等差数列与等比数列

等差数列与等比数列基本公式等差数列an-an-1=d(常数)an=a1+(n-1)da,A,b等差,则A=等比数列an/an-1=q(常数)an=a1qn-1a,G,b等比,则G2=abSn=na1(q=1)Sn=2021/10/10星期日1等差数列{an},{bn}的性质:m+n=k+l,则am+an=ak+al;{nk}等差,则等差;{kan+b}等差;{k1an+k2bn}等差;a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等差.{an}等差

Sn=cn2+bn(c≠0).2021/10/10星期日2等比数列{an},{bn}的性质:

m+n=k+l(m,n,k,l∈N),则aman=akal;{nk}等差,则{kan}等比;{k1ank2bn}等比;a1+a2+...+an,an+1+an+2+...+a2n,a2n+1+a2n+2+......+a3n,........等比.公比qn;{an}等比

Sn=c(qn-1)(c≠0){an}等比且an>0,则{lgan}等差;等比;2021/10/10星期日3例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.解法1:如图:a1,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或2021/10/10星期日4例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.如图:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,a已知和为12=>a-d+a+a+d=12已知三数和为19=>=>或四数为:9,6,4,2或25,-10,4,18.192021/10/10星期日5

为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数,用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。归纳

练习12021/10/10星期日6练习11.已知等比数列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()(A)5(B)10(C)15(D)202.数列{an}是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-1103.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()(A)0(B)150(C)300(D)450ADA2021/10/10星期日71.已知等比数列{an}中,an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=a2a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=>a3+a5=5(an>0)提示:2021/10/10星期日82.数列{an}是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)90(B)-90(C)110(D)-110S10,S20-S10,S30-S20,........,S110-S100成等差数列,公差100d.解:∴(S20-S10)-S10=100d)∴S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120S110=-120+S100=-110=>10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)100d2021/10/10星期日93.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()解:∵A+B+C=18002B=A+C,b2=ac∴B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC故A=B=C,公差d=0.2021/10/10星期日10例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:

恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn即得出新数列的公比:q=3

再由∴可解出kn,进而求出根据数列{an}是等差数列,通项可写作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:2021/10/10星期日11例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:

恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn解:{an}为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d故(a1+4d)2=a1(a1+16d)(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d2021/10/10星期日12例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列:

恰好为等比数列,其中k1≠0,k2=5,k3=17,求k1+k2+.....+kn故又q=3,d=(1/2)a12021/10/10星期日13归纳1.本题是一个综合型的等差、等比数列问题，在解题过程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解题的前提。2。仔细观察，找到两个数列序号间的联系，是使问题得解的关键。练习22021/10/10星期日14练习21.如果a,b,c成等差数列,而a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=________________2.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100项之和为0,则θ的值为________1:1:1或4:1:(-2)2kπ±(2π/3)(k∈Z)2021/10/10星期日151.如果a,b,c成等差数列,而a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=________________

a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab①②代①入②,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或a=-2c1:1:1或4:1:(-2)解:2021/10/10星期日162.若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,…..,前100项之和为0,则θ的值为________解:经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cosθ,它的前100项和:Cosθ=-1/2Θ=2kπ±(2π/3),k∈Z.2021/10/10星期日17例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,

使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)证明{an}成等差数列分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必须根据公式求出a1,an.因为条件中有a1≠a2,又可推测知:本题需同时求a1,,a2,才可利用a1≠a2排除增根.故第一问的解答从计算a1,a2开始:2021/10/10星期日18例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,

使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)证明{an}成等差数列（1）令n=1，s1=pa1，因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，这与a1≠a2矛盾故p≠1所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2因为a1≠0，∴a2≠0，p=1/2解:2021/10/10星期日19例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,

使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)证明{an}成等差数列(2)根据已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数)的数列是等差数列所以第一步求通项,第二步“作差”.证明:n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-12021/10/10星期日20例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,

使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.

(1)求p(2)证明{an}成等差数列

由(1)可得a1=0∴a2-a1=a2练习32021/10/10星期日21练习31.数列则是该数列的第________项.2.数列{an}对任意自然数n都满足且a3=2,a7=4,则a15=_______11162021/10/10星期日22教学目的1。系统掌握等差、等比数列定义与性质，灵活应用等差、等比数列的定义与性质。2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。2021/10/10星期日23小结对等差等比综合问题1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。2。掌握设元的技巧；3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。2021/10/10星期日24习题分析:6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:____________________.2021/10/10星期日25习题分析:7.数列{an}各项均为正数,前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,