依据自变量的实际意义确定的定义域．函数的值域一．基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数二次函数时，时，反比例函数，且指数函数对数函数三角函数二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域确定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：视察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分别法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．反函数一．反函数：设函数的值域是，依据这个函数中，的关系，用把表示出，得到．若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成．二．函数存在反函数的条件是：、一一对应．三．求函数的反函数的方法：⑴求原函数的值域，即反函数的定义域⑵反解，用表示，得⑶交换、，得⑷结论，表明定义域四．函数与其反函数的关系：⑴函数与的定义域与值域互换．⑵若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则．⑶函数与的图像关于直线对称．函数的奇偶性：一．定义：对于函数定义域中的随意一个，假如满意，则称函数为奇函数；假如满意，则称函数为偶函数．二．推断函数奇偶性的步骤：1．推断函数的定义域是否关于原点对称，假如对称可进一步验证，假如不对称；2．验证与的关系，若满意，则为奇函数，若满意，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．三．已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别依据条件推断下列函数的奇偶性．奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五．若奇函数的定义域包含，则．六．一次函数是奇函数的充要条件是；二次函数是偶函数的充要条件是．函数的周期性：一．定义：对于函数，假如存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期．2．假如函数全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．假如函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为．函数的单调性一．定义：一般的，对于给定区间上的函数，假如对于属于此区间上的随意两个自变量的值，，当时满意：⑴，则称函数在该区间上是增函数；⑵，则称函数在该区间上是减函数．二．推断函数单调性的常用方法：1．定义法：⑴取值；⑵作差、变形；⑶推断：⑷定论：*2．导数法：⑴求函数f(x)的导数；⑵解不等式，所得x的范围就是递增区间；⑶解不等式，所得x的范围就是递减区间．3．复合函数的单调性：对于复合函数，设，则，可依据它们的单调性确定复合函数，详细推断如下表：增增减减增减增减增减减增4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．函数的图像一．基本函数的图像．二．图像变换：将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像关于轴对称关于轴对称将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴对称到左侧，可得的图像将位于轴下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像三．函数图像自身的对称关系图像特征关于轴对称关于原点对称关于轴对称关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为四．两个函数图像的对称关系图像特征与关于轴对称与关于轴对称与关于原点对称与关于直线对称与关于直线对称与关于轴对称第三章数列数列的基本概念一．数列是依据肯定的依次排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项．二．假如数列中的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式．三．数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列按项数可分为有穷数列和无穷数列四．数列的前项和：与的关系：五．假如已知数列的第1项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．如：在数列中，，，其中即为数列的递推公式，依据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可依据数列的前几项推断出数列的通项公式，至于揣测的合理性，可利用数学归纳法进行证明．如上述数列，依据递推公式可以得到：，，，，进一步可揣测．等差数列一．定义：假如一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．二．通项公式：若已知、，则；若已知、，则三．前项和公式：若已知，，则；若已知、，则注：⑴前项和公式的推导运用的是倒序相加法的方法．⑵在数列中，通项公式，前项和公式均是关于项数的函数，在等差数列通项公式是关于的一次函数关系，前项和公式是关于的没有常数项的二次函数关系．⑶在等差数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中随意3个，可以求出其余基本量．四．假如、、成等差数列，则称为与的等差中项，且．五．证明数列是等差数列的方法：1．利用定义证明：2．利用等差中项证明：3．利用通项公式证明：4．利用前项和公式证明：六．性质：在等差数列中，1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，即：若若，则．2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，即：若，则．3．依次相邻每项的和仍成等差数列，即：，，成等差数列．4．，，，…，，仍成等差数列，其公差为．三．等比数列一．定义：假如一个数列从第2项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母表示．二．通项公式：若已知、，则；若已知、，则三．前项和公式：当公比时，当公比时，若已知、、，则若已知、、，则注：⑴等比数列前项和公式的推导运用的是错位相减的方法．⑵在等比数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中随意3个，可以求出其余基本量．四．若、、成等比数列，则称为与的等比中项，且、、满意关系式．五．证明数列是等比数列的方法：1．利用定义证明：2．利用等比中项证明：3．利用通项公式证明：六．性质：在等比数列中，1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，即：若，则2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即：若，则3．若数列公比，则依次相邻每项的和仍成等比数列，即，，成等比数列。4．，，，…，，仍成等比数列，其公比为．数列求和1．常见数列的前n项和：⑴自然数数列：1，2，3，…，n，…⑵奇数列：1，3，5，…，，…⑶偶数列：2，4，6，…，，…⑷自然数平方数列：，，，…，，…2．等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式．3．数列满意：，其中、为等差或者等比数列．方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）．4．