【几何概率问题探讨7000字（论文）】

几何概率问题探讨摘要在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象，既有确定性现象，又有随机现象。随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法。概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力。日常生活中，经常会遇到一些无法事先预测结果的事情，它们称为随机事件。为了研究这种随机事件的规律性，数学中引进了概率。概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用词汇。探讨各类《概率与数理统计》教材中关于几何概率的定义和计算方法的基础上，通过几个实际问题的分析解答，归纳出求解几何摡率的若干技巧，并讨论了几何摡率在学习和实践中的应用价值关键词：几何概率；应用技巧；方法目录第一章引言 1第二章理论基础 12.1几何概率的产生 12.2几何概率的意义 2第三章几何概率的意义与概率计算的研究 33.1研究内容 33.2研究目标 43.3探讨过程 43.3.1几何概率的判断 43.3.1与长度有关的几何概率 53.3.3与面积有关的几何概率 73.3.4与体积有关的几何概率 73.3.5与角度有关的几何概率 83.4研究体会 93.4.1直接计算法 93.4.2引进变量法 10结论 11参考文献 13第一章引言数学，这门古老而常新的科学。己阔步迈进了21世纪。被誉为科学的皇后的她，以其抽象性、对称性和广泛的应用性享此美誉是当之无愧的。回顾过去的个世纪，数学科学的巨大发展，比以往任何时候都更牢固地确立了她作为整个科学技术的基础地位。数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透。并越来越直接地为人类物质生产与日常生活做出贡献。同时数学作为一种文化，已成为人类文明进步的标志。因此，对于当今社会的每气个有文化的人而言，不论他从事何种职业，都需要学习数学，了解数学和运用数学。现代社会对数学的这种需要，在未来的世纪中无疑将更加与日俱增。从另一角度来说，20世纪数学思想产生了巨大的变化，已将这门科学的核心部分引向高度抽象化的道路。然而其抽象性、各种深奥的数学理论和复杂的数学方法，也使众多崇拜者、爱好者、好奇者、门外汉望而生畏、或者望而却步、临阵退脱、敬而远之。几何学是一门古老而又保持着旺盛生命力的数学学科。追溯历史，它是分析、代数等许多数学分支产生和发展的基础和背景，又是数学联系实际应用的重要桥梁。它体现了形与数的结合，演绎法与解析法的结合。它的直观性、实验性的特点启示了许多新思想、新原理的诞生山。本课题的研究，需要同时采用有关常规研究方法：文献研究法。进一步学习和深入研究关于高中数学概率教学的各种载体的理论与研究资料以及资源平台信息。案例分析法。通过对参考实例的分析，全面研究数学课程中概率各部分内容的教学方法与解题策略。第二章理论基础2.1几何概率的产生概率的正确理解。概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量。即:概率越大，事件A发生的可能性就越大，概率越小，事件A发生的可能性就越小。知道随机事件的概率的大小，有利于我们做出正确的决策，还可以判断某些决策或规则的正确性与公平性。概率论可以帮助我们在充满随机现象的人类社会和自然界中捕捉机遇，规避风险，正确作出判断和决策。概率论和随机数学改变了我们关于自然、心智和社会的看法，以及我们的知识结构乃至于世界观。严格地讲，人们甚至可以说几乎所有的知识都是或然性的，而在我们能肯定知道的少量事情中，甚至在数学科学自身中，归纳与类比这样的发现真理的主要方法都是基于概论事件，所以说整个人类知识系统是与概率论相关联的。在概率论发展的早期，就己经注意到只考虑随机现象的可能结果只有有限个基本事件是不够的，还必须计算有无穷个基本事件的情形。设联系于某一随机现象的样本空间。可用欧氏空间的某一区域S表示，其样本点具有所谓“均匀分布”的性质。这里所说的“均匀分布”类似于古典概率模型中的等可能性这一概念。在我们所述的问题中，总是假设区域S以及其中任一可能出现的小区域A都是可以量度的，其度量大小用u（A）表示。例如一维区间的长度，二维区间的面积，三维空间中的体积，并且假定这种量度具有如长度一样的各种性质，如量度的非负性、可加性等。设某一事件A(也是某一区域)，A∈S，它量度大小为u（A），若以P（A）表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：这样计算的概率，称为几何概率。2.2几何概率的意义（1）几何概率的定义如果每个事件发生的频率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率概率，简称为几何概率。（2）古典概率与几何概率的区别古典概率研究的是仅有有限个等可能结果的随机试验，而几何概率研究的是有无限多个试验结果的随机试验；古典概率与实验中基本事件总数及所求概率的事件所包含的基本事件个数有关，而几何概率则只与该事件的区域长度有关。（3）几何概率的计算公式在几何概率中，事件A的概率计算公式：第三章几何概率的意义与概率计算的研究3.1研究内容这部分是新增加的内容。介绍几何概率主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概率的要求仅限于初步体会几何概率的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的。