自动控制原理与应用课件

第1章概述

在许多工业生产过程或生产设备运行中，为了保证正常的工作条件，往往需要对某些物理量(如温度、压力、流量、液位、电压、位移和转速等)进行控制，使其尽量维持在某个数值附近或按一定规律变化。要满足这种需要，就应该对生产机械或设备进行及时的操作，以抵消外界干扰的影响。这种操作通常称为控制，用人工操作称为人工控制，用自动装置来完成称为自动控制。阶段1自动控制概念的提出任务1自动控制与自动控制系统阶段2自动控制系统的基本组成任务1自动控制与自动控制系统自动控制系统根据被控对象和具体用途的不同，可以有各种不同的结构形式。如图所示是一个典型自动控制系统的方框图。图中，每一个方框代表一个具有特定功能的元件。除了被控对象外，控制装置通常是由给定元件、测量元件、比较元件、放大元件、执行机构和校正元件组成的。这些功能元件分别承担相应的职能，共同完成控制任务。阶段2自动控制系统的基本组成任务1自动控制与自动控制系统阶段2自动控制系统的基本组成任务1自动控制与自动控制系统（1）被控对象一般是指生产过程中需要进行控制的工作机械、装置或生产过程。描述被控对象工作状态的、需要进行控制的物理量就是被控量。（2）给定元件主要用于产生给定信号或控制输入信号。（3）测量元件用于检测被控量或输出量，产生反馈信号。如果测出的物理量属于非电量，一般要转换成电量以便处理。阶段2自动控制系统的基本组成任务1自动控制与自动控制系统（4）比较元件。

用来比较输入信号和反馈信号之间的偏差。它可以是一个差动电路，也可以是一个物理元件（如电桥电路、差动放大器和自整角机等）。（5）放大元件。

用来放大偏差信号的幅值和功率，使之能够推动执行机构调节被控对象，如功率放大器等。阶段2自动控制系统的基本组成任务1自动控制与自动控制系统（6）执行机构。

用于直接对被控对象进行操作，调节被控量，如阀门和伺服电动机等。（7）校正元件。

用来改善或提高系统的性能。常用串联或反馈的方式连接在系统中，如RC网络和测速发电机等。阶段3自动控制系统的分类任务1自动控制与自动控制系统按给定信号的形式不同，可将系统划分为恒值控制系统和随动控制系统两种。（1）恒值控制系统。

输入量一经设定，就维持不变，希望输出量维持在某一特定值上。（2）随动控制系统。

若给定信号的变化规律是事先不能确定的、随时间变化的信号，则称该系统为自动跟踪系统；若给定输入是预先设定的、按预定规律变化的信号，则称相应系统为程序控制系统。上述两种系统称为随动控制系统。阶段3自动控制系统的分类任务1自动控制与自动控制系统按系统参数是否随时间变化，可以将系统分为定常系统和时变系统两种。其中，如果控制系统的参数在系统运行过程中不随时间变化，则称为定常系统或者时不变系统。否则，称为时变系统。按系统是否满足叠加原理，可将系统分为线性系统和非线性系统两种。本课程重点研究线性定常系统。如果一个系统在输入r1(t)的作用下产生输出c1(t)，在输入r2(t)的作用下产生输出c2(t)，若在输入a1r1(t)+a2r2(t)的作用下，系统输出为a1c1(t)+a2c2(t)，其中r1(t)，r2(t)是任意的输入信号；a1,a2是任意的常数，那么该系统满足叠加原理，是线性系统，否则是非线性系统。阶段3自动控制系统的分类任务1自动控制与自动控制系统按系统信号是连续信号还是离散信号，可将系统分为连续系统与离散系统两种。其中，若系统中所有信号都是连续信号，则称为连续系统；若系统中有一处或几处的信号是离散信号（脉冲序列或数字编码），则称为离散系统（包括采样系统和数字系统）。按照输入信号和输出信号的数目，可将系统分为单输入单输出(SISO)系统和多输入多输出(MIMO)系统。其中，单输入单输出系统通常称为单变量系统，这种系统只有一个输入(不包括扰动输入)和一个输出；多输入-多输出系统通常称为多变量系统，有多个输入和多个输出。阶段1开环控制任务2开环控制与闭环控制如图(a)所示的他激直流电动机转速控制系统就是一个开环控制系统。它的任务是控制直流电动机以恒定的转速带动负载工作。在本系统中，直流电动机是被控对象；电动机的转速ω是被控量，或称系统的输出量或输出信号；参考电压ur通常被称为系统的给定量或输入量。阶段１开环控制任务2开环控制与闭环控制如图（b）所示是直流电动机转速开环控制系统的方框图。阶段1开环控制任务2开环控制与闭环控制一般来说，开环控制系统结构比较简单，成本较低。开环控制系统的缺点是控制精度不高，抑制干扰能力差，而且对系统参数的变化比较敏感。一般用于可以不考虑外界影响或精度要求不高的场合，如洗衣机、步进电机控制及水位调节等。阶段2闭环系统任务2开环控制与闭环控制开环控制系统精度不高和适应性不强的主要原因是缺少从系统输出到输入的反馈回路。若要提高控制精度，必须把输出量的信息反馈到输入端，通过比较输入值与输出值，产生偏差信号，该偏差信号以一定的控制规律产生控制作用，逐步减小以至消除这一偏差，从而实现所要求的控制性能。阶段2闭环系统任务2开环控制与闭环控制在图(a)所示的直流电动机转速开环控制系统中，加入一台测速发电机，并对电路稍作改变，便构成了如(a)所示的直流电动机转速闭环控制系统。阶段2闭环系统任务2开环控制与闭环控制如图（b）所示是直流电动机转速闭环控制系统的方框图。这种通过反馈回路使系统构成闭环，并按偏差产生控制作用，用以减小或消除偏差的控制系统，称为闭环控制系统，或称为反馈控制系统。而把从系统输入量到输出量之间的通道称为前向通道；从输出量到反馈信号之间的通道称为反馈通道。阶段2闭环系统任务2开环控制与闭环控制闭环控制系统工作的本质是：将系统的输出信号引回到输入端，与输入信号相比较，利用所得的偏差信号对系统进行调节，达到减小偏差或消除偏差的目的。这就是负反馈控制原理，它是构成闭环控制系统的核心。闭环控制是最常用的控制方式，通常所说的控制系统，一般都是指闭环控制系统。闭环控制系统是本课程讨论的重点。另外，也可将闭环控制与补偿控制相结合，形成复合控制。任务3对自动控制系统的性能要求由于实际物理系统一般都含有储能元件或惯性元件，因而系统的输出量和反馈量总是迟于输入量的变化。因此，当输入量发生变化时，输出量从原平衡状态变化到新平衡状态总是要经历一定时间。在输入量的作用下，系统的输出变量由初始状态达到最终稳态的中间变化过程称为动态过程，又称瞬态过程。动态过程结束后的输出响应称为稳态过程。系统的输出响应由动态过程和稳态过程两部分组成。任务3对自动控制系统的性能要求不同的控制对象、不同的工作方式和控制任务，对系统的性能要求也往往不相同。一般来说，对系统性能的基本要求可以归纳为三个字：稳、准、快。任务3对自动控制系统的性能要求（1）稳：是指系统的稳定性。稳定性是系统重新恢复平衡状态的能力。任何一个能够正常工作的控制系统，首先必须是稳定的。稳定是对自动控制系统的最基本要求。（2）准：是对系统稳态（静态）性能的要求。对一个稳定的系统而言，动态过程结束后，系统输出量的实际值与期望值之差称为稳态误差，它是衡量系统控制精度的重要指标。稳态误差越小，表示系统的准确性越好，控制精度越高。（3）快：是对系统动态性能（瞬态过程性能）的要求。描述系统动态性能可以用平稳性和快速性加以衡量。其中，平稳是指系统由初始状态运动到新的平衡状态时，具有较小的超调量和振荡性。动态性能是衡量系统质量高低的重要指标。任务3对自动控制系统的性能要求由于被控对象的具体情况不同，各种系统对3项性能指标的要求应有所侧重。例如，恒值系统一般对稳态性能的限制比较严格，随动系统一般对动态性能的要求较高。对于同一个系统，上述3项性能指标之间往往是相互制约的。提高过程的快速性，可能会引起系统强烈振荡；改善了平稳性，控制过程又可能很迟缓，甚至使最终精度也很差。分析和解决这些矛盾，将是本课程讨论的重要内容。阶段1自动控制的发展任务4自动控制的发展及本课程的要求自动控制理论是在人类征服自然的生产实践活动中孕育、产生，并随着社会生产和科学技术的进步而不断发展、完善起来的。自动控制理论研究的是如何按被控对象和环境特征，通过能动地采集和运用信息施加控制作用，使系统在变化或不确定的条件下正常运行，并具有预定功能。它是研究自动控制共同规律的技术科学，其主要内容涉及被控对象、环境特征、控制目标和控制手段以及它们之间的相互作用。阶段1自动控制的发展任务4自动控制的发展及本课程的要求随着自动化技术的发展，人们力求使设计的控制系统达到最优的性能指标，为了使系统在一定的约束条件下，其某项性能指标达到最优而实行的控制称为最优控制。控制理论目前还在向更纵深、更广阔的领域发展，无论是在数学工具、理论基础，还是在研究方法上都产生了实质性的飞跃，在信息与控制学科研究中注入了蓬勃的生命力，启发并扩展了人的思维方式，引导人们去探讨自然界更为深刻的运动机理。阶段2本课程的研究内容任务4自动控制的发展及本课程的要求自动控制原理是一门研究自动控制共同规律的工程技术科学，是研究自动控制技术的基础理论。自动控制系统虽然种类繁多，形式不同，但所研究的内容和方法却是类似的。阶段2本课程的研究内容任务4自动控制的发展及本课程的要求本课程的研究内容主要分为系统分析和系统设计两个方面。1．系统分析系统分析是指在控制系统结构参数已知、系统数学模型建立的条件下，判定系统的稳定性，计算系统的动态和静态性能指标，研究系统性能与系统结构、参数之间的关系。阶段2本课程的研究内容任务4自动控制的发展及本课程的要求本课程的研究内容主要分为系统分析和系统设计两个方面。