数列满意：，其中是公差为的等差数列；是公比为的等比数列．方法：错位相减．5．若数列满意：，其中、、均为常数．方法：裂项法，设，其中为可确定的参数．第四章三角函数一．角度与弧度制1．弧度与角度的互化：2．终边相同角：与角有相同终边的角的集合可以表示为：3．特别角的集合：⑴各个象限的角的集合第一象限角：其次象限角：第三象限角：第四象限角：⑵角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在轴的角：终边在轴的角：终边在坐标轴上的角：终边在第一三象限角平分线上：终边在其次四象限角平分线上：4．弧长公式和扇形面积公式设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，扇形的面积随意角三角函数的定义：一．定义：以角顶点为原点，始边为轴的非负半轴建立直角坐标系。在角的终边上任取不同于原点的一点，设点与原点的距离为，则，则角的六个三角函数依次为：，，，，二．三角函数的定义域与值域：定义域值域RRR三．三角函数值的符号：四．三角函数线正弦线、余弦线正切线以角的终边与单位圆的公共点作轴的垂线轴，垂足为，则过点作轴的垂线交的终边或终边的延长线于点，则：同角三角函数基本关系式：倒数关系：、、商数关系：、平方关系：正弦、余弦的诱导公式：；．；．；．；．；．；．；．；．；．诱导公式可简洁的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇变偶不变”的含义为：当为奇数时，的三角函数值为的余函数，当为偶数时，的三角函数值为的原函数；“符号看象限”的含义为在的三角函数前加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号.两角和与差的三角函数：一．基本公式：二．常见关系：1．协助角公式：如：；；2．两角和与差的正切公式的变形：二倍角公式一．基本公式：二．常见关系式：1．2．三角函数的图像：一．正弦、余弦、正切函数的图像：1．正弦函数2．余弦函数2．正切函数二．三角函数的图象变换：1．：将图象上各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍得到．2．：将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍得到．3．：将的图象向右或向左平移个单位得到．4．函数的图象可以看作是由函数的图象分别经过下面的两种方法得到：⑴①将的图象向左或向右平移个单位，可得到函数图象；②将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍，得到函数图象；③将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得函数图象．⑵①将图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的倍，可以得到函数图象；②将得到的图象向左或向右平移个单位就得到函数图象；③将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得函数的图象．三．形如的函数图像的画法——五点法，即依据分别取、、、、时对应的与的值描点作出的一个周期的图像．三角函数的性质函数名称正弦函数余弦函数正切函数定义域RR值域R最值图象分布最小正周期奇偶性奇函数偶函数奇函数对称轴对称中心单调性增减三角形中的边角关系一．正弦定理：在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都等于该三角形外接圆的直径，即：二．余弦定理：三角形随意一边的平方等于其他两边的平方减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：推论：；；三．相关结论：在中，角、、所对的边分别为、、，⑴，，⑵，，，，⑶依据正弦定理：，，⑷三角形面积公式：=1\*GB3①三角形的面积等于三角形随意一边与对应边上的高的乘积的一半，即：=2\*GB3②三角形的面积等于三角形的随意两边与其夹角的正弦值乘积的一半，即：第五章平面对量向量的基本概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一条有向线段来表示．2．向量的长度：向量的大小，也就是向量的长度（也称为的模），记作．3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是随意的．4．单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量．5．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共线向量，若向量、平行，记作．6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量的加法与减法：1．两个向量的和：已知向量、，平移向量，使的起点与的终点重合，那么以的起点为起点，的终点为终点的向量叫做向量与向量的和．求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量加法的三角形法则：依据向量和的定义，以第一个向量的终点A为起点作其次个向量，则以的起点O为起点，以的终点B为终点的向量就是与的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则．3．向量加法的平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．4．向量加法运算律：⑴交换律：⑵结合律：5．相反向量：与向量方向相反的向量叫做的相反向量，记作．规定：零向量的相反向量仍是零向量．性质：⑴⑵6．两个向量的差：加上的相反向量叫做与的差，即：7．向量的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法。法则：如图所示，已知向量、，在平面内任取一点O，作，，则，即表示从向量的终点指向的终点的向量．实数与向量的积：1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：⑴⑵当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反2．实数与向量的积所满意的运算律：设、为实数，那么：⑴；⑵⑶3．向量共线的充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得．4．平面对量基本定理：假如，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使．平面对量的坐标运算：1．平面对量的坐标：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数、，使得，则称为向量的坐标，记做．2．向量的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即：向量向量点3．平面对量的坐标运算：设，，，则：⑴；⑵；⑶．若点，，则．4．向量与共线的充要条件是．平面对量的数量积及运算律：1．两个向量的夹角：已知两个非零向量，作，，则（）叫做向量与的夹角．当时，与同向；当时，与反向，假如与的夹角是时，则称与垂直，记作．2．两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积，记作，即：．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即．3．向量数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影，其中当为锐角时，它是正值，当为钝角时，它是负值，当时，它是0，当时，它是．的几何意义是：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是与的夹