随机模拟部分是本节的重点内容，几何概率是另一类等可能概率，它与古典概率的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概率可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的1例子。利用古典概率产生的随机数是取整数值的随机数，是离散型随机变量的一个样本；利用几何概率产生的随机数是取值在一个区间的随机数，是连续型随机变量的一个样本。比如[0，1]区间上的均匀随机数，是服从[0，1]区间上均匀分布的随机变量的一个样本。随机模拟中的统计思想是用频率估计概率。本节的研究需要一些实物模型为教具，如教科书中的转盘模型、随机撒豆子的模型等。研究中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果。在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高。随机数的产生与随机模拟的研究中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动。几何概率也是一种概率模型，它与古典概率的区别是试验的可能结果不是有限个。它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关。如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。均匀分布是一种常用的连续性分布，它来源于凡何概率。由于没有讲随机变量的定义，教科书中均匀分布的定义仅是描述性的，不是严格的数学定义，要求学生体会如果X落到[0，1]区间内任何一点是等可能的，则称x为[0，1]区间上的均匀随机数。3.2研究目标（1）通过共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概率的概念；掌握几何概率的概率计算公式：具体学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。（2）学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概率与几何概率的区别与联系来判别某种概率是古典概率还是几何概率，会进行简单的几何概率计算，培养学生从有限向无限探究的意识。3.3探讨过程3.3.1几何概率的判断例1判断下列试验中事件发生的概率是古典概率还是几何概率。(1)先后抛掷两枚质地均匀的般子，求出现两个，"4点”的概率；(2)如图1所示，图中有一个转盘，甲，乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率本题考查的是几何概率与古典概率的特点，古典概率具有有限性和等可能性，而几何概率则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关。图1解：先后抛掷两枚质地均匀的散子，出现的可能结果有6×6=36(种)，而它们都是等可能的，因此属于古典概率。游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现指针落在阴影部分的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概率。【解题策略】解决此类问题的关键是弄清古典概率与几何概率的联系与区别。古典概率与几何概率中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概率要求基本事件有有限个，几何概率要求基本事件有无限多个。都是等可能的，因此属于古典概率。3.3.1与长度有关的几何概率例2，在无尽[-1，1]上随机抽取一个数x，得到cos=πx/2的价值在0到½之间的概率为：分析这是一道几何概率问题。区间[-1，1]的长度为2.设使得0＜πx/2＜½的X满足-1≤X1≤X2≤X3≤1，这是[x1，x2]的长度为（x2-x1），所求概率为（x2-x1）/2.解区间[-1，1]的长度为1-(-1)=2图2如图所示，在[-1，1]上，使得满足不等式组其中k∈Z.这两个不等式组就是解这两个不等式组，得所以，满足(1)-1≤X≤1，（2）的x对应2个区间，即（-1，-⅔），（⅔，1）这两个区间的长度之和为[-⅔-（-1）]+（1-⅔）=⅔。使得的价值介于0到½之间的概率为所以选择答案A。本题的知识关键点是公式在本例的解答中，涉及两个具体细节。一是由不等式组，得到连个不等式组的时候，要把πx/2当成一个整体来使用，这样才能把不等式组与余弦函数y=cosx联系起来；二是由不等式组得到两个不等式或者的时候，期间给K赋值了，即K=0。3.3.3与面积有关的几何概率例3，两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，这时就可离去，试求这两人能会面的概率。解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成，以8点作为计算时间的起点，设甲、乙各在第x分钟和第Y分钟到达，则样本空间为：画成图为一正方形。以，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为。这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如图3)。图3所求概率为。3.3.4与体积有关的几何概率例4，已知半径为1的球在棱长为3的正方体内运动，求正方体内任一点可作为球心的概率。图4解：如图4所示，正方体的棱长为3，P，Q，R，S分别是所在棱的三等分点。一个半径为1的球在这个正方体内运动，当球与正方体的侧面BCC，B，相切时，球心在截面PQRS上，向右不可能再超过这个截面了。正方体共有六个侧面，球心可以到达的位置都是这种情况。