专题3-2 立体几何中的体积表面积范围与最值·不建系（原卷版）

专题3-2立体几何中的体积表面积范围与最值·不建系三元均值不等式：，应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值（1）；（2）2022新高考1卷第8题1．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．2022年全国乙卷·文12·理92．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一利用基本不等式求最值2024届·江苏省南京外国语学校阶段测（10月）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____．广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（

）A． B． C． D．已知长方体的外接球O的体积为，其中，则三棱锥的体积的最大值为（

）A．1 B．3 C．2 D．4将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（

）A． B． C． D．已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是以为斜边的直角三角形，则当面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．题型二由几何性质得出最值已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（

）A．4 B． C．5 D．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面ABC是边长为的正三角形，M为AC的中点，球O是三棱锥P－ABM的外接球．若D是球0上一点，则三棱锥D－PAC的体积的最大值是（

）A．2 B．C． D．已知圆锥，底面的面积为，母线与底面所成角的余弦值为，点在底面圆周上，当三棱锥的体积最大时，圆锥的外接球的球心到平面的距离为（

）

A．2 B． C． D．设A，B，C，D是同一个直径为8的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．题型三结合导数求最值（2023·深圳·高二期末）如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为.2023届·广东省汕头市三模将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（

）A． B． C． D．盐田高级中学2023届高三上学期11月月考已知正四棱锥的高为，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的最大值是（

）A． B．18 C． D．27已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（

）A． B． C． D．2023届·湖北省高中名校联盟（圆创）高三下学期第三次联合测试已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.云南三校2023届高三高考备考实用性联考卷（八）已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（

）A．2 B． C．4 D．2023届·南京师范大学附属中学5月模拟在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（

）A． B． C． D．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（

）A． B． C． D．直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是.设P､A､B､C､D是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为（

）A． B．18 C．20 D．某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积是（

）A． B． C． D．如图，某款酒杯的容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为（

）A． B． C． D．2023届·湖南师范大学附属中学第一次月考在中，，点分别在边上移动，且，沿将折起来得到棱锥，则该棱锥的体积的最大值是（

）A． B． C． D．已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（

）A．1 B． C． D．2云南省昆明市2023届“三诊一模”高三质量检测某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（

）A． B．8 C． D．9在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高A． B． C． D．河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（

）A． B．C． D．如图，四棱锥内接于圆柱，为的中点，和为圆柱的两条母