陕西省2024届高三下学期教学质量检测（二）理科数学试题（含答案）

年陕西省高三教学质量检测试题（二）理科数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题中上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5本卷主要芳查内容：高考范围.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.复数的实部为（）A.1B.3C.-2D.-13.命题“”的否定为（）A.B.C.D.4.已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的离心率为（）A.2B.C.D.5.已知在某次乒乓球单打比赛中，甲､乙､丙､丁四人进入半决赛.将四人随机分为两组进行单打半决赛，每组的胜出者进行冠军的争夺.已知四人水平相当，即半决赛每人胜或负的概率均为.若甲､丙分在一组，乙､丁分在一组，则甲､乙两人在决赛中相遇的概率为（）A.B.C.D.6.在区间中随机取2个数，则两数之和小于3的概率为（）A.B.C.D.7.已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（）A.2B.4C.6D.88.商后母戊鼎（也称司母戊鼎）是迄今世界上出土最大､最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉.某礼品公司计划制作一批该鼎的工艺品，已知工艺品四足均为圆柱形，圆柱的高为，半径为.中间容器部分可近似看作一个无盖的长方体容器，该长方体壁厚，外面部分的长､宽､高的尺寸分别为.两耳的总体积与其中一足的体积近似相等.则该工艺品所耗费原材料的体积约为（）A.B.C.D.9.在中，内角所对的边分别为，向量.已知，且，则的值为（）A.16B.18C.20D.2410.已知函数的零点为，过原点作曲线的切线，切点为，则（）A.B.C.D.11.已知点是圆上的动点，以为圆心的圆经过点，且与圆相交于两点.则点到直线的距离为（）A.B.C.D.不是定值12.已知，则（）A.B.C.D.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则向量的夹角的余弦值为__________.14.已知抛物线上的点到定点的最小距离为2，则__________.15.偶函数的定义域为，函数在上递减，且对于任意均有，写出符合要求的一个函数为__________.16.如图，已知球与圆锥的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半.若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知为数列的前项和，且（为常数），若.求：（1）数列的通项公式；（2）的最值.18.（本小题满分12分）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：多于5本少于5本合计活动前3565100活动后6040100合计95105200（1）试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望.参考公式：.临界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在上有零点，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆的一个长轴顶点到另一个短轴顶点的距离为，且椭圆的短轴长与焦距长之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点（异于椭圆长轴顶点），求（为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线的方程.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知椭圆的直角坐标方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求椭圆的一个参数方程和直线的直角坐标方程；（2）若是椭圆上的任意一点，求点到直线的距离的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若，证明：.2024年陕西省高三教学质量检测试题（二）理数参考答案1.C由，有，故选C.2.B由，可得复数的实部为3，故选.3.В.4.C由题意可知，，则，所以.5.B.6.C记两个数为，有，由线性规划和几何概型可知所求概率为.7.D因为为奇函数，则，所以，又，所以的最小值为8.8.A四足及两耳的体积为，容器部分的体积为，则总体积为.9.D因为，所以，由正弦定理可知，，由余弦定理，可得，则.10.B，设切点为，则切线方程为，因为过原点，所以，解得，则，由，可得.11.A设，则圆，整理得，又圆，两圆方程相减，可得直线的方程为，点到直线的距离.12.B因为，所以，又，所以.13.设夹角为，则.14.设，则，则当时，，解得.15.均可以因为在上单调递减，又，即满足，故均满足要求.连接，设，则，又，所以圆锥的底面半径，圆锥的高，则该圆锥的体积为，解得，所以，即母线长，所以侧面积.17.解：（1）由，得，由，得，所以，或，由得，此时，由得，此时，，所以或；（2）当时，，因为是关于正整数的增函数，所以为的最小值，无最大值；当时，，因为为正整数，所以当或时，有最大值无最小值.18.解：（1）由表中数据可知，，所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；（2）由题意可知，的可能取值为，则，，所以.19.（1）证明：，，平面平面，平面，平面；（2）解：以点为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向，过点且与向量同向的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，各坐标如下：.设平面的法向量为，由，有取，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，有取，可得平面的一个法向量为.有，可得故平面与平面所成二面角的正弦值为.20.解：（1），①当，即时，时，为增函数；时，，为减函数；时，为增函数.②当时，，故在上为增函数.③当时，时，为增函数；时，为减函数；时，为增函数.（2）当时，，可知：①当，即时，为增函数，，故只须.②当时，时，时，.故只须满足：，而，故在上有零点，综上所述，的取值范围是.21.解：（1）设椭圆的焦距为，由题意有解得，故椭圆的标准方程为；（2）设两点的坐标分别为，直线的方程为，联立方程消去后整理为，有，由，可得或.由，由，当且仅当时等号成立，可得，故面积的最大值为，此时直线的方程为.22.解：（1）椭圆的参数方程为（为参数）