运筹学第6章图与网络分析

图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)图与网络的基本知识最短路问题树及最小树问题最大流问题最小费用最大流问题1可编辑ppt哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥，当时人们提出这样的问题：有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥一次且仅一次最后回到原地呢？2可编辑pptBDACABCD哥尼斯堡七空桥一笔画问题3可编辑ppt哈密尔顿（Hamilton）回路是十九世纪英国数学家哈密顿提出，给出一个正12面体图形，共有20个顶点表示20个城市，要求从某个城市出发沿着棱线寻找一条经过每个城市一次而且仅一次，最后回到原处的周游世界线路（并不要求经过每条边）。4可编辑ppt5可编辑ppt6可编辑ppt7可编辑ppt8可编辑ppt9可编辑ppt10可编辑ppt11可编辑ppt12可编辑ppt13可编辑ppt14可编辑ppt15可编辑ppt16可编辑ppt17可编辑ppt18可编辑ppt19可编辑ppt20可编辑ppt21可编辑ppt有7个人围桌而坐，如果要求每次相邻的人都与以前完全不同，试问不同的就座方案共有多少种？用顶点表示人，用边表示两者相邻，因为最初任何两个人都允许相邻，所以任何两点都可以有边相连。22可编辑ppt123764523可编辑ppt123764524可编辑ppt123764525可编辑ppt123764526可编辑ppt123764527可编辑ppt123764528可编辑ppt123764529可编辑ppt123764530可编辑ppt得到第一次就座方案是（1，2，3，4，5，6，7，1），继续寻求第二次就座方案时就不允许这些顶点之间继续相邻，因此需要从图中删去这些边。31可编辑ppt123764532可编辑ppt123764533可编辑ppt123764534可编辑ppt123764535可编辑ppt123764536可编辑ppt123764537可编辑ppt123764538可编辑ppt123764539可编辑ppt得出第二次就座方案是（1，3，5，7，2，4，6，1），那么第三次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边。40可编辑ppt123764541可编辑ppt123764542可编辑ppt123764543可编辑ppt123764544可编辑ppt123764545可编辑ppt123764546可编辑ppt123764547可编辑ppt123764548可编辑ppt得到第三次就座方案是（1，4，7，3，6，2，5，1），那么第四次就座方案就不允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中删去这些边，只留下7点孤立点，所以该问题只有三个就座方案。49可编辑ppt123764550可编辑ppt引论图的用处某公司的组织机构设置图总公司分公司工厂或办事处51可编辑ppt一、图与网络的基本知识（一）、图与网络的基本概念

EADCB1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也可不带，前者叫弧，后者叫边）52可编辑ppt一个图是由点集和中元素的无序对的一个集合构成的二元组，记为G=(V，E)，其中V中的元素叫做顶点，V表示图G

的点集合；E

中的元素叫做边，E表示图G

的边集合。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例图153可编辑ppt2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作G=(V，E)，连接点的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作D=(V,A)，其中V表示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集合。一条方向从vi指向vj

的弧，记作(vi,vj)。v4v6v1v2v3v5V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，A={(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)}图254可编辑ppt4、一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环。5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。6、一个无环，无多重边的图称为简单图，一个无环，有多重边的图称为多重图。7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。有向完全图则是指任意两个顶点之间有且仅有一条有向边的简单图。55可编辑pptv1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。8、以点v为端点的边的个数称为点v的度（次），记作。图中

d(v1)=4，d(v6)=4（环计两度）56可编辑ppt定理1所有顶点度数之和等于所有边数的2倍。定理2在任一图中，奇点的个数必为偶数。所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。有向图中，以

vi为始点的边数称为点vi的出次，用表示；以

vi为终点的边数称为点vi的入次，用表示；vi点的出次和入次之和就是该点的次。57可编辑ppt9、设G1=（V1,E1），G2=（V2,E2）如果V2

V1,E2

E1

称G2

是G1

的子图；如果V2=V1,E2

E1

称G2

是G1

的部分图或支撑子图。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子图v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撑子图58可编辑ppt在实际应用中，给定一个图G=（V，E）或有向图D=（V，A），在V中指定两个点，一个称为始点（或发点），记作v1，一个称为终点（或收点），记作vn，其余的点称为中间点。对每一条弧，对应一个数，称为弧上的“权”。通常把这种赋权的图称为网络。10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。如:v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3,…,vn-1,en

，vn，记作（v0，v1，v2，v3,…,vn-1，vn），

59可编辑ppte3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e1011、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图为连通图，否则称为不连通图。其链长为n

