相似三角形模型压轴题综合训练（二）（解析版）（北师大版）

相似三角形模型压轴题综合训练（二）一、填空题1．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿AE折叠至△AHE，连接BH，延长AE，BH交于点F；BF，CD交于点G，则FG=．【答案】【分析】过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，通过证明△AMH∽△HNE，可得，进而得出MH＝2EN，HN＝，可求NE的长，即可求BM，MH，HN的长，由平行线分线段成比例可得HG，GN，EG的长，再次利用平行线分线段成比例可得FG的长．【详解】解：过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∴∠BAD＝∠BMN＝90°，∠D＝∠MNC＝90°，∴四边形ADNM是矩形，∴AM＝DN，MN＝AD＝2，∵将△ADE沿AE折叠至△AHE，∴AH＝AD＝2，∠AHE＝90°，HE＝DE＝1，∴∠AHM＋∠EHN＝90°，且∠MAH＋∠AHM＝90°，∴∠MAH＝∠EHN，且∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△AMH∽△HNE，∴，∴，∴MH＝2NE，HN＝，∵MH＋HN＝MN＝2，∴2NE＋＝2，∴NE＝，∴MH＝，HN＝，AM＝，∴BM＝，∴BH＝，∵AB∥CD，∴，∴NG＝，HG＝，∴BG＝，EG＝，∵AB∥CD，∴，即∴FG＝，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，添加恰当的辅助线是本题的关键．2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为；第4个正方形的面积为．【答案】5【分析】由点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．即可求得OA与OD的长，然后由勾股定理即可求得AD的长，继而求得第1个正方形ABCD的面积；先证得△DOA∽△ABA1，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得A1B的长，即可求得A1C的长，即可得第2个正方形A1B1C1C的面积；以此类推，可得第3个、第4个正方形的面积．【详解】∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．∴OA=1，OD=2，在Rt△AOD中，AD==，∴正方形ABCD的面积为：；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，∴∠ADO=∠BAA1，∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1，∴=，即=，解得：A1B=，∴A1C=A1B+BC=，∴正方形A1B1C1C的面积为：；∵第1个正方形ABCD的面积为：5；第2个正方形A1B1C1C的面积为：=×5；同理可得：第3个正方形A2B2C2C1的面积为：××5=；∴第4个正方形A3B3C3C2的面积为：．故答案为：5，【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．3．如图，已知中，，D是线段AC上一点（不与A,C重合）,连接BD，将沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若是直角三角形，则AF的长为.【答案】或【分析】分别讨论∠E=90°，∠EBF=90°两种情况：①当∠E=90°时，由折叠性质和等腰三角形的性质可推出△BDC为等腰直角三角形，再求出∠ABD=∠ABE=22.5°，进而得到∠F=45°，推出△ADF为等腰直角三角形即可求出斜边AF的长度；②当∠EBF=90°时，先证△ABD∽△ACB，利用对应边成比例求出AD和CD的长，再证△ADF∽△CDB，利用对应边成比例求出AF.【详解】①当∠E=90°时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90°，如图所示，在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45°∴∠ABC=∠BAC==67.5°∵∠BDC=90°，∠C=45°∴△BCD为等腰直角三角形，∴CD=BC=，∠DBC=45°∴∠EBA=∠DBA=∠ABC-∠DBC=67.5°-45°=22.5°∴∠EBF=45°∴∠F=90°-45°=45°∴△ADF为等腰直角三角形∴AF=②当∠EBF=90°时，如图所示，由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45°，∵∠BAD=∠CAB∴△ABD∽△ACB∴由情况①中的AD=，BD=，可得AB=∴AD=∴CD=∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.8°∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5°∴∠F=22.5°=∠DBC∴EF∥BC∴△ADF∽△CDB∴∴∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45°+67.5°-∠ABD=112.5°-∠ABD，∠EBF=2∠ABD∴∠E+∠EBF=112.5°+∠ABD＞90°∴∠F不可能为直角综上所述，AF的长为或.故答案为：或.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应角相等，分类讨论利用相似三角形的性质求边长是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，，过点B作直线BC∥x轴，点P是直线BC上的一个动点以AP为边在AP右侧作，使，且，连结AB、BQ，则周长的最小值为.【答案】【分析】先证明△AOB∽△APQ，得到，由△OAP∼△BAQ，得到BQ=2OP，进而得到．作O关于直线的对称点O’，连接，PO'，则OP=O'P，AO'=，根据两边之和大于第三边即可得到，从而得到答案．【详解】如图所示．