2．系统设计系统设计是在给出被控对象及其技术指标要求的情况下，寻求一个能完成控制任务、满足技术指标要求的控制系统。在控制系统的主要元件和结构形式确定的前提下，设计任务往往是需要改变系统的某些参数，有时还要改变系统的结构，选择合适的校正装置，计算、确定其参数，加入系统之中，使其满足预定的性能指标要求。这个过程称为系统的校正。阶段2本课程的研究内容任务4自动控制的发展及本课程的要求设计问题要比分析问题更为复杂。首先，设计问题的答案往往并不唯一，对系统提出的同样一组要求，往往可以采用不同的方案来满足；其次，在选择系统的结构和参数时，往往会出现相互矛盾的情况，需要进行折中，同时必须考虑控制方案的可实现性和实现方法；最后，设计时还要通盘考虑经济性、可靠性、安装工艺和使用环境等各个方面的问题。

(1)根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入变量和输出变量。

(2)从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组。

(3)消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。

(4)将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。阶段1系统或元部件微分方程的建立步骤任务1微分方程的建立及分析下面举例说明建立微分方程的步骤和方法。

RLC无源网络如图21所示，试列写输入电压ur与输出电压uc之间的微分方程。阶段2线性系统或线性元部件微分方程的建立任务1微分方程的建立及分析控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统输出响应的全部时间信息。经典控制理论中，广泛应用的根轨迹法和频域分析法就是以传递函数为基础建立起来的，因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型。阶段1传递函数任务2传递函数的建立及分析

1． 传递函数的定义传递函数是指在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。线性定常系统的微分方程一般形式为andnc(t)dtn+an-1dn-1c(t)dtn-1+…+a1dc(t)dt+a0c(t)=bmdmr(t)dtm+bm-1dm-1r(t)dtm-1+…+b1dr(t)dt+b0r(t)（1）式中，c(t)为输出量；r(t)为输入量；an,an-1，…，a0及bm，bm-1,…,b0均为由系统结构、参数决定的常系数。阶段1传递函数任务2传递函数的建立及分析

1． 传递函数的定义

C(s)R(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0零初始条件有两方面含义：一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t≤0时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在t≤0时的值也为零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统性能。阶段1传递函数任务2传递函数的建立及分析２．传递函数的性质（１）传递函数是复变量s的有理分式，它具有复变函数的所有性质。因为实际物理系统总是存在惯性，并且能源功率有限，所以实际系统传递函数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，即n≥m。（２）传递函数只取决于系统的结构参数，而与外作用无关。（３）传递函数与微分方程有直接联系。阶段1传递函数任务2传递函数的建立及分析２．传递函数的性质（４）传递函数的拉氏反变换即为系统的脉冲响应，因此传递函数能反映系统的运动特性。由于单位脉冲函数的拉氏变换式为1（即R(s)=L［δ(t)］=1），因此有L-1［G(s)］=L-1C（s）R（s）=L-1［C(s)］=k(t)阶段1传递函数任务2传递函数的建立及分析不同的自动控制系统，其物理结构可能差别很大，但若从系统的数学模型来看，一般可将其看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性有助于对系统性能的了解。

