专题02直线的方程（原卷版）

专题02直线的方程目录新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络基础知识：知识点全面梳理，掌握必备学以致用：考点剖析，提升能力小试牛刀：过关检测，成果评定一．直线的点斜式方程已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为．这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式．当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或．当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或．直线的点斜式方程的推导如图，设点是直线l上不同于点的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得（1），即（2）．注意：方程（1）与方程（2）的差异：点的坐标不满足方程（1），但满足方程（2），因此，点不在方程（1）表示的图形上，而在方程（2）表示的图形上，方程（1）不能称为直线l的方程．上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程（2）的解．对上面的过程逆推，可以证明以方程（2）的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点，斜率为k的直线l的方程．二．直线的斜截式方程我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线．三．直线的两点式方程1．直线的两点式方程的定义已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式．2．直线的两点式方程的推导已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的．当时，所求直线的斜率．任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得，当时，可写为．四．直线的截距式方程1．直线的截距式方程的定义已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为．我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式．2．直线的截距式方程的推导已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中．将两点，的坐标代入两点式，得，即．五．中点坐标公式若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．六．直线的一般式方程在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．直线的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同时为0）都不为0）直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：（1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线．（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线．七.一般式方程中两直线平行与垂直的条件若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线的方程分别为，，则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下：（1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且．即，且或．（2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或．即．一．直线的点斜式方程（共2小题）【例1】（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为．【变式】（2022•浦东新区校级开学）过点（﹣1，﹣2）斜率为3的直线的点斜式方程是．直线的斜截式方程（共2小题）【例2】（2023春·上海市控江中学高一下期末）直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是____________.【变式】（2023春·上海市青浦区·二模）过点与直线垂直的直线方程为.三．直线的两点式方程（共2小题）【例3】（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，求边所在直线的方程四．直线的截距式方程（共2小题）【例4】（2022春•浦东新区校级期中）已知点A（1，0），B（0，1），则线段AB的方程是．【变式1】（2022秋•浦东新区校级月考）过点M（3，﹣4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为．【变式2】．（2022秋•闵行区校级月考）求过点p（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．五．一般式方程中两直线平行与垂直的条件（共2小题）【例5】.（2023春·上海市控江中学高一下期末）已知常数，直线：，：，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【变式1】．（2022秋•浦东新区校级月考）若直线l1：ax+y+2a＝0与直线l2：4x+ay+3a+2＝0互相平行，则实数a＝．【变式2】（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________.【例6】（2022秋•浦东新区校级月考）直线l1：px+3y+1＝0与直线l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，则p的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9【变式】（2022秋•静安区校级期中）过点（2，0）且与直线2x﹣4y﹣1＝0垂直的直线的方程是．六．直线方程的综合应用（共3小题）【例7】（2023春·浦东新区·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为【变式1】（2023春上海市·浦东新区·阶段练习）方程所表示的图形围成的区域的面积是.【变式2】（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．一、填空题1．（2022·上海松江·高二期末）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为_________.2.（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）若直线的一个法向量为，则过原点的直线的方程为______.3.（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）过点且与直线夹角为的直线一般式方程是________.4．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线，直线过点，若，则直线的方程是_________．5．（2020·上海市南洋模范中学高二阶段练习）已知直线过点，在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为______6．（2022·上海市行知中学高二期末）已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为________.7．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）若非零实数，满足，且直线，恒过一定点，则定点坐标为______．8．（2022·上海·闵行中学高二期中）已知直线，则直线恒过定点___________.9．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）过点且垂直于直线的直线方程为___．10．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．11．（2022·上海市行知中学高二阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为__________.12.（2023秋上海市·浦东新区·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为.二、单选题13.（2023·上海市静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．14．（2022·上海市行知中学高一期末）如果且，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．（2022·上海·高三专题练习）若直线不通过第二象限，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．16．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为(A． B．C． D．三．解答题17．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）已知直线过点，若直线在两坐标轴上截距相等，求直线的方程．18．（2022秋·上海普陀·高二曹杨二中校考期末）如图，、是海岸线、上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为2km、.测得，.以点为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、、均在一条航线上.(1)求码头点的坐标；(2)海中有一处景点（设点在平面内，，且），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标.19．（2022秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）已知直线.(1)若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程；(2)若直线与直线平行，且过点，求直线的方程.20．（2020·上海市行知