，其中v0，vn分别称为链的起点和终点。若链中所含的边均不相同，则称此链为简单链；所含的点均不相同的链称为初等链,也称通路。60可编辑ppt（二）、图的矩阵表示对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边有权，构造矩阵，其中：称矩阵A为网络G的权矩阵。设图G=（V，E）中顶点的个数为n，构造一个矩阵，其中：称矩阵A为网络G的邻接矩阵。61可编辑ppt例权矩阵为：邻接矩阵为：v5v1v2v3v4v6433225643762可编辑ppt

二、树及最小树问题

已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。v1v2v3v4v5v61、一个连通的无圈的无向图叫做树。树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分支点。63可编辑ppt

树的性质：（1）树必连通，但无回路（圈）。（2）n个顶点的树必有n-1条边。（3）树

中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链（初等链）。（4）树

连通，但去掉任一条边，必变为不连通。（5）树无回路（圈），但不相邻的两个点之间加一条边，恰得到一个回路（圈）。v1v2v3v4v5v664可编辑ppt一个图G有生成树的充要条件是G

是连通图。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v52、设图是图G=(V,E)的一支撑子图，如果图是一个树,那么称K是G的一个生成树（支撑树），或简称为图G的树。图G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。65可编辑ppt（一）破圈法：在图中任选一个圈，从这个圈中去掉一条边。在余下的图中重复这个步骤，直到得到一不含圈的图为止。66可编辑ppt67可编辑ppt用破圈法求出下图的一个生成树。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e868可编辑ppt（二）避圈法：开始选一条边，以后每一步中，总从未被选取的边中选出一条与已选边不构成圈的边，重复这个过程，直到不能进行为止。69可编辑pptv1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v570可编辑ppt根据破圈法和避圈法两种方式得到了图的两个不同的生成树，由此可以看到连通图的生成树不是唯一的。71可编辑ppt3、最小生成树问题

一棵生成树所有树枝上权的总和为这个生成树的权。具有最小权的生成树，称为最小生成树。求赋权图G的最小支撑树的方法也有两种，“破圈法”和“避圈法”。

破圈法：在原图中，任选一个圈，从圈中去掉权最大的一条边。在余下的图中重复这个步骤，直到得到一不含圈的图为止。655172344v1v2v3v4v5v672可编辑pptv1v7v4v3v2v5v62015916253281741233673可编辑pptv1v7v4v3v2v5v62015916253281741233674可编辑pptv1v7v4v3v2v5v620159162532817412375可编辑pptv1v7v4v3v2v5v620159162532817412376可编辑pptv1v7v4v3v2v5v6159162532817412377可编辑pptv1v7v4v3v2v5v6159162532817412378可编辑pptv1v7v4v3v2v5v692532817412379可编辑pptv1v7v4v3v2v5v692532817412380可编辑pptv1v7v4v3v2v5v6932817412381可编辑pptv1v7v4v3v2v5v6932817412382可编辑pptv1v7v4v3v2v5v693174123总造价=1+4+9+3+17+23=5783可编辑pptv1v2v3v4v514231352

避圈法：开始选一条权最小的边，以后每一步中，总从未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选边不构成圈的边。84可编辑ppt某六个城市之间的道路网如图

所示，要求沿着已知长度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v6123485可编辑ppt

最短路的一般提法为：设为连通图，图中各边有权（表示之间没有边），为图中任意两点，求一条路，使它为从到的所有路中总权最短。即：最小。(一)、狄克斯屈拉(Dijkstra)算法适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。三、最短路问题86可编辑ppt算法步骤：1.给始点vs以P标号，这表示从vs到

vs的最短距离为0，其余节点均给T标号，。2.设节点vi

为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：3.比较所有具有T标号的节点，把最小者改为P标号，即：

当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。若全部节点均为P标号，则停止，否则用vk代替vi，返回步骤（2）。87可编辑ppt例一、用Dijkstra算法求下图从v1到v6的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421

解（1）首先给v1以P标号，给其余所有点T标号。（2）（3)（4）88可编辑pptv1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追踪得v1到v6的最短路为：89可编辑ppt237184566134105275934682练习\作业:求从1到8的最短路径90可编辑ppt237184566134105275934682X={1},w1=0min{c12,c14,c16}=min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1X={1,4},p4=1p4=1p1=091可编辑ppt237184566134105275934682X={1,4}min{c12,c16,c42,c47}=min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2X={1,2,4},p2=2p1=0p4=1p2=292可编辑ppt237184566134105275934682X={1,2,4}min{c13,c23,c25,c47}=min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3X={1,2,4,6},p6=3p2=2p4=1p1=0p6=393可编辑ppt237184566134105275934682X={1,2,4,6}min{c23,c25,c47,c67}=min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3X={1,2,4,6,7},p7=3p2=2p4=1p1=0p6=3p7=394可编辑ppt237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c25,c75,c78}=min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6X={1,2,4,5,6,7},p5=6p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=695可编辑ppt237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c53,c58,c78}=min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8X={1,2,3,4,5,6,7},p3=8p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=896可编辑ppt237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7}min{c38,c58,c78}=min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10X={1,2,3,4,5,6,7,8},p8=10p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=1097可编辑ppt237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7,8}1到8的最短路径为{1，4，7，5，8}，长度为10。p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=1098可编辑ppt求从V1