1.比例环节具有比例运算关系的元部件称为比例环节。其输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。比例环节的传递函数为G(s)=C(s)R(s)=K阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析比例环节的方框图如图

比例环节的实例如图

阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析２.惯性环节惯性环节的微分方程是一阶的,且输出响应需要一定的时间才能达到稳态值，故称为一阶惯性环节。此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。惯性环节的传递函数为G（s）=C（s）R（s）=KTs+1当R（s）=1s时，C（s）=KTs+1•1s,在单位阶跃信号作用下的响应为c（t）=K（1-e-tT）阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析惯性环节的方框图如图

惯性环节的实例如图

阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析

3．积分环节符合积分运算关系的环节称为积分环节。在动态过程中，输出量的变化速度和输入量成正比。积分环节的传递函数为G(s)=C(s)R(s)=1Ts上式称为积分环节的标准式。下图所示为积分环节方框图。

当R(s)=1s时，C(s)=1Ts•1s=1Ts2，积分环节的单位阶跃响应为c(t)=1Tt阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析

4．微分环节符合微分运算关系的环节称为微分环节。在动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。微分环节的传递函数为G(s)=C（s）R（s）=Ts理想微分环节的方框图如图所示。其单位阶跃响应为c(t)=Tδ(t)阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析

4．微分环节近似理想微分环节的实例如图所示。

实际中，微分特性总是含有惯性的，具有这种特性的微分环节称为实用微分环节。其单位阶跃响应的拉氏变换式为C（s）=TsTs+1•1s=1s+1T阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析

5．振荡环节振荡环节是由二阶微分方程描述的系统。它包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。振荡环节的传递函数为G(s)=C(s)R(s)=1T2s2+2ξTs+1振荡环节的方框图如图所示。阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析

6．时滞环节时滞环节也称延迟环节。其输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。时滞环节的存在对系统的稳定性不利。时滞环节的传递函数为G(s)=C(s)R(s)=e-τs=1eτs时滞环节的方框图如图所示。阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析

6．时滞环节时滞环节也称延迟环节。其输出波形与输入波形相同，但延迟了时间。时滞环节的存在对系统的稳定性不利。时滞环节的传递函数为G(s)=C(s)R(s)=e-τs=1eτs时滞环节的方框图如图所示。阶段2常用控制元件的传递函数任务2传递函数的建立及分析传递函数通常表示成有理分式，根据系统分析的需要，也常表示成首1标准型或尾1标准型。

1．首1标准型（零、极点形式）将传递函数的分子、分母最高次项（首项）系数均化为1，表示为G(s)=K*∏mj=1（s-zj）∏ni=1（s-pi）的形式，称为首1标准型。因式分解后也称为传递函数的零、极点形式。式中，z1，z2，…，zm为传递函数分子多项式等于零的根，称为传递函数的零点；p1，p2，…,pn为传递函数分母多项式等于零的根，称为传递函数的极点。阶段3传递函数的标准形式任务２传递函数的建立及分析

2．尾1标准型（典型环节形式）将传递函数的分子、分母最低次项（尾项）系数均化为1，表示为G(s)=K∏m1k=1(τks+1)∏m2l=1(τ2ls2+2ξτls+1)sv∏n1i=1(Tis+1)∏n2j=1(T2js2+2ξTjs+1)的形式，称为尾1标准型（简称尾1型）。因式分解后也称为传递函数的典型环节形式。式中，每个因子都对应一个典型环节，这里，K称为系统增量。K与K*的关系为K=K*∏mj=1｜zj｜∏ni=1｜pi｜阶段3传递函数的标准形式任务3传递函数的建立及分析微分方程和传递函数都是系统的数学模型。在求微分方程和传递函数时，都需要用消元的方法消去中间变量，这不仅是一项乏味费时的工作，而且消元之后只剩下系统的输入和输出两个变量，不能直观地显示出系统中其他变量间的关系以及信号在系统中的传递过程。而动态结构图是系统数学模型的另一种形式，用它来表示控制系统，不仅能简明地表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程，也能根据下述的等效变换原则，方便地求出系统的传递函数。阶段1动态结构图的建立任务3动态结构图的建立及分析绘制动态结构图的一般步骤为：

(1)确定各元件或环节的传递函数。

(2)绘出各环节的动态方框图，方框中标出其传递函数，并以箭头和字母标明其输入量和输出量。

(3)根据信号在系统中的流向，依次将各方框图连接起来。阶段1动态结构图的建立任务3动态结构图的建立及分析

【例】如图所示，ur，uc分别是RC无源网络的输入、输出电压，试建立相应的电路结构图。解:根据基尔霍夫定律，可写出以下方程

Ur(s)-Uc（s）=U1（s）

I（s）=U1（s）R1/（Cs）R1+1/（Cs）=1+R1CsR1U1（s）

Uc（s）=R2I（s）阶段1动态结构图的建立任务3动态结构图的建立及分析根据各方程可绘出相应的子结构图，分别如图（a）(b)和（c）所示；按信号的传递顺序，将各子结构图依次连接起来，便得到RC无源网络的结构图，如图（d）所示。阶段1动态结构图的建立任务3动态结构图的建立及分析结构图是从具体系统中抽象出来的数学结构图形，当只讨论系统的输入、输出特性，而不考虑它的具体结构时，完全可以对其进行必要的变换，当然，这种变换必须是“等效的”，应使变换前、后输入量与输出量之间的传递函数保持不变。下面依据等效原理推导结构图变换的一般法则。阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析

1．串联环节的等效变换图（a）表示两个环节串联的结构。图（b）所示为其等效结构图。

所以两个环节串联后的等效传递函数为G(s)=C(s)R(s)=G2(s)G1(s)上述结论可以推广到任意个环节串联的情况，即环节串联后的总传递函数等于各个串联环节传递函数的乘积。阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析

2．并联环节的等效变换图（a）表示两个环节并联的结构。图（b）所示为其等效结构图。

所以两个环节并联后的等效传递函数为G（s）=G1（s）±G2（s）上述结论可以推广到任意个环节并联的情况，即环节并联后的总传递函数等于各个并联环节传递函数的代数和。阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析

