2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编-三角函数含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一三角函数

一、填空题

1.（2324上.奉贤.阶段练习）方程lg（sinx）=lg（-cos力的解集为.

2.（2324上•静安•期中）设函数八工）定义域为D若对。内任意石，马（玉工々），有（々一占）"（%）-/（占）］＞0恒

成立，则称函数八方）为“Z函数”：①〃x）=l；（2y（x）=2x+l；（fy（x）=J；（4y（^）=sinx；劇⑺=x-J其中“Z

函数”的序号是（写出所有的正确序号）

3.（2324上•嘉定•期中）若将函数丁=$也（2彳+°）（0＜。＜兀）向右平移2个单位后其图像关于＞轴对称，则9=_.

4.（23・24上・浦东新•期中）已知关于x的不等式sinx-cos2x+2＜a有解，则实数。的取值范围为

5.（2324上•浦东新•阶段练习）函数〃x）=cos2x+6cosC-x：xe0,^的值域为.

6.（2223滁汇三模）已知函数y=/（x）的对称中心为（0,1）,若函数y=l+sin尤的图象与函数y=/（x）的图象共有

6

6个交点,分别为（孙珀，伍,打），…，（%%），则Z（%+%）=-

i=l

7.（2223・黄浦・三模）若a、6为实数，且a＜6,函数y=sinx在闭区间［a,0上的最大值和最小值的差为1,贝朋-〃

的取值范围是.

8.（2223下•宝山•阶段练习）已知"x）=sin,x+：j（0＞O）,函数y=/（x）,xeR的最小正周期为无，将y=/（x）

的图像向左平移个单位长度，所得图像关于，轴对称，则。的值是.

9.（2324上•嘉定•期中）已知函数/（x）=2sin（2x+£|,将y=/（x）的图像向左平移夕（0＜夕＜兀）个单位后得到函数

y=g（x）的图像，若y=g（x）图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,则。=.

10.（2223•浦东新•三模）函数"X）=sin（0x+。）［。＞0＞|＜在一个周期内的部分取值如下表：

兀71715兀7兀

"12127nn

“X)a1a—d-1

则".

11.（2223・嘉定•三模）若关于x的方程2sii?尤-7^m2彳+m-1=0在*兀上有实数解，则实数机的取值范围

是.

12.（2324上•嘉定•阶段练习）若实数x、y满足6cos20+p-3）=9匚士@二孚二型，则xy的最小值为.

13.（23・24上•奉贤•阶段练习）已知函数"x）=sin［2x+"g（x）=/f|+^j,若对任意的a,6c［-帆,冋（心0）,

当a＜6时，他）＜g（2a）—g（劝）恒成立，则实数机的取值范围是.

14.（2324上•徐汇・阶段练习）已知函数/（x）=2sin（2x+?j,将y=的图像向左平移。（0＜9＜万）个单位后

得到函数y=g（x）的图像.若y=g（x）图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,则。的值为.

15.（2324上.闵行.期中）设函数/（x）=sin6与+泡与，其中左是一个正整数，若对任意实数。，均有

44

"（X）|。＜》＜。+1}={/（x）IxeR},贝I］上的最小值为.

二、单选题

16.（2324上•杨浦•阶段练习）要得到函数y=sin12x图的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移三个单位B.向右平移二个单位

1212

C.向左平移9个单位D.向右平移9个单位

OO

TT7T

17.（2324上.青浦•期中）设函数＞=初（8+二）（0＜。＜5）图像的一条对称轴方程为无==，若占，%是该函数的两个

612

不同的零点，则归-目不可能取下述选项中的（）.

71_71_71-

A.—B.—C.—D.兀

432

18.（2324上•浦东新期中）奇函数〃尤）=cos（@x+o）（0＞O”（O,兀））在区间4彳上恰有一个最大值和一个最

小值，则。的取值范围是（）

A.［2,6）B.2,g］C.D.

19.（2223•普陀•三模）已知实数。，6e（0,l）,且满足cos即＜cosE,则下列关系式成立的是（）

A.Inavln。B.sinavsinbC.—＜7-D.a3＜b3

ab

TTTT

20.（2223下•浦东新•阶段练习）已知函数/（x）=sin（4x+彳）+cos（4尤-二），则下列结论不正确的是（）

36

A.Ax）的最大值为2

B./⑺在［-］勺上单调递增

o12

c./（X）在［0,可上有4个零点

D.把/（x）的图象向右平移二个单位长度，得到的图象关于直线对称

12o

21.（22・23•杨浦•模拟预测）设关于x、y的表达式杉（尤,y）=cos2x+cos2y-cos（孙）,当尤、》取遍所有实数时，F{x,y）

（）

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

三、解答题

22.（2223•普陀•三模）设函数/（%）=三sin2s+菠8,其中0＜。＜2.

