等差数列前n项求和公式

教学目标

探索并掌握等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题.2021/10/10星期日1.重点、难点等差数列前n项公式推导思路的获得，及对公式的熟练应用。2021/10/10星期日2.导入1+2+3+……+100=？（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=50502021/10/10星期日3.用下面方法计算1,2,3……n的前n项和倒序相加法2021/10/10星期日4.公式的推导所以即sn=a1+(a1+d)+……+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]sn=an+(an-d)+……+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]2021/10/10星期日5.公式把代入上式可得公式一：公式二：2021/10/10星期日6.练习：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的前n项和Sn。⑴a1=－4，a8=－18，n=8

sn=－88⑵a1=14.5，d=0.7，an=32sn=604.52021/10/10星期日7.典型例题例1：2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？2021/10/10星期日8.解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以可以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，其中

a1=500，d=50．

那么，到2010年(n=10)，投入的资金总额为s10=10×500+10×(10－1)×50/2=7250（万元）答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程的总投入是7250万元。

审题—抽象出数学模型—解答2021/10/10星期日9.例2：已知一个等差数列｛an｝前10项的和是310，前二十项的和是1220。由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？2021/10/10星期日10.解：由题意知:s10=310，s20=1220将它们代入公式Sn=na1+n(n-1)d/2，得到:10a1+45d=31020a1+190d=1220解这个关于a1与d的方程组，得到：a1=4，d=6所以Sn=4n+n(n-1)×6/2=3n2+n.2021/10/10星期日11.a1=11,an=231、等差数列｛an｝中⑴a1=20,an=54,sn=999求d及n⑵d=1/3,n=37,sn=629求a1及and=17/13,n=27针对训练2021/10/10星期日12.小结：Sn实质是一个关于a1，n，d或a1，an，d的方程。因此对于等差数列的相关量a1，n，d，an，Sn，已知其中任意三个量，根据通项公式与求和公式便可确定其他量。2021/10/10星期日13.例3：已知数列｛an｝前n项的和为sn=n2+(1/2)n求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？2021/10/10星期日14.所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－1/2.由此可知，数列｛an｝是一个首项为3/2，公差为2的等差数列。解：根据sn=a1+a2+…+an-1+an与sn-1=a1+a2+…+an-1（n＞1）可知，当n＞1时，

an=sn－sn-1=n2+1/2n－〔（n－1)2+1/2（n－1）〕=2n－1/2……①当n=1时，

a1=s1=12+1/2×1=3/2，也满足①式。2021/10/10星期日15.已知数列an的前n项和为，求这个数列的通项公式。针对练习2021/10/10星期日16.解：当n=1时，当n>1时又n=1时所以2021/10/10星期日17.⑴当n=1时a1=S1⑵当n>1时，an=Sn-Sn-1⑶如果当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值相等，那么得到数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1，当n=1时an=Sn-Sn-1与a1的值不相等，那么数列an的通项公式要分段表示为an=S1n=1Sn-Sn-1n>1思考：已知前n项和Sn如何求通项an？2021/10/10星期日18.探究P+q+r(n=1)2pn-p+q(n>1)an=解：由上题思路可得：只有r=0时，数列{an}才是等差数列首项为：a1=p+q,公差为：d=2p如果数列{an}的前n项和是常数项为0，且是关于n的一元二次关系式，那么数列{an}是等差数列。2021/10/10星期日1