到V8

的最短路线。99可编辑pptV1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞②P=T=3T=+∞T=7T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞

③T=6T=7P=T=5T=+∞T=+∞T=+∞

④P=T=6T=6

T=8T=+∞T=+∞

⑤P=T=6

T=8T=9T=12

⑥P=T=8T=10T=10

⑦P=T=9T=11再无其它T标号，所以

T(V8)=P(V8)=10;minL(μ)=10⑧P=T=10100可编辑ppt由此看到，此方法不仅求出了从V1

到V8

的最短路长，同时也求出了从V1

到任意一点的最短路长。将从V1

到任一点的最短路权标在图上，即可求出从V1

到任一点的最短路线。本例中V1

到V8

的最短路线是：

v1→v2→v5→v6→v8

101可编辑ppt623121641036234210102可编辑ppt（二）、逐次逼近法算法的基本思路与步骤：首先设任一点vi到任一点vj都有一条弧。显然，从v1到vj的最短路是从v1出发，沿着这条路到某个点vi再沿弧(vi,vj)到vj。则v1到vi的这条路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。设P1j表示从v1到vj的最短路长，P1i表示从v1到vi的最短路长，则有下列方程：开始时，令即用v1到vj的直接距离做初始解。从第二步起，使用递推公式：求，当进行到第t步，若出现则停止计算，即为v1到各点的最短路长。103可编辑ppt例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837v1v2v3v4v5v6v7v8P(1)P(2)P(3)P(4)v10-1-23

0000v260

2

-1-5-5-5v3

-30-5

1

-2-2-2-2v48

0

2

3-7-7-7v5

-1

0

1-3-3v6

1017

-1-1-1v7

-1

0

5-5-5v8

-3

-50

66求图中v1到各点的最短路104可编辑ppt

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837（0，0）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）105可编辑ppt例三、求：5年内，哪些年初购置新设备，使5年内的总费用最小。解：（1）分析：可行的购置方案（更新计划）是很多的，如：1）每年购置一台新的，则对应的费用为：

11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=842)第一年购置新的，一直用到第五年年底，则总费用为：11+5+6+8+11+18=59

显然不同的方案对应不同的费用。第i年度

12345购置费1111121213设备役龄0-11-22-33-44-5维修费用

5681118106可编辑ppt（2）方法：将此问题用一个赋权有向图来描述，然后求这个赋权有向图的最短路。求解步骤：1）画赋权有向图：设Vi

表示第i年初，(Vi,Vj)表示第i年初购买新设备用到第j年初（j-1年底），而Wij

表示相应费用，则5年的一个更新计划相当于从V1

到V6的一条路。2）求解（标号法）107可编辑pptW12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6++8+11+18=59W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31108可编辑ppt例四、某工厂使用一种设备，这种设备在一定的年限内随着时间的推移逐渐损坏。所以工厂在每年年初都要决定设备是否更新。若购置设备，每年需支付购置费用；若继续使用旧设备，需要支付维修与运行费用，而且随着设备的老化会逐年增加。计划期（五年）内中每年的购置费、维修费与运行费如表所示，工厂要制定今后五年设备更新计划，问采用何种方案才能使包括购置费、维修费与运行费在内的总费用最小。年份12345购置费1820212324使用年数0~11~22~33~44~5维修费57121825109可编辑ppt年份12345购置费1820212324使用年数0~11~22~33~44~5维修费5712182528v1v2v3v4v5v62325262930426085324462334530110可编辑ppt四、最大流问题（一）、基本概念1、设一个赋权有向图D=（V,E）,在V中指定一个发点vs和一个收点vt

,其它的点叫做中间点。对于D中的每一个弧（vi

,vj）∈E,都有一个非负数cij,叫做弧的容量。我们把这样的图D叫做一个容量网络，简称网络，记做D=（V，E，C）。网络D上的流，是指定义在弧集合E上的一个函数其中f(vi