⑴若〃尤）的最小正周期为兀，求“X）的单调增区间；

⑵若函数/（X）图象在（o'］］上存在对称轴，求0的取值范围.

23.(22・23・虹口•模拟预测)设〃x)=sinx+cos九(XER).

（1）判断函数了=/［尤+、］的奇偶性，并写出最小正周期;

⑵求函数y="x）（x-2在［0申上的最大值.

24.(22・23•长宁・三模)已知/(x)=2sinxcosx+cos|2x+£

⑴求方程“无）=0的解集;

⑵求函数y=〃x)在[0,可上的单调增区间.

25.(2324上.静安.开学考试)在ABC中，角4民。所对边分别为。，b,c,已知b=26，c=2,

Z?sinC—2csinBcosA=0.

⑴求二ABC的面积S；

⑵函数/(x)=4cosMsinxcosA+cosxsinAXxe[0,2]),求函数f(x)的严格增区间.

26.(2324上•普陀•阶段练习)已知函数/(无)=2sin[：+xJ-6cos2x.

⑴若不等式|〃x)-同＜2对任意xe恒成立，求实数机的取值范围；

(2)在中，角A,B,C对应的边分别为。，b,c,若将/(x)的图象向左平移3个单位得到函数g(无)的图

象，且g（3）=0,6=2石，s诋=6，求a+c的值.

27.（2324上.静安•期中）已知函数/（尤）=2sin2cos2+6cos2.

442

⑴求函数y=/（元）的最小正周期及最大值；

（2）令g（x）=y[x+5]，

①判断函数y=g（x）的奇偶性，并说明理由；

②若无€[-兀,71],求函数y=g（x）的严格增区间.

28.（23・24上•嘉定・期中）已知函数/（x）=2>/^sinxcosx-2sin2x.

（1）求/'（X）的最大值及取得最大值时X的值；

⑵在ABC中，内角A,8,C所对应的边为a,6,c,若〃A）=0,仇a,c成等差数列，且AHAC=2,求。的值.

29.(23・24上・嘉定・期中)已知函数〃x)=sin2x+2cos2x+l,xe0,(

⑴求函数y=的严格减区间；

⑵若不等式时(力+2机2f(x)恒成立，求实数机的取值范围.

30.(23・24上・静安•期中)已知/(x)=4asiiucos1+2&sin(ex)+a,b,ceR且c>0.

⑴若a=0,b=l时,函数〃x)的最小正周期为兀，求〃x);

jrjr

(2)当a=l,6=0时，求函数〃尤)在一“7上的严格减区间；

(3)若a=0,6=1时，函数g(x)=/(x)-g+l在x40,1)内有且仅有2023个零点，求正实数c的取值范围.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编一一三角函数

一、填空题

1.（2324上.奉贤.阶段练习）方程lg（sinx）=lg（-cos力的解集为.

【答案】=+

【分析】根据对数函数的性质及三角函数求值即可.

【详解】因为丫=坨尤定义域（。,+8）上单调递增，

所以lg（sinx）=lg（-cosx）nsinx=-cosx＞0,

即tanx=—l,x位于第二象限，

3冗

易知％二丁+2kn,（keZ）.

故答案为：1%|x=^+2fci（^eZ）j.

2.（2324上.静安•期中）设函数八x）定义域为D若对。内任意石，为2（不彳々），有（々-占）［〃%）-〃%）］＞°恒

成立，则称函数八X）为“Z函数"：①〃X）=1;②/■（无）=2尤+1；③/'（x）=g；（4y（x）=siiw；dy（x）=x-1.其中“z

函数”的序号是（写出所有的正确序号）

【答案】②

【分析】由题意可知增函数为“Z函数”，从而逐一判断函数的单调性即可求解.

【详解】由题意，不妨设王＜尤2，所以马-玉＞0,

因为（马一%）［八为2）-"％）］＞。，所以/■（Z）-，（占）＞0,即为%）＜/（巧），

所以"X）为增函数，即增函数为“Z函数”，

对于①，〃x）=l为常量函数，对任意和三，都有伍-不）"（%）-〃占）］=0,故①不是“Z函数”；

对于②，F（x）=2x+1是R上的增函数，符合题意，故②是“Z函数”；

对于③，/（x）=:是R上的减函数，不符合题意，故③不是“Z函数”；

对于④，/（X）=Sim在R上不是单调函数，不符合题意，故④不是“Z函数”.

