浙江省宁波市江北区五校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2023学年第一学期九年级期中考试数学卷一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1.抛物线的对称轴是（）A.直线 B.直线 C.直线 D.直线答案：C解析：解：抛物线的对称轴是．故选C．2.下列事件是必然事件的是（）A.任意一个三角形内角和等于B.投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次C.射击运动员射击一次，命中10环D.宁波今年冬天会下雪答案：A解析：解：任意一个三角形的内角和等于，一定会发生，是必然事件，故选项A正确；投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项B错误；射击运动员射击一次，命中10环，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项C错误；宁波今年冬天会下雪，可能发生，可能不发生，是随机事件，故选项D错误；故选A．3.等腰中，，以点A为圆心，长为半径画，则点与的位置关系是（）A.点在内 B.点在上C.点在外 D.以上均不可能答案：B解析：解：，以点为圆心，长为半径画，到圆心的距离等于半径，点与的位置关系是：点在上．故选：B．4.如图，在中，点D、E分别是边、上的中点，则的值为（）A.2 B. C.4 D.答案：D解析：解：点D、E分别是边、上的中点，，，，故选D．5.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82根据频率稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）A.0.90 B.0.82 C.0.85 D.0.84答案：B解析：解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B．6.如图，BD是⊙O直径，A，C是圆上不与点B，D重合的两个点，若，则∠ACB的度数为（）A.30° B.45° C.60° D.75°答案：C解析：解：连接AD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∵，∴∠ADB=60°．∴∠ACB=∠ADB=60°．故选：D．7.把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为（）A. B. C. D.答案：C解析：解：把抛物线先向右平移1个单位得到，再向上平移2个单位后得到；故选：C．8.如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2米的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆相距22米，则旗杆的高度为（）米．A.8.8 B.10 C.12 D.14答案：C解析：解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，若设旗杆高x米，则，∴x=12．故选C．9.若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.答案：C解析：解：二次函数对称轴，且开口向下，与的函数值相等，，当时，y随x的增大而减小，．故选C．10.如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（）A.﹣2≤h≤ B.﹣2≤h≤1 C.﹣1≤h≤ D.﹣1≤h≤答案：A解析：解：把y＝x+2与直线y=x联立得：，解得：，∴点，根据题意得抛物线的顶点坐标为，把代入直线y=x，得：，∴抛物线解析式为，如图，当抛物线经过点C时，把点代入得：，解得：或（舍去），如图，当抛物线经过点B时，将点代入得：，解得：或（舍去），综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是．故选：A二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.，则=________．答案：解析：解：把代入得：故答案为：12.二次函数的图象开口方向向上，则a的取值范围________．答案：解析：解：要使二次函数的图象开口方向向上，即，解得．故答案为：．13.不透明袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，摸出红球的概率是_________．答案：解析：∵事件的所有等可能性有1+2=3种，摸出红球事件的等可能性有1种，∴摸出红球的概率是，故答案为：．14.如图，内接于是的直径，连结，若，则的半径____________．答案：解析：是的直径，，，，，由圆周角定理得，，，为等边三角形，，由勾股定理得：，即，解得：，则的半径为，故答案为：．15.已知抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是______.答案：解析：解：根据图象可知，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点为，则关于对称的点为，即抛物线与x轴另一个交点为，当时，，故答案：．16.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为________．答案：3解析：解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，∵大正方形与小正方形的面积之比为5，∴，∴，设，，则，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，延长交于点N，∵，，∴，∴，∵，∴，设，则，∵，，∴，，∵，∴，∴，同理可得：，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴，故答案为：．三、解答题（本大题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20、21、22题每题8分，第23题10分，第24题12分，共66分）17.如图，正三角形网格中，已知两个小正三角形被涂黑．（1）再将图①中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形(画出两种不同的涂法)；（2）再将图②中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个中心对称图形．答案：（1）见解析（2）见解析小问1解析：解：如下图所示，即为所求作的图形，小问2解析：如下图所示，即为所求作的图形，18.一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．答案：（1）详见解析；（2）游戏不公平，理由见解析．解析：列举所有可能：012012113223（2）游戏不公平，理由如下：由表可知甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，乙获胜的可能性大，所以游戏不公平．19.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）的外接圆的半径为________；（2）将绕点B顺时针旋转后得到，请在图中画出；（3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长．答案：（1）（2）见解析（3）小问1解析：∵，∴，设外接圆的半径为，则有：，故答案为：小问2解析：如图，即为所作，小问3解析：∵，∴点C经过的路径长20.如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．（1）求证：；（2）若，，求弦的长．答案：（1）见解析（2）小问1解析：证明：为的直径，，，，，，，，，；小问2解析：解：，，，，，在中，，．21.如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣1时，求n的值；②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．答案：（1）y＝﹣（x﹣1）2+5，顶点为（1，5）；（2）①n＝1；②﹣1≤m≤1解析：解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)．∴，解得，∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，∵y＝﹣(x﹣1)2+5，∴顶点为(1，5)；（2）∵点C(m，n)在该二次函数图象上，①当m＝﹣1时，则C(﹣1，n)，把C(﹣1，n)代入y＝﹣x2+2x+4得，n=-1-2+4=1，∴n＝1；②∵y＝﹣(x﹣1)2+5，∴当x=3时，y＝﹣(3﹣1)2+5=1，抛物线对称轴是直线x=1，函数的最大值是5，∴点(3，1)关于关于对称轴的对称点是(-1，1)，抛物线的顶点为(1，5)．∵当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，∴m的取值范围是-1≤m≤1．22.如图，等腰直角中，，，点D、E分别在边、上（不与点A、B、C重合），连接、，有．（1）证明：．（2）若，当是等腰三角形时，求的长．答案：（1）见解析（2）或小问1解析：解：，，，，，，；小问2解析：解：是等腰三角形，有三种情况：①当时，，，，，，平分，垂直平分，；②当时，由（1）知，此时与为对应边，，，，由勾股定理可得，即，解得，，；③当时，此时点重合，点重合，不符合题意，舍去．故的长为或．23.随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？答案：（1）利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0），利润y2关于投资量x的函数关系式是y=x2（x≥0）；（2）当x=8时，z的最大值是32．解析：（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值．试题解析：（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），所以2=k•1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0）；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），∴2=a•22，a=，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2（x≥0）；（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z元，根据题意，得z=2（8-x）+x2=x2-2x+16=（x-2）2+14，当x=2时，z的最小值是14，∵0≤x≤8，∴-2≤x-2≤6，∴（x-2）2≤36，∴（x-2）2≤18，∴（x-2）2+14≤18+14=32，即z≤32，此时x=8，答：当x=8时，z的最大值是32．考点：1．二次函数的应用；2．一次函数的应用．24.如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．（1）的度数为________；（2）如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为________；（3）如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；（4）如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．