适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练13指数与对数运算新人教A版

课时规范练13指数与对数运算基础巩固练1.(2024·浙江温州模拟)下列算式计算正确的是()A.(23)

32=1 B.42×C.log238=1 D.lg3·lg5=2.(2024·福建福州联考)已知2a=5,则lg20=()A.a+1a+2C.a+2a+13.(2024·安徽临泉模拟)已知4·3m=3·2n=1,则()A.m>n>-1 B.n>m>-1C.m<n<-1 D.n<m<-14.(2024·江苏徐州模拟)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原来的14C会按确定的比率衰减(称为衰减率).大约经过5730年(14C的半衰期),它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中14C含量为原来的15,推算该古物约是m年前的遗物(参考数据:(lg2)-1≈3.3219),则m的值约为(结果保留整数)(A.12302 B.13304 C.23004 D.240345.已知3x=5,log3955=y,则x+2y=(A.3 B.4 C.5 D.66.(2024·山西大同模拟)(0.064)-13-(-79)0+[(-2)3]7.(2024·北京顺义模拟)计算log315-log35-2log23+lne8.(2024·四川眉山模拟)18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果:当n很大时,1+12+13+…+1n=lnn+γ(常数γ=0.557…).利用以上公式,可以估计110001+1综合提升练9.(多选题)(2024·河南豫南名校检测)设a=log0.20.3,b=log0.30.4,则下列结论中正确的是()A.2a<1+ab B.2a>1+abC.a>b D.b>a10.(2024·重庆巴蜀中学模拟)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行54×1015次运算,用它处理一段自然语言的翻译,需要进行2128次运算,那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据:lg2≈0.301,100.431≈2.698)(A.2.698×1022秒 B.2.698×1023秒C.2.698×1024秒 D.2.698×1025秒11.(2024·山东济南模拟)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位:万元)的Logistic模型:P(x)=e-0.9+kx1+e-0.9+kx.已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为()(参考数据:A.4万元 B.5万元 C.6万元 D.8万元12.(2024·重庆一中检测)设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则pq=.创新应用练13.(2024·湖北恩施联考)数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算.已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,设N=810×95,则N所在的区间为()A.(1011,1012) B.(1012,1013)C.(1013,1014) D.(1014,1015)14.(多选题)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则()A.1x+1y=1z BC.xy<4z2 D.x+y>4z

课时规范练13指数与对数运算1.C解析因为(23)0=1,所以(23)

32≠1,故A错误;42×4-2=42-2=40=1,故B错误;log238=log22=1,故C正确;因为lg3+lg5=lg15,所以lg3·lg2.C解析由2a=5,得a=log25,故lg20=lg1005=2-lg5=2-log25log210=2-lo3.D解析由已知得m=-log34<-1,n=-log23<-1,∵32>23,∴3>232,log23∵34>43,∴4<343,log34<43<32,∴log23>log34,-log23<-log34,4.B解析设该古物中14C原始量为x,每年衰减率为a,∴xa5730=12x,∴a=(12)

15730,∴am=(12)

m5730=15,∴m5730=log1215=log25=5.B解析∵3x=5⇔x=log35,y=log3955,∴x+2y=log35+2log3955=log3(5×815)=6.2316解析原式=(0.43)-13-1+(-2)-4-(24)-0.75=0.4-7.-32解析log315-log35-2log23+lne=log33-3+lne12=8.ln3解析由题意,可得110001+110002+…+130000=(1+12+…+130000)-(1+12+…+110000)=ln30000+γ-(ln10000+γ)=9.AD解析1a+b=log0.30.2+log0.30.4=log0.30.08>log0.30.09=2,因为a=log0.20.3>log0.21=0,所以2a<1+ab,故A正确,B错误;4a=log0.20.0081<log0.20.008=3,4b=log0.30.0256>log0.30.027=3,所以b>a,故C错误,D正确,故选AD10.B解析设所需时间为t秒,则t·54×1015=2128,lgt+lg5-2lg2+15=128lg2,∴lgt=131lg2-16,∴lgt≈131×0.301-16=23.431,∴t≈1023.431=100.431×1023≈2.698×1023秒,11.B解析由题意得当x=9时,P=50%,则e-0.9+9k1+e-0.9+9k=50%,得e-0.9+9k=1,所以9k-0.9=0,得k=0.1,因此P(x)=e-0.9+0.1x1+e-0.9+0.1x.当P=40%时,由e-0.9+0.1x1+e-0.9+0.1x=40%,得3e-0.9+0.1x=2,所以e-0.9+0.12.12解析由log2p=log4q,可知log2p=log2qlog24=12log2q=log2q,即p=q①,由log2p=log8(2p+q),可知log2p=log2(2p+q)log28=log232p+q,即p=3213.C解析∵N=810×95,∴lgN=lg810+lg95=lg230+lg310=30lg2+10lg3≈9.030+4.771=13.801,∴N=1013.801∈(1013,1014),故选C.14.ABD解析设3x=4y=12z=t,t>1,则x=log3t,y=lo