3．反馈连接的等效变换图(a)所示为反馈连接的一般形式。图（b）所示为其等效结构图。

所以反馈连接后的等效（闭环）传递函数为Φ（s）=G（s）1G（s）H（s）当反馈通道的传递函数H(s)=1时，称相应系统为单位反馈系统。此时，闭环传递函数为Φ(s)=G(s)1G(s)阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析

4．比较点和引出点的移动在结构图简化过程中，当系统中出现信号交叉时，需要移动比较点或引出点的位置，这时应注意保持移动前后信号传递的等效性。下表汇集了结构图等效变换的基本规则，可供查阅。阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析

【例】简化图所示系统的结构图，求系统的闭环传递函数Φ(s)=C(s)R(s)。解:这是一个多回路系统。可以有多种解题方法，这里从内回路到外回路逐步化简。第一步，将引出点a后移，比较点b后移，即将图简化成图（a）所示结构。阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析第二步，对图（a）中H3（s）和G2（s）G4（s）串联后与H2（s）并联，再和串联的G3（s）,G4（s）组成反馈回路，进而简化成图（b）所示结构。第三步，对图（b）中的回路再进行串联及反馈变换，成为图（c）所示形式。最后可得系统的闭环传递函数为阶段2动态结构图的等效变换任务3动态结构图的建立及分析对于一些结构复杂的系统，采用结构图化简的方法求系统的传递函数是较麻烦的。而采用梅逊(Mason)增益公式，则可以不作任何结构变换，只要通过对信号流图或动态结构图的观察和分析，就能直接写出系统的传递函数。阶段3梅逊增益公式任务3动态结构图的建立及分析计算任意输入节点和输出节点之间传递函数G（s）的梅逊增益公式为G（s）=1Δ∑nk=1PkΔk式中，Δ——特征式，其计算公式为Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…；

n——从输入节点到输出节点间前向通路的条数；

Pk——从输入节点到输出节点间第k条前向通路的总增益；

Δk——第k条前向通路的余子式，即把特征式中与该前向通路相接触回路的回路增益置为零后，所余下的部分。阶段3梅逊增益公式任务3动态结构图的建立及分析

【例】试求图所示系统的传递函数C（s）R（s）。

解:本系统有三条前向通路，其增益分别为：P1=G1G2G3G4，P2=G5G3G4和P3=G1G6。其中只有L2和L3两回路互不接触，故特征式为Δ=1-（L1+L2+L3）+（L2L3）=1+G1G2G3G4H2+G1G6H2+G3H1+G1G3G6H1H2由于各回路均与前向通路P1，P2接触，故余子式Δ1=Δ2=1。前向通路P3与回路L3不接触，所以余子式Δ3=1-L3=1+G3H1。阶段3梅逊增益公式任务3动态结构图的建立及分析在图中，为了便于分析系统，常常在H（s）的输出端，即在反馈点处，“人为”地断开系统的主反馈通路。将前向通路的传递函数与反馈通路的传递函数的乘积称为系统的开环传递函数，用G（s）H（s）表示。它等于系统的反馈信号B（s）与偏差信号E（s）之比，即G（s）H（s）=B（s）E（s）=G1（s）G2（s）H（s）

阶段1系统的开环传递函数任务4反馈控制系统的传递函数

1．给定输入作用下的闭环传递函数当只研究系统在控制输入作用时，令N（s）=0，可求出系统输出C（s）对输入R（s）的闭环传递函数Φ（s）为Φ(s)=C(s)R(s)=G1(s)G2(s)1+G1(s)G2(s)H（s）

2．扰动输入作用下的闭环传递函数当只研究系统在扰动输入作用时，令R（s）=0，可求得输出C（s）对扰动N（s）作用的传递函数Φn（s）=C（s）N（s）=G1(s)G2（s）1+G1（s）G2（s）H（s）阶段2闭环系统的传递函数任务4反馈控制系统的传递函数

1．控制输入作用下的误差传递函数在N（s）=0的情况下，可求出系统的误差传递函数，即Φe(s)=E(s)R(s)=11+G1(s)G2(s)H(s)

2．扰动输入作用下的误差传递函数令R(s)=0，可求出误差对扰动作用的闭环传递函数，简称扰动误差传递函数，即Φen(s)=E(s)N(s)=-G2(s)H(s)1+G1(s)G2(s)H(s)阶段3闭环系统的误差传递函数任务4反馈控制系统的传递函数

3．控制输入和扰动同时作用下系统的总误差可求出系统在控制输入和扰动输入同时作用下系统的总误差为E(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)+-G2(s)H(s)N(s)1+G1(s)G2(s)H(s)不难发现，4种闭环传递函数Φ(s)，Φn(s)，Φe(s)和Φen(s)具有相同的分母，即1+G1(s)G2(s)H(s)=1+G(s)H(s)任务4反馈控制系统的传递函数阶段3闭环系统的误差传递函数

【例】已知系统结构图如图所示，试求传递函数Φ(s)和Φn(s)的表达式。

解:首先求系统的闭环传递函数Φ（s），这时令干扰信号N(s)=0。由图可见，从输入到输出有两条前向通路、两个回路，没有互不接触回路，所有回路均与前向通路相接触。因此有P1=G1G2G3G4P2=G0G2G3G4Δ1=1Δ2=1L1=-G3G4HL2=-G1G2G3G4H（s）+G1（s）G2（s）G3（s）G4（s）任务4反馈控制系统的传递函数阶段3闭环系统的误差传递函数要确定系统性能的优劣，就要在同样的输入条件激励下比较系统的行为。为了在符合实际情况的基础上便于实现和分析计算，时域分析法中一般采用表中的典型输入信号。阶段1时域法常用的典型输入信号任务1控制系统的性能指标

阶段1时域法常用的典型输入信号任务1控制系统的性能指标时域分析法中的典型输入信号稳定是控制系统正常运行的基本条件。只有系统稳定，其响应过程才能收敛，研究系统的性能（包括动态性能和稳态性能）才有意义。实际物理系统都存在惯性，输出量的改变是与系统所存储的能量有关的。系统所存储的能量的改变需要一个过程。在外作用激励下系统从一种稳定状态转换到另一种稳定状态需要一定的时间。一个稳定系统的典型阶跃响应如图所示。响应过程分为动态过程（也称为过渡过程）和稳态过程，系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段定义的。阶段2系统的时域性能指标任务1控制系统的性能指标阶段2系统的时域性能指标任务1控制系统的性能指标系统的典型阶跃响应及动态性能指标