连接OP．在中，．又在中，又∵，∠OAB=∠PAQ，．∵OA=1．OB=，∴AB=，又P为直线上的动点．∴作O关于直线的对称点O’，，连接，PO'．∴OP=O'P，AO'=，∴AP+OP=AP+PO'即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是把△ABQ周长的最小值转化为求AP+OP的最小值．5．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为．【答案】或或3【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．【详解】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，∴∠ADC＝∠MDG，∴∠ADM＝∠CDG，∴△ADM≌△CDG（SAS），∴∠DAM＝∠DCG＝135°，∵∠CAB＝45°，∴∠CAM＝90°，∴MH＝GH＝＝＝5k，∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，∴△DGH∽△AGD，∴＝，∴DG2＝GH•GA＝40k2，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝12，∴AD＝CD＝6，∵DJ⊥AC，∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，∴GJ＝8K﹣3，在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝或（舍弃），∴AH＝3k＝．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，解得k＝（舍弃）或，∴AH＝3k＝．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，解得k＝或﹣3（舍弃），∴AH＝3k＝3，综上所述，满足条件的AH的值为或或3．故答案为或或3．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．6．如图，为等腰三角形且，延长、交于点，过作于点，交于点，若，，，则边．【答案】．【分析】由AA定理证明△ADF∽△GAF，然后根据相似三角形的性质求得，设DF=4x，则FG=，AF=3x，AG=，然后利用勾股定理列方程求x的值，从而得解．【详解】解：∵∴∵，∴△ADF∽△GAF∴∴在Rt△ADF中，设DF=4x，则AF=3x，AD=AC=5xFG=，AG=∴在Rt△AFG中，解得：（此时不合题意，舍去）∴，AG=过点G作GM∥BC因为AB=AC=5∴AM=AG=∴FM=在Rt△GFM中，∴，，解得故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理解直角三角形，正确推理论证列出方程是本题的解题关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、的坐标分别为，，．若点从点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点移动，连接并延长到点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点在移动的过程中，使成为直角三角形，则点的坐标是．【答案】（5，2），（−1）【分析】当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF＜∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=；②B为直角顶点，得到△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．【详解】解：能；①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，则BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP2=t2-2t+5，那么PF2=（2CP）2=4（t2-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t2-2t+5=6-t，即t=，P点坐标为（，0），则F点坐标为：（−1）；②B为直角顶点，得到△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2，P点坐标为（1，0）．FD=2（t-1）=2，则F点坐标为（5，2）．故答案是：（5，2），（−1）．【点睛】此题考查直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质，解题关键在于求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．8．如图，在正方形中，，点是的中点，连接，将沿折叠至，连接，延长，交于点；，交于点，则．【答案】【分析】过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，通过证明△AMH∽△HNE，可得，可得MH＝2EN，HN＝，可求EN的长，即可求BM，MH，HN的长，由平行线分线段成比例可得HG，GN，EG，GF的长．【详解】解：过点H作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∴∠BAD＝∠BMN＝90°，∠D＝∠MNC＝90°，∴四边形ADNM是矩形，∴AM＝DN，MN＝AD＝2，∵将△ADE沿AE折叠至△AHE，且E是DC的中点，∴AH＝AD＝2，∠AHE＝90°，HE＝DE＝1，∴∠AHM＋∠EHN＝90°，且∠MAH＋∠AHM＝90°，∴∠MAH＝∠EHN，且∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△AMH∽△HNE，∴，∴，∴MH＝2EN，HN＝，∵MH＋HN＝MN＝2，∴，解得：，∴MH=，HN=，AM=，∴BM=，∴BH=，∵AB∥CD，∴，∴，∴BG=，EG=，∵AB∥CD，∴，即，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．9．如图，和分别为的角平分线和高线，已知，且，，则的长为．