球心的变化区域是以正方体A，B，C，D，-ABCDD的对称中心为对称中心、六个面分别与正方体A，B，C，D，-ABCDD的六个面平行的正方体，其棱长为1。所求概率为。反思：本例是几何概率问题，其概率是通过体积之比得到的。本例的难点体现在对球心变化的分析上了，即确定球心的变化区域是一个棱长为1的正方体。3.3.5与角度有关的几何概率图5例5，如图5所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在内的概率。【点拨】此题关键是弄清过O作射线OA可以在平面内任意的位置上，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的。分析以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在内的概率只与的大小有关，符合几何概率的条件。解：记B={射线OA落在内}。正确理解并掌握几何概率的两个特点是解决相关问题的关键。两个特点为：①在一次试验中，可能出现的结果有无限多个(无限性)；②每个结果发生的可能性相等(等可能性)。求试验为几何概率的概率，关键是求出事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解。适当地选择观察角度是解决有关长度、角度、面积、体积等问题的关键。3.4研究体会从某种意义上说，几何概率是古典概率的补充和推广，几何概率是从古典概率的有限多个等可能结果到无限多个等可能结果的推广，是建立在广泛意义下的等可能性基础上的模型。它在现代概率概念的发展中，曾经起过积极的作用。几何概率问题一般可分为两种解题途径：一是直接计算法，二是引进变量法。对于样本空间具有明显的几何意义，样本点所在区域己经直接给出的题目，可直接计算。当样本空间对应的几何区域没有直接指明，需要对问题做深入的分析才能把样本空间归结为几何空间的某个区域时，常常引进变量，这类题目结构往往比较复杂，解答富有技巧性。3.4.1直接计算法例1，在半径为1的圆内随机地取一弦，问其长超过该圆内接等边三角性边长的概率是多少?分析题目没有明确规定等可能值参数的含义，对“随机地取一弦”可以有多种理解。如果把它理解为弦与垂直于它的直径之交点的位置是等可能性的，即“随机点M等可能地落在直径上”有解法1；如果把它理解为弦与某一给定方向之间的夹角是等可能性的，即“随机点M是等可能性的落在圆弧上”有解法2；如果把它理解为圆内的弦的中点位置是等可能性的，即“随机点M等可能地落在直径为½同心圆中有解法3。解法1半径为1的圆内接等边三角性边长为，因为弦长只跟它与圆心的距离有关，而与它的方向无关，所以可假定它垂直于某一直径。当且仅当弦长与圆心的距离小于½时，其长才大于，故所求概率为。解法2在圆周上任取一点A，作圆的切线AT，则过A的圆的任一弦AB与AZ，的交角e决定了弦的位置。e可从0°变到180°，而弦大于等价于e在60°与120°之间取值。于是，所求概率为（120-60）÷180=⅓。解法3.弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为½的同心圆时，其长才大于，由于此小圆面积为。故所求概率为：。注本题是一个很著名问题，在概率论的早期讨论中被称为贝特朗(Bertrand)奇论。同一个几何概率题为什么会有多种不同的答案?问题出在对等可能值参数没有做出确切的规定。“随机地任取一弦”一词应如何理解?不同的理解就导致各种不同的答案。因此，从这种意义上说，相对于每种解释，其计算结果都是正确的。3.4.2引进变量法例2在长为a的线段AB上，随机投两个质点M，N，求点M离点比离点N近的概率。解：设点M离点A的距离为x，点M离点N的距离为Y，则，于是，样本空间所对应的平面区域为G=[（x，y：]，又点M离点A比离点N近的充要条件是0≤x＜y≤a，故。在平面上建立直角坐标系，则G是边长为正方形区域，Ga就是图中的阴影部分。故所求概率为几何概率是一类在可测集中均匀投点，计算这些点落在某一区域的概率问题，此类问题的概率是用可测集的测度表示的。那么要计算实际问题的概率，只要考查问题所涉及的试验是否满足：①实验的结果有无限多个：②全体结果可用一个可求测度的几何图形(线段长度，平面面积，立体体积等)表示：③每个实验结果的出现是等可能的，那么就满足几何概率的条件。在解决实际中条件①可直接判断，③一般由题意从直观上判断，而条件②是我们解决问题的关键，我们应在①③的基础上实际计算。在具体计算中，首先，将实际问题具体化，写出其数学形式的样本空问及随机事件：其次，分别计算样本空问和随机事件的测度(长度，面积，体积等)：最后，利用几何概率的定义公式计算概率。结论我们在对概率这个基础概念的课堂研究时，大都是从事件的统计性规律概率)入手，然后对“有限等可能”的古典概率进行定义，最后运用集合表示的方法讲授概率的一般性定义和概率的性质特征。然而，在学习和实践中我们经常会遇到另外一种“无限等可能”的概率模型一一几何概率，它以直观上的等可能性为基础，借助于几何图形(线段长度，平面面积，立体体积等)的测度来对问题进行求解。几何概率从某种意义上说是古典概率的补充和推广，在现代概率的发展中起过非常重要的作用，在概率的运算和实际应用中占有一定的地位，这要求我们在研究中一定要重视几何概率问题。一般教科书中出现的几何概率问题经常都是用数学术语表述的，因而很容易想到作图，计算测度来求解概率，除此之外，我们经常还会遇到一些描述生活中的实际问题而求概率的问题，如我们常见的几何概率的三种典型问题(候车问题，约会问题，蒲丰(Buffox)投针问题等)中的候车问题，约会问题。经过仔细分析就会发现它们是几何概率问题，而这类问题经常使学生小知所措，无从着手。本文通过几类例题就此类问题加以分析来说明几何概率在培养学生应用