1．动态性能系统的动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态，若系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其他形式的输入作用下，其动态性能也应是令人满意的。阶段2系统的时域性能指标任务1控制系统的性能指标动态性能指标通常有如下几项：（1）延迟时间td：阶跃响应第一次达到终值h(∞)的50％所需的时间。（2）上升时间tr：阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间。对于有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。（3）峰值时间tp：阶跃响应越过终值h(∞)达到第一个峰值所需的时间。（4）调节时间ts：阶跃响应到达并保持在终值h(∞)±5％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的±2％误差带来定义调节时间。除非特别说明，本书以后所说的调节时间均以±5％误差带定义。（5）超调量σ％：峰值h(tp)超出终值h(∞)的百分比，即σ％=h(tp)-h(∞)h(∞)×100％阶段2系统的时域性能指标任务1控制系统的性能指标

2．稳态性能稳态误差是指当时间趋于无穷时系统的实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。应当指出，系统性能指标的确定应根据实际情况而有所侧重。例如，民航客机要求飞行平稳，不允许有超调；歼击机则要求机动灵活，响应迅速，允许有适当的超调；对于一些启动之后便需要长期运行的生产过程（如化工过程等），则往往更强调稳态精度。阶段2系统的时域性能指标任务1控制系统的性能指标一阶系统的典型结构如图所示

一阶系统典型结构图因此，单位阶跃响应h(t)=L-1［C(s)］=1-e-tT阶段1了解典型输入下一阶系统的响应任务2一阶系统的时域分析一阶系统的单位阶跃响应如图所示，响应是单调的指数上升曲线。依调节时间ts的定义有h（ts）=1-e-tsT=0.95解得ts=3T阶段2一阶系统动态性能指标的计算任务2一阶系统的时域分析一阶系统的单位阶跃响应时间常数T是一阶系统的重要特征参数。T越小，系统极点越远离虚轴，过渡过程越快。图给出了一阶系统的单位阶跃响应随时间常数T变化的趋势。一阶系统单位阶跃响应随T变化的趋势阶段2一阶系统动态性能指标的计算任务2一阶系统的时域分析用同样方法讨论一阶系统的脉冲响应和斜坡响应，可将系统典型输入响应列成下表。一阶系统典型输入响应阶段3典型输入信号下的一阶系统响应任务2一阶系统的时域分析从表中容易看出，系统对某一输入信号的微分/积分的响应，等于系统对该输入信号的响应的微分/积分。这是线性定常系统的重要性质，对任意阶线性定常系统均适用。阶段3典型输入信号下的一阶系统响应任务2一阶系统的时域分析

【例】某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间变化的规律为h(t)=1-e-1Tt。实验测得，当t=60s时温度计读数达到实际水温的95％，试确定该温度计的传递函数。解:依题意，温度计的调节时间为ts=60=3T可得T=20，则有h(t)=1-e-1Tt=1-e-120t由线性系统的性质k(t)=h′(t)=120e-120t由传递函数的性质Φ(s)=L［k(t)］=120s+1阶段3典型输入信号下的一阶系统响应任务2一阶系统的时域分析常见二阶系统的结构图如图所示。其中K，T、为环节参数。系统的闭环传递函数为Φ(s)=KT1s2+s+K

二阶系统的闭环特征方程为D（s）=s2+2ξωns+ω2n=0其特征根为λ1，2=-ξωn±ωnξ2-1阶段1二阶系统传递函数的标准形式及分类任务3二阶系统的时域分析若系统阻尼比ξ的取值范围不同，则特征根的形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表。二阶系统{按阻尼比)分类表阶段1二阶系统传递函数的标准形式及分类任务3二阶系统的时域分析系统的单位阶跃响应为h(t)=1+e-tT1T2T1-1+e-tT2T1T2-1t≥0过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。由式可知，令T1/T2取不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间ts/T1s2+2ξωns+ω2n=（s+1/T1）（s+1/T2）可解出ξ=1+（T1/T2）2T1/T2。阶段2过阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析

【例】某系统闭环传递函数Φ(s)=16s2+10s+16，计算系统的动态性能指标。

过阻尼二阶系统的调节时间特性阶段2过阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析

【例】某系统闭环传递函数Φ(s)=16s2+10s+16，计算系统的动态性能指标。解:Φ(s)=16s2+10s+16=16(s+2)(s+8)=ω2n(s+1/T1)（s+1/T2）T1=12=0.5T2=18=0.125T1/T2=0.5/0.125=4ξ=1+(T1/T2)2T1/T2=1.25＞1查图可得，tsT1=3.3，计算得ts=3.3T1=3.3×0.5=1.65s阶段2过阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析

1．欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法欠阻尼二阶系统的极点可以用如图所示的两种形式表示。

（1）直角坐标表示λ1,2=σ±jωd=-ξωn±j1-ξ2ωn（2）“极”坐标表示｜λ｜=ωn

cosβ=ξ∠λ=β

sinβ=1-ξ2阶段3欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析

2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应系统的单位脉冲响应为k(t)=h′(t)=L-1［Φ(s)］=L-11-ξ2ωn（s+ξωn）2+(1-ξ2)ω2n•ωn1-ξ2=ωn1-ξ2e-ξωntsin1-ξ2ωnt

阶段3欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析

2．欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图示。

阶段3欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析

3．欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算（1）峰值时间tp：根据峰值时间的定义，可得tp=π1-ξ2ωn（2）超调量σ%：h(tp)=1+e-ξπ/1-ξ2σ％=h(tp)-h(∞)h(∞)×100％=e-ξπ/1-ξ2×100％可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量σ％只与阻尼比ξ有关。（3）调节时间ts：ts=-ln0.05+12ln(1-ξ2)ξωn≈3.5ξωn（0.3＜ξ＜0.8）阶段3欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析【例34】控制系统结构图如图所示。（1）当开环增益K=10时，求系统的动态性能指标。（2）确定使系统阻尼比ξ=0.707的K值。阶段3欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析解:（1）当K=10时，系统的闭环传递函数为Φ(s)=G(s)1+G(s)=100s2+10s+100ωn=100=10,ξ=102×10=0.5tp=π1-ξ2ωn=π1-0.52×10=0.363σ%=e-ξπ/1-ξ2=e-0.5π/1-0.52=16.3%ts=3.5ξωn=3.50.5×10=0.7

