第五章习题解答

《概率论与数理统计》作业答题纸专业及班级姓名学号成绩PAGEPAGE1习题五大数定律与中心极限定理一、填空题1．设随机变量，由切比雪夫不等式可得0.25；2．设则由契比雪夫不等式有；3．设是相互独立的随机变量序列，且，则对0；4．设随机变量，已知则由契比雪夫不等式有1/12；5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率；6．设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，为A在每次试验中出现的概率，则对0；7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。现在从该年龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140厘米的概率为；8．设是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布，则；二、选择题1．设随机变量X的方差存在，，则（C）A．B.1C.D..2.设都存在,则对于任意实数,可以用契比雪夫不等式估计出概率(D).A．B.C.D.3.设随机变量，随的增大（C）A．单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不变.4．设随机变量的方差存在，并且满足不等式，则一定有（D）A．B.C.D.5．设为连续型随机变量，且方差存在，则对任意常数C和，必有（C）A．B.C.D.6.已知是独立同分布的随机变量序列，且则对下列式子成立的是（D）A．B．C．D．D改7．已知是独立同分布的随机变量，且则下列不正确的是（C）A．B．C.D．8．设相互独立，，则根据列维——林德伯格中心极限定理，当n充分大时，近似服从正态分布，只要（B）A．有相同的数学期望B.有相同分布C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布.三、解答题1．每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.5，求在100次射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率．解：设为在100次射击中炮弹命中目标的次数由林德伯格—列维定理知

=0.89682．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率为90%．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率．解：设为正常工作的部件数由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知=0.95153．设有30个同类型的某电子器件，若的寿命服从参数为的指数分布，令T为30个器件正常使用的总计时间，求解：由林德伯格—列维定理知====0.18144．在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以表示n次称量结果的平均值，问n至少取多大，使得．解：由林德伯格—列维定理知=5．某单位设置一电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用．解：用X表示200个分机中同时需要使用外线的台数。则，若设该单位安装的外线数为k，则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知故想保证这些分机要用外线时可供使用的概率达到0.9。即使则需要使查表知因此需要即6．已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100小时的指数分布。现在从该厂的产品中随机地抽取64只。试求这64只晶体管的寿命总和超过7000小时的概率。假定这些晶体管的寿命是相互独立的。解：X为64只晶体管的总寿命则====0.22667．为了测定一台机床的重量，把它分解成若干部件来称量。假定每个部件的称量误差(单位：kg)服从区间(-2，2)上的均匀分布。试问，最多可以把这台机床分解成多少个部件，才能以不低于99％的概率保证总重量误差的绝对值不超过10kg。解：设最多可以分解成n个部件X为总重量的误差则：==>0.999．已知男孩的出生率为51.5％。试求刚出生的10000个婴儿中男孩个数多于女孩的概率。解：设X是10000个婴儿中男孩的个数由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知==0.9986510．报童沿街向行人兜售报纸。设每位行人买报的概率为0.2，且他们是否买报是相互独立的。试求，报童在向100位行人兜售之后，卖掉报纸15-30份的概率。解：设X为100位行人买报的份数则由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知===0.888211．某厂有200台车床，每台车床的开工率仅为0.1。设每台车床是否开工是相互独立的，假定每台车床开工时需要50kW电力。试问，供电局至少应该提供该厂多少电力，才能以不低于99.9％的概率保证该厂不致因供电不足而影响生产？解：设至少提供W电力，X为任意时刻正常工作的车床数由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知(kW).某产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假定每箱平均重量为50kg，标准差为5kg。现用载重量为5吨的汽车承运，试问，汽车最多只能装多少箱，才能使不超载的概率大于0.9772？解：设最多能装n箱才能使不超载的概率大于0.9772为第i箱的重量13．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90%．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．（重复）16．计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数).设所有的取整误差相互独立且都服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布.(1)求在1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率.(2)欲使误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%，最多能允许几个数相加？解：设为第i个加数的舍入误差，则在区间(-0.5,0.5)上的均匀分布。（1）~=0.8198（2）=17