专题20 概率、随机变量与分布列（原卷版）

专题20概率、随机变量与分布列一、知识速览二、考点速览知识点1随机事件的概率与古典概型1、事件的相关概念2、频率与概率的关系（1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率．（2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作．（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率．3、事件的关系与运算（1）包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．（2）相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．（3）并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．（4）交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．（5）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥；如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥．（6）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为．4、概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．5、古典概型（1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．知识点2相互独立事件与条件概率、全概率1、相互独立事件（1）相互独立事件的概念对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．（2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．2、条件概率（1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．（2）条件概率的性质=1\*GB3①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即．=2\*GB3②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为．=3\*GB3③如果与互斥，则．3、全概率公式（1）全概率公式：；（2）若样本空间中的事件，，…，满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意事件，都有，且．4、贝叶斯公式（1）一般地，当且时，有（2）定理若样本空间中的事件满足：①任意两个事件均互斥，即，，；②；③，．则对中的任意概率非零的事件，都有，且知识点3随机变量的分布列、均值与方差1、随机变量的有关概念（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．2、离散型随机变量分布列（1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．（2）分布列的性质：（1），；（2）．3、离散型随机变量的均值与方差：（1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）均值的性质=1\*GB3①（为常数）．=2\*GB3②若，其中为常数，则也是随机变量，且．=3\*GB3③．=4\*GB3④如果相互独立，则．（3）方差：为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差．（4）方差的性质=1\*GB3①若，其中为常数，则也是随机变量，且．=2\*GB3②方差公式的变形：．知识点4两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．X01P1－pp2、二项分布（1）次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．（2）二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．（3）二项分布的期望、方差：若，则，．3、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．01……4、正态曲线与正态分布（1）正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．（2）正态曲线的性质=1\*GB3①曲线位于轴上方，与轴不相交；=2\*GB3②曲线是单峰的，它关于直线对称；=3\*GB3③曲线在处达到峰值（最大值）；=4\*GB3④曲线与轴之间的面积为1；=5\*GB3⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；=6\*GB3⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，（3）正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．（4）原则若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大特别地，有；；．由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．一、随机事件的频率与概率1、频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2、随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．【典例1】（2023·全国·高三对口高考）下列说法：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件次品；②做100次抛硬币的试验，有51次出现正面.因此出现正面的概率是0.51；③随机事件A的概率是频率的稳定值；④随机事件A的概率趋近于0，即趋近于0，则A是不可能事件；⑤抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有.【典例2】（2021上·四川成都·高三石室中学校考开学考试）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.4，0.4B．0.5，0.5C．0.4，0.5D．0.5，0.4二、判断互斥、对立事件的两种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．【典例1】（2023·四川宜宾·统考三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件【典例2】（2023·湖南·高三校联考二模）随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育．某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择‘5人制’课程”，则（）A．A与为对立事件B．A与互斥C．A与相互独立D．与相互独立三、复杂事件的概率的两种求法（1）直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算．（2）间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便．【典例1】（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（）

A．0.19738B．0.00018C．0.01092D．0.09828【典例2】（2023下·四川眉山·高三校考开学考试）一个盒子内装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么从盒中摸出1个球，摸出黑球或红球的概率是．【典例3】（2024上·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为.四、古典概型的概率用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下：①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型．②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数．③求值，代入公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数)求值．【典例1】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【典例2】（2023上·江苏徐州·高三统考期中）拋掷一枚质地均匀的骰子，将得到的点数记为，则能够构成钝角三角形的概率是（）A．B．C．D．【典例3】（2023上·上海·高三控江中学校考期中）某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件，现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为.五、求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【典例1】（2023上·重庆·高三重庆一中校考开学考试）某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为，则该同学通过测试的概率为（）A．B．C．D．【典例2】（2023上·江苏·高三期中）一个不透明的盒子中装有三个红球，一个白球.从盒子中取两次球，若每次取出1个或2个球的概率均为，则最终盒子里只剩下一个白球的概率为.六、求条件概率的两种方法（1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法．（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得.【典例1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于（）A．B．C．D．【典例2】（2023·浙江宁波·统考一模）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是.七、全概率公式与贝叶斯公式的使用1、全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．2、利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算，即；第二步：计算，可利用求解；第三步：代入求解．3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即．【典例1】（2023·河北秦皇岛·高三校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（）A．B．C．D．【典例2】（2023·吉林长春·高三统考一模）某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为．【典例3】（2023上·江苏常州·高三统考期中）居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是（）A．0.99B．0.9C．0.5D．0.1八、求离散型随机变量X的均值与方差的步骤（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值．（2）求X取每个值时的概率．（3）写出X的分布列．（4）由均值的定义求E(X)．（5）由方差的定义求D(X)．【典例1】（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则（）X01PabA．B．C．D．【典例2】（2022·全国·高三专题练习）设，则随机变量的分布列是01则当在内减小时，（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【典例3】（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）设离散型随机变量的期望和方差分别为和，且，则（）A．B．C．D．和大小不确定九、独立重复试验与二项分布1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【典例1】（2023·辽宁抚顺·高三校考模拟预测）（多选）为备战2023年我国杭州举行的亚运会，某国乒乓球队加紧训练进行备战.该国乒乓球队主教练在训练课上，安排甲、乙两名男单主力队员与陪练进行对抗性训练，训练方法如下：甲、乙两人每轮分别与陪练打两局，两人获胜局数和为3或4时，则认为这轮训练合格，若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，每局之间相互独立，且.记甲、乙在轮训练中合格轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数可能为（）A．24B．26C．27D．28【典例2】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）某活动现场设置了抽奖环节，在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“敬业”或“爱国”图案，抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“爱国”和“敬业”卡即可获奖；否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张“爱国”卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是“敬业”卡的概率是.”（1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．十、求超几何分布的分布列的步骤第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值；第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步：用表格的形式列出分布列。【典例1】（2023·陕西汉中·高三校联考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．（1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；【典例2】（2023上·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分．（1）已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差；（2）已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列．十一、关于正态总体在某个区间内取值的概率求法（1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【典例1】（2023上·广东揭阳·高三统考期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（）A．B．C．D．【典例2】（2023上·福建厦门·高三厦门一中校考期中）（多选）已知，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【典例3】（2023下·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）若随机变量，若，则．易错点1互斥事件与对立事件关系模糊点拨：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。【典例1】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红､黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球【典例2】（2024上·山西朔州·高三校联考开学考试）（多选）从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）A．“三个都为偶数”和“三个都为奇数”B．“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”C．“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”D．“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”【典例3】（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一本政治与都是数学