(2)由Φ(s)=10Ks2+10s+10K得ωn=10Kξ=10210K令ξ=0.707，得K=100×24×10=5阶段3欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算任务3二阶系统的时域分析高阶系统的传递函数一般可以表示为Φ(s)=M(s)D(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0式中，K=bm/an，由于M(s),D(s)均为实系数多项式，故闭环零点zi、极点λj只能是实根或共轭复数。设系统的闭环极点均为单极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换可表示为C（s）=Φ（s）•1s=K∏mi=1（s-zi）s∏nj=1(s-λj)=M(0)D(0)•1s+∑nj=1M（s）sD′(s)s=λj•1s-λj阶段4高阶系统的单位阶跃响应任务3二阶系统的时域分析可见，除了常数项M(0)/D(0)外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组合，组合系数即部分分式系数。模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。当所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极点均位于左半s平面时，随时间的增加所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶跃响应最终稳定在M(0)/D(0)。很明显，闭环极点负实部的绝对值越大，相应模态趋于零的速度越快。在系统存在重根的情况下，以上结论仍然成立。阶段4高阶系统的单位阶跃响应任务3二阶系统的时域分析对上述分析总结如下。（1）高阶系统的时域响应是由惯性环节和二阶振荡环节的响应函数所组成。其中，稳态分量由输入控制信号所引起，瞬态分量的形式取决于传递函数的极点。（2）极点的实部绝对值越大，在s左半平面上离虚轴越远，则相应的瞬态分量衰减越快；反之，在s左半平面上离虚轴很近的极点，其对应的瞬态分量衰减就很慢，它在总的瞬态分量中占据主导地位。阶段4高阶系统的单位阶跃响应任务3二阶系统的时域分析对上述分析总结如下。（3）如果系统中有一个极点或一对共轭复数极点离虚轴最近，且其附近没有零点，其他极点离虚轴的距离比这一个或这一对极点离虚轴的距离大5倍以上，则称这一个或这一对极点为主导极点。因为主导极点所决定的瞬态分量不仅持续时间长，而且初始幅值也大，故可将系统的响应近似地看作由主导极点所产生。（4）一个实际的高阶系统，其结构参数是确定的，不一定存在主导极点。但往往可以通过加入校正装置，改变其结构参数，使整个系统具有一对合适的共轭复数极点，因为此时系统的动态性能比较理想。阶段4高阶系统的单位阶跃响应任务3二阶系统的时域分析如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。线性系统的稳定性是其自身的属性，只取决于系统自身的结构、参数，与初始条件及外作用无关。系统的输出响应为c（t）=A0+A1es1t+…+Aiesit+…+Anesnt阶段1明确系统稳定的概念及充要条件任务4控制系统的稳定性分析式中，第一项为由输入引起的输出稳态分量，其余各项为系统输出的瞬态分量。显然，一个稳定的系统，其输出瞬态分量应均为零。由上式可知，要做到这一点，必须满足limesit→0。所以，系统稳定的充分必要条件是：系统所有特征根的实部小于零，即其特征方程的根都在s左半平面。阶段1明确系统稳定的概念及充要条件任务4控制系统的稳定性分析

1877年，劳斯提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。当把这个判据用于判断系统的稳定性时，又称为代数稳定判据。设系统的特征方程为D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0an＞0阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

1．系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件是ai＞0(i=0,1,2，…，n)满足必要条件的一、二阶系统一定稳定，满足必要条件的高阶系统未必稳定，因此高阶系统的稳定性还需要用劳斯判据来判断。阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

2．劳斯判据劳斯判据指出：系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列系数都大于零，否则系统不稳定，而且第一列系数符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数。阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

【例】设系统的特征方程为D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0，试判定系统的稳定性。解:列劳斯表劳斯表的第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个根在s右半平面，系统不稳定。阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

3．劳斯判据特殊情况的处理

(1)某行第一列元素为零，而该行元素不全为零。用一个很小的正数代替第一列的零元素参与计算，表格计算完成后再令ε→0。

(2)某行元素全部为零时。利用上一行元素构成辅助方程，对辅助方程求导得到新的方程，用新方程的系数代替该行的零元素继续计算。当特征多项式包含形如(s+σ)(s-σ)或(s+jω)(s-jω)的因子时，劳斯表会出现全零行，而此时辅助方程的根就是特征方程根的一部分。阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

【例】已知系统的特征方程D(s)=s3-3s+2=0，判定系统s右半平面中的极点个数。解:D(s)的系数不满足稳定的必要条件，系统必然不稳定。列劳斯表

劳斯表第一列系数符号改变了两次，所以系统有两个根在s右半平面。阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

4．劳斯判据的应用劳斯判据除了可以用来判定系统的稳定性外，还可以确定使系统稳定的参数范围。阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

【例】某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统是否可以稳定。若可以稳定，请确定相应的开环增益范围；若不可以，请说明理由。解:由开环零、极点分布图可写出系统的开环传递函数G（s）=K（s-1）（s/3-1）2=9K（s-1）（s-3）2

阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析

【例】某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统是否可以稳定。若可以稳定，请确定相应的开环增益范围；若不可以，请说明理由。解:闭环系统的特征方程为D(s)=(s-3)2+9K(s-1)=s2+(9K-6)s+9(1-K)=0对于二阶系统，特征方程的系数全部大于零就可以保证系统稳定。由9K-6＞0，1-K＞0，可确定使系统稳定的K值范围为23＜K＜1。由例题可以看出，闭环系统的稳定性与系统开环是否稳定之间没有直接关系。

阶段2劳斯稳定判据任务4控制系统的稳定性分析控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量，是系统的稳态性能指标。控制系统结构图一般可用图（a）的形式表示，经过等效变换可以化成图（b）的形式。

(1)按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差E（s）=R(s)-H(s)C(s)

(2)按输出端定义的误差E′(s)=R(s)H(s)-C(s)阶段1误差与稳态误差任务5控制系统的稳态误差分析按输入端定义的误差E(s)通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差E′(s)是“期望输出”R′(s)与实际输出C(s)之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。两种误差定义之间存在如下关系：E′(s)=E(s)/H(s)阶段1误差与稳态误差任务5控制系统的稳态误差分析

(1)按输入端定义的误差，即把偏差定义为误差E（s）=R(s)-H(s)C(s)