对于⑤，〃力=彳-/在（-。,0）和（0,+巧上都单调递增，但在定义域内不是单调递增，故⑤不是“Z函数”.

故答案为：②.

3.（2324上•嘉定•期中）若将函数、=5也（2%+°）（0＜。＜兀）向右平移J个单位后其图像关于＞轴对称，贝|J9=_.

6

【答案】157r

6

【分析】根据三角函数的图象变换及性质计算即可.

【详解】易知函数，=皿3+0）（0＜。＜兀）向右平移/个单位后得函数-皿N-：+\,

ITTT57r

此时函数关于y轴对称，贝U-K+e=7+E（%eZ）ne=L+E，

326

5兀

又0＜。＜无，所以左=0时，（p=—.

6

STT

故答案为：—.

O

4.（23・24上.浦东新•期中）已知关于x的不等式sinx-cos2x+2＜〃有解，则实数，的取值范围为

3

【答案】（:,收）

4

【分析】利用正弦函数的性质，结合二次函数求出sinx-cos2%+2的最小值即得.

[33|

【详解】显然一l＜sinx＜l,则sin%-cos2%+2=sin2%+sinx+l=（sinx——）2+—＞—,当且仅当sinx=—时取等号，

2442

3

由关于％的不等式sinx—cos2x+2＜a有解，得a＞二,

4

3

所以实数。的取值范围为（7”）.

4

3

故答案为：（―,+00）

4

5.（2324上•浦东新•阶段练习）函数〃x）=cos2x+6cosg-xj,xe0弓的值域为.

【答案】口,5]

【分析】由倍角余弦公式、诱导公式可得/（x）=l-2sin2x+6sinx,结合正弦函数、二次函数性质求值域即可.

o11r

【详解】由/（x）=l-2sin2%+6sin尤=-2（sinx——）2H——,又％£0,g,

22L2_

311

令』inxe[0,1],则g（t）=-2（一h+5在给定区间内递增，

所以即原函数的值域为口,5].

故答案为：口,5]

6.（2223・徐汇・三模）已知函数y=/（x）的对称中心为（0,1）,若函数y=l+sinx的图象与函数y=/（尤）的图象共有

6

6个交点,分别为（西,无），（莅,切，…,（%，%），则2（%+%）=-

Z=1

【答案】6

【分析】根据给定条件，结合函数y=l+sinx图象的对称性，确定6个交点的关系即可求解作答.

【详解】显然函数＞=1+sin龙的图象关于点（0,1）成中心对称，

依题意，函数V=1+sinx的图象与函数y=/（x）的图象的交点关于点（0,1）成中心对称，

666

于是£玉=0,£%=6,所以2（%+%）=6.

z=li=l4=1

故答案为：6

7.（2223•黄浦・三模）若a、6为实数，且a<6,函数，=sinx在闭区间［a,0上的最大值和最小值的差为1,贝

的取值范围是.

71

【答案】i,71

【分析】讨论。的取值，结合三角函数的图象，即可求解.

【详解】（i）当函数y=sinx在闭区间［a,可内无最值，则函数y=sinx在,，可内单调,

不妨取可q\今仁）71

,可知〃£（一2，。）人£|。，5）,y=sinx在［〃,可内单调递增,

2

可知sin[a+5J—sin〃=cosa-sina=V2cosa+—

I4

,__,177C1_II,7L71兀,则cos7"1"H，l,

且〃£[-5,0卜则〃+]£

24,44

所以sin[a+]-sina=y/2cos711=sinZ?-sina,即sinZ?<sin[a+'）,

4

TT

可得+5,BPb-a<-

2

bj兀,则最大值和最小值的差为彳1-

①若Q=_g1,符合题意;

662

7171

②若。£

22

1.71

则sinf«+j—sma=——cosa——sina=cosa+—

226

「7171I兀（兀71八）一/DI兀71）Y

因为〃—I,贝U1+7w[-I8），可得cos[〃+wj<l,

636

故sinb-sin〃=1>sin[a+]-sina,可得sin/?>sin]〃+D,

L.兀7171，对呜

且〃+§£,贝股>。+三，可得力一〃>：;

676

71

③若ae吟0,冋04,

2

则sin[〃+三）一sin〃=Cin“=c°s”+U兀，

~226

717171

因为-pOL贝心+会（0高，可得cos［〃+£j<l,

666

故sin-sin〃=1>sin[a+]-sin。，可得sinZ?>sin卜+D,

L.兀兀71,e[0,—1,则》>〃+]71,可得/?—〃〉§兀；

且4+]w

65?33

综上所述：

（ii）当函数y=sinx在闭区间［〃,可内有最值，不妨取最大值1,最小值为0,

由图象可知：不妨取〃=0,当6=兀时，人-〃取到最大值兀;

当b=gTT时，b-a取到最小值I?T；

22

IT

可得e＜/?一々＜兀；

jr

综上所述：b-a的取值范围是兀

【点睛】方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题.它包含以形助数和以数解形两个

方面.一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法.运用数形结合法解

题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择.

