2023-2024学年湖南省邵阳市新宁县三乡镇联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省邵阳市新宁县三乡镇联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，已知矩形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=2，EC=1，AE=BC，DF⊥AE，垂足为

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠A.3

B.10

C.4

D.3.《几何原本》里有一个图形：在△ABC中，D，E是边AB上的两点(AD<AE)，且满足AD=BE.过点D，E分别作BC的平行线，过点D作AC的平行线，它们将△ABC分成如图的5个部分，其面积依次记为S

A.9 B.18 C.27 D.544.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交A.35 B.55 C.45.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC.连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点

A.2 B.3 C.4 D.56.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，

AD/​/OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M.已知AA.275 B.545 C.5857.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在反比例函数y=1+|k|x(x>0)的图象上，下列三个命题：其中真命题个数是(

)

①若x1=x2，则y1=yA.0 B.1 C.2 D.38.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(m,33)，反比例函数A.63

B.−63

9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)

以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格cA.12 B.54 C.10.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例.若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？(

)舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A.舞蹈社不变，溜冰社减少 B.舞蹈社不变，溜冰社不变

C.舞蹈社增加，溜冰社减少 D.舞蹈社增加，溜冰社不变二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥CD交对角线AC于点E，连接BE，点P是线段BE上一动点，作P关于直线DE的对称点P′，点Q是AC上一动点，连接P12.如图1，在线段AB上有一点E，若AEAB=BEAE，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，延长OP至点G，使得OG=ON，以PG为边在正方形PQM13.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF.有下列结论：

①∠BAE=30°；②射线14.如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，

∠BAC=∠DEC=30°，AC与DE交于点

15.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，点P(1,2)，作△PQR，使△PQ16.若线段a，b，c满足关系ab=34，bc=35，则a三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(−2,−1)、B(−1,−3)，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；18.(本小题8分)

如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．

(1)求证：BC=DE；

(2)P是AE上一点，AC19.(本小题8分)

在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．

(1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DGBE的值；

(220.(本小题8分)

问题提出

如图(1)，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究AFAB的值．

问题探究

(1)先将问题特殊化．如图(2)，当∠BAC=60°时，直接写出AFAB的值；

(2)再探究一般情形．如图(1)，证明(1)中的结论仍然成立．

问题拓展

如图(21.(本小题8分)

如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．

(1)若AB=6答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD//BC，∠B=90°，

∵BE=2，EC=1，

∴AE=AD=BC=3，AB=AE2−BE2=5，

∵AD/​/BC，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF2.【答案】B

【解析】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠ACD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠ACD=∠B，

∴CD=BD=3，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE=DF

∵S△CAD：S△CBD=AD：BD=2：3，

∴12DE⋅AC：12DF⋅BC=2：3，3.【答案】C

【解析】解：如图，连接GF，

∵AD=BE，DG/​/AC，EF/​/BC，

∴EHFH=DEDA=DEEB=DHHG，

∵∠DHE=∠GHF，4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE=AE=BE=12AB，进而得到∠BEC=2∠A=∠BFC，从而有∠CEF=∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，即得BF，在Rt△BCF中，求出CF，证明∠CEF=∠FBC，再根据锐角三角函数的定义求解即可．

【解答】

解：连接BF，

∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB5.【答案】C

【解析】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，

∵BE=BC，

∴AB=BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，故①正确；

在Rt△ABH中，∠AHB=90°−∠ABH=67.5°，

∵∠AGH=90°，

∴∠DAE=∠ABH=22.5°，

在△ADE和△CDE中，

DE=DE∠ADE=∠CDE=45°AD=CD，

∴△ADE≌△CDE(SAS)，

∴∠DAE=∠DCE=22.5°，

∴∠ABH=∠DCF，

在△ABH和6.【答案】B

【解析】解：过点M作MH⊥OB于H，

∵AD/​/OB，

∴△ADM∽△BOM，

∴OMDM=OBAD，且S△ADMS△BOM=(ADOB)2=49，

∵S△ADM=4，

∴S7.【答案】D

【解析】解：①把x1，x2分别代入y=1+|k|x得，y1=1+|k|x1，y2=1+|k|x2，

∵x1=x2，

∴y1=y2；

故①是真命题；

②把x1=2019，x2=2020分别代入y=1+|k|x得，y1=1+|k|2019，y2=1+|k|2020，

∴y1>y2；

故②是真命题；

③设直线CD的表达式为：y=k′x+b，

反比例函数表达式y=1+|k|x，

设m=|k|+1，则反比例函数表达式为：y=mx(x>0)，

过点A、B分别作AE⊥y轴于点E，BF⊥x轴于点8.【答案】D

【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∵顶点C的坐标为(m,33)，

∴OE=−m，CE=33，

∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，

∴OB=OC=CEsin60∘=6，∠BOD=12∠BOC=30°，

∵DB⊥x轴，

∴DB=OB⋅t9.【答案】D

【解析】解：∵c−a=x(b−a)，b−c=(b−a)−x(b−a)，b−ac−a=10.【答案】D

【解析】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432∴舞蹈社增加，溜冰社不变．

故选：D．

若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的11.【答案】16【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，过点D作DK⊥BC于点B，延长DE交AB于点R，连接EP′交AB于点J，作EJ关于AC的对称线段EJ′，则DP′的对应点P″在线段EJ′上．

