抽象函数单调性

关于抽象函数单调性课题导入

当我们拿到一个具体的函数时，我们可以利用函数单调性的定义、函数特点、求导等方法判断函数的单调性，若我们拿到的是一个抽象函数，我们又如何求其单调性呢？第2页,共22页，2024年2月25日，星期天抽象函数的单调性问题目标引领1、恒成立等式中特殊值的应用；2、学会对抽象函数中单调性中两种构建证明方法；第3页,共22页，2024年2月25日，星期天独立自学证明单调性第4页,共22页，2024年2月25日，星期天引导探究第5页,共22页，2024年2月25日，星期天第6页,共22页，2024年2月25日，星期天第7页,共22页，2024年2月25日，星期天引导探究第8页,共22页，2024年2月25日，星期天第9页,共22页，2024年2月25日，星期天目标升华第10页,共22页，2024年2月25日，星期天当堂诊学第11页,共22页，2024年2月25日，星期天第12页,共22页，2024年2月25日，星期天第13页,共22页，2024年2月25日，星期天第14页,共22页，2024年2月25日，星期天

已知定义在R上的函数y=f(x)满足,f(0)≠0,且当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,

f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性.解:(1)令a=b=0,则强化补清第15页,共22页，2024年2月25日，星期天任取x1,x2∈R，且x1<x2,(2)令a=x,b=-x

则所以f(x)>0恒成立.由于当x>0时，f(x)>1,则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]>f(

x1).即

f(x2)>f(x1).∴f(x)

是

R

上

的增函数.

=f(x2-

x1)·f(x1)

∴f(x2-

x1)>1.第16页,共22页，2024年2月25日，星期天证明:任取

x1,x2∈R，且

x1<x2，则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)∵x2-x1>0,∴f(x2-

x1)>1.=f(x2-

x1)-1.∴f(x2)-f(x1)>0，

即

f(x2)>f(x1).∴f(x)

是

R

上

的增函数.

【2】若函数

f(x)

对任意a,b∈

R

都有

f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0

时,有

f(x)>1.求证:

f(x)

是

R

上

的增函数.∴f(x2-

x1)-1>0.=f(x2-

x1)+f(x1)-1-

f(x1)第17页,共22页，2024年2月25日，星期天例3.设为奇函数,且定义域为R.(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对于任意t∈R,不等式恒成立，求实数k的取值范围．解:(1)由f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),整理,得第18页,共22页，2024年2月25日，星期天证明:(2)任取x1,x2,且x1<x2,则所以函数f(x)在R内是减函数.第19页,共22页，2024年2月25日，星期天所以实数k的取值范围是解:(3)因为f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,从而判别式所以对任意t∈R,不等式恒成立.从而不等式等价于第20页,共22页，2024年2月25日，星期天所以实数k的取值范围是设所以对任意t∈R,恒成立.从而不等式等价于从而只须解:(3)