【答案】【分析】在上截取，使，则，设，，则，．在中，由勾股定理，得，即，得．证明，可得，即，即有．联立，解得，即可得，，．在中，．设点E到直线的距离为h，则，可得．根据是的角平分线，可得点E到直线的距离为．设，则．利用，可得，问题随之得解．【详解】如图，在上截取，使，则，

∴．∵，∴．设，，则，．在中，由勾股定理，得，即，化简，得．由是的高线，即有，有∵，∴，∴，即，∴．联立，解得，∴，∴，，∴．在中，．设点E到直线的距离为h，则，∴．∵是的角平分线，∴点E到直线的距离为．设，则．∵，∴，解得或（舍去），∴．【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的应用等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形的面积，是解答本题的关键．二、解答题10．在△ABC中，∠ABC＝90°，（1）如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM～△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于点M，＝，求的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠MAB＝∠NBC，根据两角对应相等的两个三角形相似证明结论；（2）过点P作PD⊥AM于D．证明△PDM∽△APM，根据相似三角形的性质得到，设DM＝2a，根据勾股定理求出PM，证明△CDP∽△CBA，根据相似三角形的性质解答即可；（3）根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设BG＝4m，AG＝4n，根据求出n＝2m，计算即可．【详解】（1）证明：∵AM⊥MN，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBN+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△ABM～△BCN；（2）解：过点P作PD⊥AM于D．∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC，∵PM⊥PA，PD⊥AM，∴△PDM∽△APM，∵设DM＝2a，则由勾股定理得，∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a则∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，∴△CDP∽△CBA，∴（3）解：过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴∵BC：AC＝3：5，∴BC：AB＝3：4，由（1）可知，△ABG∽△BCH，∴设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∵∴解得，n＝2m，AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，由勾股定理得BE＝2BG＝8m，∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．11．如图1，在平面直角坐标系中，点，点.（1）求直线的函数表达式；（2）点是线段上的一点，当时，求点的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，连结，求的面积，并直接写出点的坐标.【答案】（1）；（2）；（3），.【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）过点、分别做轴于点，轴于点，根据相似三角形的性质得出PM的长，即点P的纵坐标，代入直线解析式，从而求解；（3）过点作交的延长线于点，若求的面积，求出CH的长即可，根据旋转120°，得∠CAH=60°，解直角三角形AHC即可得出CH长，从而求解，【详解】解：(1)）∵A（2，0），，设直线AB的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线AB的解析式为．（2）如图1，过点、分别做轴于点，轴于点，即PM∥BN.∵，∴AP：AB=2:3，∴=∴将代入解析式可得，∴（3）①如图2，过点作交的延长线于点.∵中，由勾股定理得：AP=，在中，，∴∴；②过点H作FE∥x轴，过点C作CE⊥FE于点E，交x轴于点G，过点A作AF⊥FE于点F，Rt△ACH中，AH=，∵PM∥AF，AM∥HF，根据直角相等、两直线平行，同位角相等易证△APM∽△HAF，AP=2，AM=4，PM=2，∴，即，解得：AF=，HF=3，∵∠AHF+∠CHE=∠AHF+∠FAH=90°，∴∠CHE=∠FAH，∵∠HEC=∠AFH=90°，∴△HEC∽△AFH，方法同上得：CE=3，HE=，由四边形AFEG是矩形，得AF=GE=，AG=FH+HE，∴OG=OA+FH+HE=2+3+=5+，CG=CE-EG=3-，即点.【点睛】本题考查一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、待定系数法等，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，难度稍大．12．如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG；（3）若正方形ABCD的的边长为2，G为BC的中点，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF＝．【分析】（1）根据正方形的性质有AD=CD，根据等腰直角三角形的性质有DE=DF，已知两边尝试找其夹角对应相等，根据等角的余角相等可得，∠ADE=∠CDF，据此可证;（2）此题有多种方法可解，可以延长BA交DE与M，结合第（1）问全等三角形的结论用等角做差求得∠BAG=∠FCG，再加上一对对顶角相等即可证明;（3）根据第（2）问相似三角形的结论，易得，在Rt△CFG中得到了两直角边CF与FG的倍数关系，再运用勾股定理即可解出CF与FG的长度，又AE=CF，即可解答.