专题2-2 平移齐次化解决圆锥曲线中斜率和积问题与定点问题（解析版）

专题2-2圆锥曲线中斜率和积为定值问题与定点问题（平移齐次化）【例题】已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【平移+齐次化处理】Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理将椭圆向下平移一个单位，（为了将平移到原点）椭圆方程化为，（左加右减，上减下加为曲线平移）设直线对应的直线为，椭圆方程化简为，把一次项化成二次结构，将2y乘上即可此时椭圆方程变成：Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为－1，而P2点此时为原点，设平移后的，即,将椭圆方程两边同除以，令，得，结合两直线斜率之和为，即，得，，Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!直线恒过点，向上平移一个单位进行还原在原坐标系中，直线过点．【手电筒模型·1定+2动】直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)． 补充：若过定点，则定值，定值.【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移）Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!【补充】椭圆是椭圆上一点，A，B为随圆E上两个动点，与PB的斜率分别为k1，k2.(1)，证明AB斜率为定值≠0)；(2)，证明AB过定点：；(3)，证明AB的斜率为定值；(4)，证明AB过定点：.以上称为手电筒模型，注意点P不在椭圆上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²”2020·新高考1卷·22已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【详解】（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(2)［方法一］：通性通法设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，

所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．设，因为则，即．代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲线系A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．即．对比项、x项及y项系数得将①代入②③，消去并化简得，即．故直线的方程为，直线过定点．又，D在以为直径的圆上．中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．［方法四］：设．若直线的斜率不存在，则．因为，则，即．由，解得或（舍）．所以直线的方程为．若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．令，则．又，令，则．因为，所以，即或．当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线恒过．综上，直线恒过，所以．又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．取线段的中点为，则．所以存在定点Q，使得为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点，再根据平面几何知识可知定点即为的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O点平移至点A处，设直线的方程为，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出的关系，从而可知直线过定点，从而可知定点即为的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线，再利用过点的曲线系，根据比较对应项系数可求出的关系，从而求出直线过定点，故可知定点即为的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解以及的计算．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一已知定点求定值已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．【解析】直线由，得则由，得：，整理得：，即：．所以，则，即：如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．【解析】设直线则．由，得：．则，故．所以.即.已知点，为坐标原点，E，F是椭圆上的两个动点，满足直线AE与直线AF关于直线x＝1对称．证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值； 【答案】(提示：答案：)如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于､两点(在的上方)，设点､是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.解法1常规解法依题意知直线的斜率存在，设方程：，代入椭圆方程得：(*)，由得，整理得：或当时，直线过定点，不合题意，，直线的斜率是定值解法2齐次化：设直线的方程为椭圆的方程即：即：联立得：即由得即：直线的斜率为，是定值.椭圆，，经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．解法1常规解法：证明：由题意设直线PQ的方程为，代入椭圆方程，可得，由已知得在椭圆外，设，，，则，，且，解得或．则有直线AP，AQ的斜率之和为．即有直线AP与AQ斜率之和2．解法2齐次化：上移一个单位，椭圆和直线，过点，，，，，，，∵，同除，得，．已知椭圆：，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点，若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出定值.将椭圆沿着方向平移，平移后的椭圆方程为设直线方程为，代入椭圆方程得，两侧同时除以得，，因为过定点，所以题型二已知定值求定点（2017·全国卷理）已知椭圆，设直线l不经过点且与C相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为-1，证明：l过定点．（1）根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆C上，又的横坐标为1，∴椭圆必不过，∴，，三点在椭圆C上，把，代入椭圆C，得：，解得，，∴椭圆C的方程为．（2）：解法1常规解法:①当斜率不存在时，设，，，∵直线与直线的斜率的和为-1，∴，解得，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设，，，，联立，整理，得，，，则，又，∴，此时，存在k，使得成立，∴直线l的方程为，当时，，∴过定点．解法2齐次化：下移1个单位得，设平移后的直线：，齐次化：，，∵同除以，，，，，，∴过，上移1个单位．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．不平移齐次化【解析】设直线．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：则，则，代入直线，得：显然，直线过定点．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且kPM•kPN＝，证明：直线MN过定点. 答案：（2）（9，﹣2）已知椭圆，，若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为，求点P到直线l距离的最大值．解法1齐次化：公共点，左移1个单位，下移个单位，，，，，等式两边同时除以，，，，，过，右移1个单位，上移个单位，过，∴P到直线l的距离的最大值为的值为，由于，∴点P到直线l距离的最大值已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．①求证：为定值；②求证：直线过定点. 答案：（2）-2；（3）【小问1详解】由题意解得所以椭圆的标准方程为：；【小问2详解】①设MN的方程为，与联立得：，设，，则，【法二】平移