广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含答案）

—2024学年第二学期月考盐田高级中学高二数学试题卷考试时间：120分钟分数：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于（）A．9 B．3 C． D．2．抛物线过点，则焦点坐标为（）A． B． C． D．3．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有A．种 B．种 C．种 D．种4．曲线在处的切线方程为（）A． B． C． D．5．已知等比数列的首项为1，公比为3，则（）A． B． C． D．6．从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）A． B． C． D．7．已知某离散型随机变量的分布列如下：012若，，则（）A． B． C． D．8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．54二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中，正确的命题是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1B．，C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好．D．已知随机变服从正态分布，，则10．设椭圆：的左．右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A． B．的最大值为C．离心率 D．以线段为直径的圆与直线相切11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为______．（用数字作答）13．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为______．14．已知，，若，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．已知函数，当时，有极大值．（1）求实数，的值；（2）当时，证明：．16．等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17．已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子的值．18．时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：主播的学历层次直播带货评级合计优秀良好本科及以上6040100专科及以下3070100合计90110200（1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？（2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；（3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．附：， 0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．已知双曲线：（，）经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线．（1）求的标准方程；（2）设是上任意一点，直线：．证明：与双曲线相切于点；（3）设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上．2023-2024学年第二学期月考盐田高级中学高二数学试题参考答案一、单选题：1～5．DCDAD6～8．BCB二、多选题：9．AC10．ACD11．BCD三、填空题：12．17913．14．四、解答题：15．（1），；（2）证明见解析【详解】（1）函数的定义域为，且，因为时，有极大值，所以解得，，经检验，当，时，在时有极大值，所以，；（2）由（1）知，，当时，要证，即证，即证：．设，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，即，故当时，．16．（1）；（2）．【详解】（1）设数列的公比为，由得，所以．由条件可知，故．由得，所以．故数列的通项公式为．（2）．故．所以数列的前项和为17．（1）；（2）60；（3）．【详解】（1）二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，即，解得或（舍去）．（2）由（1）知，，，由，得，展开式中常数项．（3）令得．18．（1）有；（2）分布列见解析，；（3），在事件条件下发生有优势【详解】（1）由题意得．由于，所以可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联．（2）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量的可能取值为1，2，3，，，，所以的分布列为：123所以数学期望．（3），因为，所以认为在事件条件下发生有优势．19．（1）；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析【详解】（1）因为双曲线：（，）经过点，且直线是的一条渐近线，所以，解得，，所以的标准方程为；（2）首先设是上任意一点，所以有，这表明了点也在