【详解】证明：（1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，,∠=∠,;∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG．（3）∵正方形ABCD的的边长为2，G为BC的中点，∴BG＝CG＝1，AG＝，∵△ABG∽△CFG，∴，CF＝2FG，∵CF2+FG2＝CG2，（2FG）2+FG2＝12，∴GF＝，CF＝，∵△DAE≌△DCF，∴AE＝CF，∴EF＝EA+AG+GF＝CF+AG+GF＝++＝．【点睛】本题综合考查了正方形与等腰直角三角形的性质，全等三角形与相似三角形的判定，勾股定理的应用等知识，熟练掌握各个知识点，并以正确的思维灵活运用是解答关键.13．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D在BC边上（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝n（0＜n＜2），求线段AE的长；（用含n的代数式表示）（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．【答案】（1）见解析；（2）AE＝n2﹣n+2（0＜x＜2）；（3）AE＝4﹣2或【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD＝DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣x；②当AE＝ED时，如图3，则ED＝EC，即y＝（2﹣y）；③当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【详解】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°，∴∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠ABD+∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB＝90°，∵AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝1，∴BF＝，∴BC＝2BF＝2则DC＝2﹣n，EC＝2﹣AE，∵△ABD∽△DCE，解得：AE＝n2﹣n+2（0＜x＜2）；（3）当AD＝DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD≌△DCE，则AB＝CD，即2＝2﹣n，n＝2﹣2，代入AE＝n2﹣n+2解得：AE＝当AE＝ED时，如图3，∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，则ED＝EC，即AE＝（2﹣AE），解得：AE＝，当AD＝AE时，∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE＝4﹣2或．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的判定定理和对△ADE是等腰三角形进行分情况讨论是解题的关键.14．如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是_____；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，请探究线段与线段之间存在怎样的数量关系？（用含、的代数式表示）【答案】（1）EF=EG（2）见解析（3）【分析】（1）因为四边形ABCD是正方形，可得∠BED＝∠DEF＋∠BEF＝90°，根据题意可得，∠GEF＝∠GEB＋∠BEF＝90°，继而可证∴∠GEB＝∠DEF，然后利用ASA判定Rt△EGB≌Rt△EFD，最后根据全等三角形对应边相等即可求解．（2）过点E分别作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形,可得∠FEI+∠HEF=∠GEH+∠HEF=90°，即∠FEI=∠GEH，根据正方形的性质，得出CE平分∠BCD,可证得EI=EH，利用ASA可判定△FEI≌△GEH，继而得出结论．（3）过点E分别作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分别为M,N，同（2）可知，∠FEN=∠GEM由长方形性质得：∠D=∠ENC=90°,进而可得EN∥AD,EM∥AB，由相似三角形的判定可得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB，再由相似三角形对应边成比例，等量代换可得，继而得，根据相似三角形的判定可得△FEN∽△GEM，继而求解．【详解】证明：（1）EF=EG∵四边形ABCD是正方形∴ED＝EB，∠D＝∠GBE∵∠GEF＝90°∴∠GEB＋∠BEF＝90°∵∠BED＝90°,∴∠DEF＋∠BEF＝90°∴∠GEB＝∠DEF在Rt△EGB和Rt△EFD中，∴Rt△EGB≌Rt△EFD（ASA）∴EF＝EG．（2）成立，证明如下：如图，过点E分别作EH⊥BC,EI⊥CD，垂足分别为H，I，则四边形EHCI是矩形∴∠HEI=90°∵∠GEF=90°∴∠FEI+∠HEF=90°,∠GEH+∠HEF=90°∴∠FEI=∠GEH由正方形对角线的性质得，AC为∠BCD的角平分线，则EI=EH在△FEI和△GEH中，∴△FEI≌△GEH（ASA）

∴EF=EG；（3）如图，过点E分别作EM⊥BC,EN⊥CD，垂足分别为M,N同（2）可知，∠FEN=∠GEM由长方形性质得：∠D=∠ENC=90°,∠ABC=∠EMC=90°,AD=BC=b.∴EN∥AD,EM∥AB.∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB∴,，∴,即∵∠FEN=∠GEM,∠FNE=∠GME=90°∴△FEN∽△GEM∴．【点睛】本题考查的知识点较多，主要考查矩形和正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法、相似三角形的判定方法．15．定义：