(2)按输出端定义的误差E′(s)=R(s)H(s)-C(s)按输入端定义的误差E(s)通常是可测量的，有一定的物理意义，但其误差的理论含义不十分明显；按输出端定义的误差E′(s)是“期望输出”R′(s)与实际输出C(s)之差，比较接近误差的理论意义，但它通常不可测量，只有数学意义。两种误差定义之间存在如下关系：E′(s)=E(s)/H(s)阶段1误差与稳态误差任务5控制系统的稳态误差分析计算稳态误差一般方法的实质是利用终值定理，它适用于各种情况下的稳态误差计算，既可以用于求输入作用下的稳态误差，又可以用于求干扰作用下的稳态误差。具体计算分三步进行。

(1)判定系统的稳定性。稳定是系统正常工作的前提条件，当系统不稳定时，求稳态误差没有意义。另外，计算稳态误差要用终值定理，终值定理应用的条件是除原点外，sE(s)在s右半平面及虚轴上解析。当系统不稳定，或R(s)的极点位于虚轴上以及虚轴右边时，该条件不满足。阶段2稳态误差的一般计算方法任务5控制系统的稳态误差分析

(2)求误差传递函数。Φe(s)=E(s)R(s),Φen（s）=E（s）N（s）

(3)用终值定理求稳态误差。ess=lims→0s［Φe(s)R(s)+Φen(s)N(s)］阶段2稳态误差的一般计算方法任务5控制系统的稳态误差分析

【例】控制系统结构图如图314所示。已知r(t)=n(t)=t，求系统的稳态误差。解:控制输入r(t)作用下的误差传递函数Φe(s)=E(s)R(s)=11+Ks(Ts+1)=s(Ts+1)s(Ts+1)+K系统的特征方程D(s)=Ts2+s+K=0阶段2稳态误差的一般计算方法任务5控制系统的稳态误差分析设T＞0，K＞0，保证系统稳定。则控制输入下的稳态误差为essr=lims→0sΦe(s)R(s)=lims→0s•s(Ts+1)s(Ts+1)+K•1s2=1K干扰n(t)作用下的误差传递函数为Φen(s)=E(s)N(s)=-KnTns+11+Ks(Ts+1)=-Kns(Ts+1)(Tns+1)［s(Ts+1)+K］干扰n(t)作用下的稳态误差为essn=lims→0sΦen(s)N(s)=lims→0s•-Kns(Ts+1)(Tns+1)［s(Ts+1)+K］•1s2=-KnK由叠加原理ess=sssr+essn=1-KnK阶段2稳态误差的一般计算方法任务5控制系统的稳态误差分析由案例可以得出以下结论：系统的稳态误差与系统自身的结构参数、外作用的类型（控制量、扰动量及其作用点）以及外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度）有关。阶段2稳态误差的一般计算方法任务5控制系统的稳态误差分析在系统分析中经常遇到计算控制输入作用下稳态误差的问题。分析研究典型输入作用下引起的稳态误差与系统结构参数及输入形式的关系，找出其中的规律性，是十分必要的。控制输入r(t)作用下的误差传递函数为Φe(s)=E(s)R(s)=11+G(s)H(s)=11+KsvG0(s)阶段3静态误差系数法任务5控制系统的稳态误差分析

(1)位置输入时，r(t)=A•1(t)essp=A1+Kp

(2)速度输入时，r(t)=A•tKv=lims→0sG(s)H(s)=lims→0Ksv-1

(3)加速度输入时，r(t)=A2t2essa=Aka阶段3静态误差系数法任务5控制系统的稳态误差分析综合以上讨论可以列出下表。

应用静态误差系数法要注意其适用条件：系统必须稳定；误差是按输入端定义的；只能用于计算典型输入时的终值误差，并且输入信号不能有其他的前馈通道。阶段3静态误差系数法任务5控制系统的稳态误差分析【例】系统结构图如图所示。已知输入r(t)=2t+4t2，求系统的稳态误差。解:系统的开环传递函数为G(s)=K1(Ts+1)s2(s+a)又因开环增益K=K1a，系统类别v=2，则系统的闭环传递函数为Φ(s)=K1s2(s+a)+K1(Ts+1)由特征方程D(s)=s3+as2+K1Ts+K1=0，列劳斯表判定系统的稳定性。阶段3静态误差系数法任务5控制系统的稳态误差分析

解：设参数满足稳定性要求，利用表计算系统的稳态误差。当r1(t)=2t时，ess1=0当r2(t)=4t2=8×12t2时，ess2=AK=8aK1故得ess=ess1+ess2=8aK1阶段3静态误差系数法任务5控制系统的稳态误差分析现在用一个RC电路来说明什么是频率特性，如图所示。设电路的输入、输出电压分别为ur(t)和uc(t)，电路的传递函数为G(s)=Uc(s)Ur(s)=1Ts+1

可对频率特性定义如下：线性定常系统(或元件)的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号的复数比。阶段1频率特性的定义任务1频域特性的基本概念和图示法用G(jω)表示，则有G(jω)=A(ω)ejφ（ω）=A(ω)∠φ(ω)频率特性描述了在不同频率下系统(或元件)传递正弦信号的能力。阶段1频率特性的定义任务1频域特性的基本概念和图示法设系统的输入信号、输出信号分别为x(t)和y(t)，其拉氏变换分别为X(s)和Y(s)，则系统的传递函数可以表示为G(s)=Y(s)X(s)=M(s)(s+p1)(s+p2)…(s+pn)则有ys（t）=A(ω)Xej［ωt+φ(ω)］-ej［ωt+φ(ω)］2j=A(a)Xsin［ωt+φ(ω)］=Ysin［ωt+φ(ω)］阶段2频率特性和传递函数的关系任务1频域特性的基本概念和图示法根据频率特性的定义，由上式可直接写出线性系统的幅频特性和相频特性，即YX=A(ω)=｜G（jω）｜ωt+φ(ω)-ωt=φ(ω)=∠G(jω)则频率特性和传递函数的关系为G(jω)=G(s)s=jω即传递函数的复变量s用jω代替后，就相应变为频率特性。频率特性和前几章介绍过的微分方程、传递函数一样，都能表征系统的运动规律。所以，频率特性也是描述线性控制系统的数学模型的形式之一。阶段2频率特性和传递函数的关系任务1频域特性的基本概念和图示法当用频率法分析、设计控制系统时，常常不是从频率特性的函数表达式出发，而是将频率特性绘制成一些曲线，借助于这些曲线对系统进行图解分析。因此必须熟悉频率特性的各种图形表示方法和图解运算过程。阶段3频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法（1）频率特性曲线频率特性曲线包括幅频特性曲线和相频特性曲线两种。阶段3频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法（2）幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线，在复平面上以极坐标的形式表示。阶段3频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法（3）对数频率特性曲线对数频率特性曲线又叫伯德(Bode)曲线。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成，是频率法中应用最广泛的一组图线。阶段3频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法采用对数坐标图的优点较多，主要表现在以下几个方面。①由于横坐标采用对数刻度，从而相对展宽了低频段(低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义)，相对压缩了高频段，进而可以在较宽的频段范围中研究系统的频率特性。②由于对数可将乘除运算变成加减运算，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，从而简化了画图的过程。阶段3频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法③在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有相当的精确度。若对分段直线进行修正，则可得到精确的特性曲线。④若将实验所得的频率特性数据整理后并用分段直线画出对数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。阶段3频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法（4）对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线又称尼柯尔斯(Nichols)曲线。绘有这一特性曲线的图形称为对数幅相图或尼柯尔斯图。对数幅相特性曲线是由对数幅频特性和对数相频特性合并而成的曲线。对数幅相图的横轴为相角φ（ω），纵轴为对数幅频值L（ω）=20lgA(ω)，单位是dB。横坐标和纵坐标均是线性刻度。阶段1频率特性的图形表示方法任务1频域特性的基本概念和图示法在典型环节或开环系统的传递函数中，令s=jω，即可得到相应的频率特性。