8.(2223下•宝山•阶段练习)已知/(x)=sin,x+T(o＞0),函数＞=八力，xeR的最小正周期为无，将y=/(x)

的图像向左平移。，＜夕＜曰)个单位长度，所得图像关于，轴对称，则。的值是.

41

【答案】9弓兀

OO

【分析】由周期求出0,即可求出/(X)的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对

称性得到0的值.

【详解】”x)=sin"+T(O＞0),函数了=/(无)的最小正周期为Tt=兀，，。=2,『(x)=sin(2x+*

将y=/(x)的图像向左平移夕个单位长度，可得y=sin(2a+2夕+[的图像，

根据所得图像关于丁轴对称，可得20+；=E+g,keZ,解得。="+?,keZ,

4228

又0＜夕＜?则令左=0,可得0的值为

2o

故答案为：

O

9.(2324上•嘉定•期中)已知函数/(x)=2sin(2x+1)将y=/(x)的图像向左平移。(0＜兀)个单位后得到函数

y=g(x)的图像，若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,则9=.

【答案】謀〃

【分析】根据三角函数的图象变换规律可得g(x)=2sin[2x+]+2、，设g(x)的对称轴x=x°,由条件求得%=0,

可得g（0）=2,从而求得答案.

【详解】把函数/（x）=2sin（2x+T的图象向左平移0（0<。<无）个单位后,

得到函数y=g（x）=2sin（2x+5+20）的图象，

再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,

设g（x）的对称轴了=尤0，则最高点的坐标为伍,2）,

它与点（。,3）的距离的最小值为1,

即府门=1，求得％=。，可得g（0）=2,

!Pg（0）=2sin^|-+2^=2,0<^<7i,解得。=春，

7T

故答案为：—.

10.（2223•浦东新三模）函数/（X）=sin（0x+e）[o>0>]<在一个周期内的部分取值如下表:

71兀兀5兀7K

X

~12127nI2

/Wa1a-a-1

贝!J〃=•

【答案】1/0.5

【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出④。，得至1」/（司=$也（2犬+三]，再将x代入即可求出结果.

【详解】设函数〃x）的最小正周期为T,

由题意可得：函数小）的最大值为=1,最小值为/=

T71TTTTT2兀

则不二二一高'=7，可得了=!77=兀，且。>。，解得①=2,

可得/（尤）=sin（2x+0）,

因为=+=l,则g+"=2E:+g,左cZ,解得夕=2E+g,左eZ,

<12）[6丿623

又因为ld<g,则％=0,0=1，

可得"x）=sin（2x+3，

故答案为：

11.(2223・嘉定•三模)若关于x的方程2sin2w_«sin2x+〃Ll=0在兀上有实数解，则实数机的取值范围

是.

【答案】［-2,1］

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可.

【详解】原方程Zsir^x-J§sin2jv+7n-l=O

等价于m一1=V3sin2x-2sin2x=^sin2x+cos2x-1=2sin2x+—j-1

y=2sin12x+幫一1在、,冗

即函数y=机一1，上有交点,

兀c兀7兀13K

VXE—.71...2xH---£故冋-3,0],

2666

贝U—3<m一1<0,隕£[一2,1].

故答案为：［-2,1］

12.(2324上.嘉定•阶段练习)若实数x、y满足6cos2(x+y-3)=9匚二芈二至，则孙的最小值为

x-y+3

【答案4

【分析】对式子等价变形，利用基本不等式及余弦函数的性质求得y=x="3(AeZ),再利用二次函数性质求得

最值即可.

【详解】6cos2(尤+y-3)=(x+3'+(y-3)2-2孙=Y+y2+9+6A6y-2孙+9

x-y+3x-y+3

9

=%一>+3+

x—y+3九一y+3

99

因为x—y+3H-26或无一>+3H------------4一6,且0W6cos2(x+y—3)<6,

x-y+3x-y+3

9

所以6cos2(x+y—3)=6,所以cos(x+y-3)=±l,当且仅当％->+3=----------gpx-y+3=3,即％=，，同时

x—y+3

%+y一3=而化€2)时，等号成立，所以％=等(左eZ),

所以盯=［竽J、］等］=仕/1,当上=-1时，等号成立，故孙的最小值为立書.