,vj)=fij

叫做弧(vi，vj)上的流量。

111可编辑ppt2、称满足下列条件的流为可行流：（1）容量条件：对于每一个弧（vi,vj）∈E 有 0≤

fij

≤

cij

。（2）平衡条件：对于发点vs，有对于收点vt

，有对于中间点，有可行流中fij＝cij

的弧叫做饱和弧，fij＜cij的弧叫做非饱和弧。fij＞0的弧为非零流弧，fij＝0的弧叫做零流弧。112可编辑ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)图中为零流弧，其余为非饱和弧。113可编辑ppt3、容量网络G，若为网络中从vs到vt的一条链，给定向为从vs到vt，上的弧凡与方向相同的称为前向弧，凡与方向相反的称为后向弧，其集合分别用和表示。f

是一个可行流，如果满足：

则称为从vs到vt

的关于f的一条增广链。推论可行流f是最大流的充分必要条件是不存在从vs到vt

的关于f的一条可增广链。即中的每一条弧都是非饱和弧即中的每一条弧都是非零流弧114可编辑ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)是一个增广链显然图中增广链不止一条115可编辑ppt4、容量网络G=（V，E，C），vs为始点，vt为终点。如果把V分成两个非空集合使，则所有始点属于S，而终点属于的弧的集合，称为由S决定的截集,记作。截集中所有弧的容量之和，称为这个截集的容量，记为。vsv1v2v4v3vt374556378S116可编辑ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)设，则截集为容量为24117可编辑ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)设，则截集为容量为20118可编辑ppt（二）、求最大流的标号法标号过程：1．给发点vs

标号（0，+∞）。2．取一个已标号的点vi，对于vi一切未标号的邻接点vj

按下列规则处理：（1）如果边，且，那么给vj

标号，其中：（2）如果边，且，那么给vj

标号，其中：3．重复步骤2，直到vt被标号或标号过程无法进行下去，则标号结束。若vt被标号，则存在一条增广链，转调整过程；若vt未被标号，而标号过程无法进行下去，这时的可行流就是最大流。119可编辑ppt调整过程设1．令2．去掉所有标号，回到第一步，对可行流重新标号。120可编辑ppt求下图所示网络中的最大流，弧旁数为(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)（0，+∞）（-v1,1）（+vs,4）（-v2，1）（+v2，1）(+v3，1)121可编辑ppt(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)（0，+∞）（+vs,3）最小截集122可编辑ppt13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)123可编辑ppt13(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(5)5(4)5(4)4(4)4(3)9(9)10(7)截集1截集2最小截量为：9+6+5=20124可编辑ppt70（70）70（50）130（100）150（130）150（150）50（20）50（50）120（30）100（100）∞（120）∞（230）∞（150）∞（200）125可编辑ppt第五节最小费用最大流问题定义已知网络G=（V，E，C，d），f是G上的一个可行流，为一条从vs到vt的增广链，称为链的费用。

若*是从vs到vt的增广链中费用最小的增广链，则称*是最小费用增广链。结论：如果可行流f在流量为W(f)的所有可行流中的费用最小，并且*是关于f的所有增广链中的费用最小的增广链，那么沿增广链*调整可行流f，得到的新可行流f*也是流量为W(f*)的所有可行流中的最小费用流。当f*

是最大流时，就是最小费用最大流。126可编辑ppt寻找关于f的最小费用增广链：构造一个关于f的赋权有向图L(f)，其顶点是原网络G的顶点，而将G中的每一条弧(vi,vj

)变成两个相反方向的弧（vi，vj）和(vj

,vi)，并且定义图中弧的权lij为：1.当，令

2.当（vj，vi）为原来网络G中（vi，vj）的反向弧，令在网络G中寻找关于f的最小费用增广链等价于在L(f)中寻求从vs

到vt

的最短路。127可编辑ppt步骤：（1）取零流为初始可行流，f(0)={0}。（2）一般地，如果在第k-1步得到最小费用流f(k-1)，则构造图L(f(k-1)

)。（3）在L(f(k-1)

)中，寻求从vs到vt的最短路。若不存在最短路，则f(k-1)就是最小费用最大流；否则转(4)。（4）如果存在最短路，则在可行流f

(k－1)的图中得到与此最短路相对应的增广链，在增广链上，对f

(k－1)进行调整，调整量为：128可编辑ppt令得到新可行流f

(k)。对f

(k)重复上面步骤，返回（2）。例8.11求网络的最小费用最大流，弧旁权是（bij,cij）(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)129可编辑ppt3vsv2v1vtv3164122(1)L(f(0))(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)0vsv2v1vtv3300333(2)f(1)

1=3W(f(1))=3－1(3)L(f(1))－23vsv2v1vtv316412－1－2130可编辑