当点P是定点时，DQ−QP′=DQ−QP″，

当D，P″，Q共线时，QD−QP′的值最大，最大值是线段DP″的长，

当点P与B重合时，点P″与J′重合，此时DQ−QP′的值最大，最大值是线段DJ′的长，也就是线段BJ的长．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC，

∵AE=14.EC=18，

∴AC=32，AO=OC=16，

∴OE=AO−AE=16−14=2，

∵DE⊥CD，

∴∠DOE=∠EDC=90°，

∵∠DEO=∠DEC，

∴△EDO∽12.【答案】5

【解析】解：①当PH>NH时，由题意PH=5−12⋅PN=25−2，

设ON=OG=x，则OP=x−(25−2)，

∵∠OPN=90°，

∴[x−(25−2)]2+42=x2，

∴x=25，

∴OP=2，OQ=2，

∵∠OPN=∠Q=∠NQ13.【答案】②③【解析】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，

∴AB=BC，BE=12AB，

∴tan∠BAE=BEAB=12，

∵tan30°=33，

∴∠BAE≠30°，故①错误；

∵∠B=∠C=90°，AE⊥EF，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∵AB=2BE=2CE，

∴EC=2CF，

设CF=a，则EC=BE=2a，AB=4a，

∴AE=25a，EF=5a，14.【答案】21【解析】解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，

∵BD=1，AD=5，

∴AB=BD+AD=6，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠B=90°−∠BAC=60°，

∴BC=12AB=3，AC=3BC=33，

在Rt△BCA与Rt△DCE中，

∵BAC=∠DEC=30°，

∴tan∠BAC=tan∠DEC，

∴BCAC=DCEC，

∵BCA=∠DCE=90°，

∴∵15.【答案】略

【解析】解：

根据相似三角形的性质，利用平行，连接AP作PR/​/AC，且PR=216.【答案】9：12：20

【解析】解：∵ab=34，bc=35，

∴ab=912,bc=1220，

∴a17.【答案】解：(1)位似中心P如图所示，P(−5,−1)，B1(3,−【解析】(1)连接O1O并延长与A1A的延长线相交，交点即为位似中心P，再根据平面直角坐标系写出点P和B1的坐标；

(2)延长OA到A2，使AA2=OA，延长O18.【答案】(1)证明：∵D是BC的中点，

∴CD=BD，

∵DE⊥AB且AB为⊙O的直径，

∴BE=BD，

∴BC=DE，

∴BC=DE；

(2)解：连接OD，

∵CD=BD，

∴∠CAB=∠DOB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠DFO=90°，

∴△ACB∽△OFD，

∴【解析】(1)由D是BC的中点得CD=BD，由垂径定理得到BE=BD，进而得到BC=DE，根据同圆中，等弧对等弦即可证明；

(2)连接OD，证明△ACB∽△OFD，设⊙O的半径为r，利用相似三角形的性质得r=5，AB=219.【答案】解：(1)∵矩形ABCD中，AB=2，AD=23，

∴∠C=90°，CD=AB=2，BC=AD=23，

∴tan∠BDC=BCDC=3，

∴∠BDC=60°，

∵∠ABE=∠BAD=∠EAG=∠ADG=90°，

∴∠EAG−∠EAD=∠BAD−∠EAD，

即∠DAG=∠BAE，

∴△ADG∽△ABE，

∴DGBE=ADAB=3；

(2)如图2，过点F作FM⊥CG于点M，

∵∠ABE=∠AGF=∠ADG=90°，AE=GF，

∴∠BAE=∠DAG=【解析】(1)由锐角三角函数可求∠BDC=60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得DGBE=ADAB=3；

(2)由“AAS”可证△ABE≌△GM20.【答案】解：(1)AFAB=14；

(2)取BC的中点H，连接DH，

∵点D为AC的中点，

∴DH/​/AB，DH=12AB，

，

∵AB=AC

∴DH=DC，

∴∠DHC=∠DCH，

∵BD=D【解析】问题探究

(1)取AB的中点G，连接DG，利用等边三角形的性质可得点F为AG的中点，从而得出答案；

(2)取BC的中点H，连接DH，利用ASA证明△DBH≌△DEC，得BH=EC，则EBEH=32，