适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习课时规范练24利用导数证明不等式新人教A版

课时规范练24利用导数证明不等式1.已知函数f(x)=(1x+12)ln((1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率;(2)当x>0时,求证:f(x)>1.2.(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=lnx+a2x2(a∈(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a>1时,证明:f(x)>3a3.(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=aex-12x2-x(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sinx.4.(2024·湖南益阳模拟)已知函数f(x)=12ax2-xlnx(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若a=2e,证明:f(x)<xex+1.5.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=alnx+x2,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x-1;(3)求证:对任意的n∈N*且n≥2,都有(1+122)(1+132)(1+142)…(1+1n2)

课时规范练24利用导数证明不等式1.(1)解f'(x)=-1x2ln(x+1)+(1x+12)1(2)证明当x>0时,欲证明f(x)>1,只需证明ln(x+1)-2xx+2设u(x)=ln(x+1)-2xx+2,则u'(x)=x2(x+1)(x+2)2>0在(0,+∞)上恒成立,所以u(x)在(0,+∞)上单调递增,即∀x>0,u(x)>u(0)=0,2.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1当a≤0时,f'(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,令f'(x)<0,解得0<x<a;令f'(x)>0,解得x>a,所以f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)证明由(1)可知,当a>1时,f(x)min=f(a)=lna+a2要证f(x)>3a-12a+2,只需证12lna+12>3令g(x)=lnx+4x+1-2(x>1),所以g'(x)=1因此g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=0,即lna+4a+1-2>0,故f(x)>33.(1)解因为f(x)=aex-12x2-x,所以f'(x)=aex-x-1,由f(x)在R上单调递增,得f'(x)≥0在R上恒成立,即aex-x-1≥0在R上恒成立,所以a≥x+1ex在R上恒成立,令h(x)=x+1ex,可得h'(x)=-xex,当x>0时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时,函数h(x)取得极大值且为最大值,最大值h(0)=(2)证明当a=1时,f(x)=ex-12x2-x,所以f'(x)=ex-x-1,且f(0)=1要证f(x)>sinx,只需证f(x)>1.①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;②当x=0时,可得f(0)=1且sin0=0,所以f(0)>sin0,满足f(x)>sinx;③当-2<x<0时,可得sinx<0,因为ex>0,且-12x2-x=-12(x+1)2+12>0,所以f(x)>0,因此f(x)综上可得,∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sinx.4.(1)解由已知得f'(x)=ax-lnx-1.因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)≥0,即a≥lnx令h(x)=lnx+1x(x>0),则h'(x)=-lnxx2,所以当0<x<1时,h'(x)>0,当x>1时,h'(x)<0,即h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因此h(x)max=h(1)=1,所以a≥1,故实数(2)证明若a=2e,要证f(x)<xex+1,只需证ex-lnx<ex+1x,即ex-ex<lnx+令t(x)=lnx+1x(x>0),则t'(x)=x-1x2,所以当0<x<1时,t'(x)<0,当x>1时,t'(x)>0,所以t(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则t(x)min=t(1)=1,所以令φ(x)=ex-ex(x>0),则φ'(x)=e-ex,所以当0<x<1时,φ'(x)>0,当x>1时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,所以ex-ex≤0.所以ex-ex<lnx+1x,f(x)<xex+1得证5.(1)解函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+2x=a①当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当a<0时,令f'(x)=0,解得x=-当0<x<-a2时,f'(x)<0,f(x)在(0,-a2)内单调递减;当x>-a2时,f'(x)>0,f(x)在(综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在(0,-a2)内单调递减,在(-a2,(2)证明当a=1时,f(x)=lnx+x2,要证明f(x)≤x2+x-1,即证lnx≤x-1,即证lnx-x+1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1-xx,令g'(x)=0,得当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=1处取得极大值,且极大值为最大值,所以g(x)≤g(1)=0,即lnx-x+1≤0.f(x)≤x2+x-1得证.(3)证明由(2)l