2021年5月2021届湖北省鄂东南省示范高中改革联盟学校高三下学期5月联考数学试卷及答案

2021年5月2021届湖北省鄂东南省示范高中改革联盟学校高三下学期5月联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合，，则（）A． B． C． D．2．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若，则（）A． B． C． D．3．在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A． B． C． D．5．关于直线，有下列四个命题：甲：直线经过点； 乙：直线经过点；丙：直线经过点； 丁：．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．已知的外心为，，则的值是（）A． B． C． D．7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的倍，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．已知实数，满足，，则（）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．）9．已知，均为正数，且，则（）A． B． C． D．10．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）A．三棱锥的体积是B．平面C．平面与平面所成的二面角为D．异面直线与所成角的范围是11．已知函数的图象上，对中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是（）A．B．当时，C．若，则D．若，，则的值为12．函数，若时，有，是圆周率，…为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．，，，，，，则最大三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．在的二项展开式中，的系数是．14．请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数：．15．已知抛物线，直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，以为直径的圆与抛物线的准线的公共点是，则直线的斜率．16．无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，我国最新款的无人侦察机名叫“无侦-”．无侦-（如图1所示）是一款以侦察为主的无人机，它配备了台火箭发动机，动力强劲，据报道它的最大飞行速度超过马赫，比大多数防空导弹都要快如图2所示，已知空间中同时出现了，，，四个目标（目标和无人机的大小忽略不计），其中，，，且目标，，所在平面与目标，，所在平面满足二面角的大小是，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为．图1图2四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．设，，分别是中角，，的对边，．（1）求；（2）若，求面积的最大值．18．已知数列的前项和为，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项积为，若对任意的，恒成立，求实数的最大值．19．已知中，，，，，为，上的动点，且，将三角形沿折起至如图所示，使平面平面．（1）证明：平面平面；（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值的取值范围．20．随着我国互联网的不断发展，自媒体业飞速发展起来，抖音、快手、微信视频号等等视频自媒体APP，几乎是全民参与．某中学社会调研社团研究抖音在生活中的普及程度，走向街头巷尾、公园，各行各业办公室，对市民进行调研，发现约有的人发过抖音小视频．为进一步研究，从这些被采访的人中随机抽取人进行调查，假设每个人被选到的可能性相等．（1）记表示发过抖音视频的人数，求的分布列；（2）随着研究人群范围的扩大，为提高效率，研究组在对某些行业人群集中调研时，先随机抽取一人，如果他发过抖音小视频，就不再对该群体中其他人进行调查，如果没有发过抖音小视频，则继续随机抽取，直到抽到一名发过抖音小视频的人为止，并且规定抽样的次数不超过次，（其中小于当次调查的总人数），在抽样结束时，抽到的没发过抖音视频的人数为，求的数学期望．21．已知抛物线的焦点为点，为上一点，若点到原点的距离与点到点的距离都是．（1）求的标准方程；（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧，过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点．当时，求点的坐标．22．已知函数．（1）当时，求的导函数在上的零点个数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．2021年5月2021届湖北省鄂东南省示范高中改革联盟学校高三下学期5月联考数学参考答案1-8BBABCDCD9-12BCABBDABD13．14．【答案不唯一】15．16．17．解：（1），，，，．，．（2），，即．，，，．，当且仅当时取等号．面积的最大值为．18．解：（1）由，得是首项为，公差为的等差数列，，．当时，，符合上式，所以．（2），，，，．因为对任意的，恒成立，所以，即．19．解：（1）证明：由题意知，，而平面，平面，，平面，，平面．又平面，平面平面．（2）【解法一】延长，交于点，则为平面和平面的交线．过作于，连接．平面，，又，平面，所以即为平面与平面所成的角；设，则，，且，在中，，．令，则．【解法二】设，则，，且．由（1）知，，两两互相垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立直角坐标系，则，，，，，则，．设平面的法向量为，则，解得．取，又平面的法向量为，所以，，所以．所以平面和平面所成的锐二面角的余弦值的取值范围是．20．解：（1）由题意知，故的所有可能为，，，．，，，，的分布列为（2）依题意，的所有可能的值是，，，…，．当时，；当时，，，①，②由①②，得，，．21．解：（1）设，则，解得（负值舍去）．（2）不妨设，，，，．设过点作椭圆的切线方程为，①由，得，由得，所以，，在①中令得，，，解得，点的坐标为．22．解：（1），，所以是的一个零点．令，则时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则．又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一点．因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点．综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为．（2）不等式恒成立，即不等式恒成立．令，则等价于不等式……（1）恒成立，①若，即时，不等式（1）显然成立，此时；②若时，不等式（