1.比例环节比例环节的传递函数和频率特性分别为G(s)=KG（jω）=K+j0=Kej0A(ω)=｜G(jω)｜=Kφ（ω）=∠G（jω）=0°阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性比例环节的幅相特性是G平面实轴上的一个点，如图所示。表明比例环节稳态正弦响应的振幅是输入信号的K倍，且响应与输入同相位。显然，它与频率无关，其对数幅频特性和对数相频特性分别为L(ω)=20lgKφ(ω)=0°阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

2.微分环节 微分环节的传递函数和频率特性分别为G(s)=s，G(jω)=0+jω=ωej90°A(ω)=ω，φ(ω)=90°微分环节的幅值与ω成正比，相角恒为90°。当ω=0→∞时，幅相特性从G平面的原点起始，一直沿虚轴趋于+j∞处，如图中曲线所示。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

3.积分环节积分环节的传递函数和频率特性分别为G（s）=1s，G（jω）=0+1jω=1ωe-j90°A（ω）=1ω，φ(ω)=-90°积分环节的幅值与ω成反比，相角恒为-90°。当ω=0→∞时，幅相特性从虚轴-j∞处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图中曲线所示。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

3.积分环节积分环节的对数幅频曲线在ω=1处通过0dB线，斜率为-20dB/dec；对数相频特性为-90°直线。特性曲线如图所示。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

4.惯性环节惯性环节的传递函数和频率特性分别为G（s）=1Ts+1G（jω）=11+jTω=11+T2ω2e-jarctanTωA(ω)=11+T2ω2φ（ω）=-arctanTω当ω=0时，幅值A(ω)=1，相角φ(ω)=0°；当ω=∞时，A(ω)=0，φ(ω)=90°。可以证明，惯性环节的幅相特性曲线是一个以点(1／2，j0)为圆心、1／2为半径的半圆。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

4.惯性环节惯性环节的极点分布和幅相特性曲线如图所示。惯性环节（1+jωT）-1的对数幅频与对数相频特性表达式为L(ω)=-20lg1+ωω12φ(ω)=-arctanωω1阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

5.一阶复合微分环节一阶复合微分环节的传递函数和频率特性分别为G(s)=Ts+1G(jω)=1+jTω=1+T2ω2ejarctanTωA(ω)=1+T2ω2φ（ω）=arctanTω一阶复合微分环节的幅相特性的实部为常数1，虚部与ω成正比，如图中曲线①所示。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

5.一阶复合微分环节不稳定一阶复合微分环节的传递函数和频率特性分别为G(s)=Ts-1G(jω)=-1+jTωA(ω)=1+T2ω2φ(ω)=180°-arctanTω幅相特性的实部为-1，虚部与ω成正比，如图中曲线②所示。不稳定环节的频率特性都是非最小相角的。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

5.一阶复合微分环节一阶复合微分环节的对数幅频与对数相频特性表达式为L(ω)=20lg1+ωω12φ(ω)=arctanωω1阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

6.二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数为G（s）=1T2s2+2Tξs+1=ω2ns2+2ξωn+ω2n0＜ξ＜1下图给出了当ξ取不同值时L（ω）的准确曲线和渐近线阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

7.二阶复合微分环节二阶复合微分环节的传递函数和频率特性分别为G(s)=T2s+2ξTs+1=s2ω2n+2ξsωn+1G（jω）=1-ω2ω2n2+j2ξωωnA(ω)=1-ω2ω2n2+4ξ2ω2ω2nφ（ω）=arctan2ξωωn1-ω2ω2n二阶复合微分环节的零点分布和幅相特性曲线如图所示。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

7.二阶复合微分环节不稳定二阶复合微分环节的频率特性为G(jω)=1-ω2ω2n-j2ξωωnA（ω）=1-ω2ω2n2+4ξ2ω2ω2nφ(ω)=360°-arctan2ξωωn1-ω2ω2n不稳定二阶复合微分环节的零点分布和幅相特性曲线如图所示阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

7.二阶复合微分环节不稳定二阶复合微分环节的频率特性为G(jω)=1-ω2ω2n-j2ξωωnA（ω）=1-ω2ω2n2+4ξ2ω2ω2nφ(ω)=360°-arctan2ξωωn1-ω2ω2n不稳定二阶复合微分环节的零点分布和幅相特性曲线如图所示阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

7.二阶复合微分环节二阶复合微分环节的频率特性、对数幅频特性和对数相频特性分别为G（jω）=1-(ωωn)2+j2ξ(ωωn)L(ω)=20lg1-(ωωn)22+（2ξωωn）2φ（ω）=arctan2ξω/ωn1-（ω/ωn）2式中，ωn=1T，0＜ξ＜1。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

8.延迟环节延迟环节的传递函数和频率特性分别为G(s)=e-τsG(jω)=e-jτωA(ω)=1φ(ω)=-τω阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性

8.延迟环节如图所示，其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆，ω值越大，其相角迟后量越大。延迟环节的Bode图如图所示。阶段1典型环节的幅相、对数特性曲线任务2典型环节与系统的频域特性当系统的开环传递函数中在s右半平面没有极点或零点，且不包含延时环节时，称该系统为最小相角系统，否则称为非最小相