故答案为：生之

4

13.(2324上•奉贤•阶段练习)已知函数/(x)=sin(2x+g(x)=/^|+^J,若对任意的冋(根>0),

当a<8时，〃a)-/S)<g(2a)—g(Z)恒成立，则实数机的取值范围是.

【答案】唱

【分析】利用三角函数的性质计算即可.

【详解】由题意可得g（2a）=f+：卜sin[2a+,+「=cos（2a+J

同理g（2b）=cos]2b+5，

贝I」g（2a）-/（a）=cos^2a+_sinj=\[2cos^2.a+^+^,g（2Z?）-/（Z?）=A/2COS^2Z2+-^-+^,

原不等式可化为0cos（2a+>0cos12b+,

设//（x）=cosjx+^j,

由题意可得a<6时且对任意的a,6目-mni\（m>0）,有/z（a）>〃（。）恒成立，

5兀5?1771（5元

由余弦函数的单调性知2EW2xd----<7i+2kn=>e--------FE,----卜kn（Z:GZ）=>mG0,——,

122424124

故答案为：（°，五

14.（2324上•徐汇・阶段练习）已知函数/（x）=2sin（2x+*|,将y=〃x）的图像向左平移。（0<9<万）个单位后

得到函数y=g（x）的图像.若y=g（尤）图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,则。的值为.

【答案】£

0

【分析】根据三角函数/（x）=Asin（0x+。）的图象变换规律可得g（x）=2sin+2夕+[•1,设y=g（%）的对称轴x=%,

由条件求得毛=0,可得2sin12e+^|=2,从而求得答案.

【详解】把函数/（x）=2sin（2x+。]的图象向左平移夕（0<。<万）个单位后，

得到函数V=g（x）=2sin2（工+0）+看=2sin]2x+2e+f的图象，

再根据y=g（x）的图象上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为1,

设g（x）的对称轴冗=/，则最高点的坐标为（/0,2）,

它与点（。，3）的距离的最小值为1,即/三=1,求得%=0,

可得g(0)=2,即2sin20+匂=2,

71

(D——

6

TT

故答案为：—

0

15.324上.闵行•期中）设函数“Msin4+c。筲,其中％是一个正整数,若对任意实数”，均有

{/(x)|a<x<a+1}={/(%)|xeR},则(的最小值为

【答案】7

【分析】利用同角公式、二倍角的正余弦公式化简函数/（幻，再利用函数周期列式求解即得.

.、*即.6履6丘/,2kxkx、/.4辰.2丘2kx4日、

【详解】/(%)=sin----i-cos——=(sin----i-cos2——)(sin-----sm-cos-----Feos——)

44444444

/.2履2kx、?c.2kx2kx、3.?kx3.5

=(sin----Feos——)—3sm-cos——=1——sin——=—cosAx+—,

44444288

若对任意实数〃，均有{/(尤)|avxva+l}={/(x)|%£R},

2元

则函数/(X)的最小正周期T<1,即丁<1,而左eN*,于是上>2兀，即％27,

k

所以上的最小值为7.

故答案为：7

二、单选题

16.（2324上•杨浦•阶段练习）要得到函数y=sin,-2］的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移二个单位B.向右平移二个单位

C.向左平移9个单位D.向右平移9个单位

00

【答案】B

y=sin2卜-3利用图象平移得到答案.

【分析】

【详解】g|^7y=sin|2x--|=sin2|x-—I,

所以其图象可由y=sin2x的图象向右平移三个单位得到.

12

故选：B

17.（2324上•青浦・期中）设函数＞=釦（8+T工T）（0＜。＜5）图像的一条对称轴方程为无TT==，若占，%是该函数的两个

612

不同的零点，则上-％I不可能取下述选项中的（）.

兀一兀一兀一

A.—B.-C.—D.兀

432

【答案】B

【分析】利用给定函数及其对称轴求出。，进而求出函数的周期，再利用正弦函数的性质列式求解即得.

【详解】依题意，«—+-=fat+-,Z;eZ,解得④=12左+4#eZ,而0＜。＜5,则4=0,0=4,

1262

27r7T

于是原函数的周期T=r==,因为占,三是该函数的两个不同的零点，

42

因此归-》2卜g"=r，"eN*,显然选项ACD分别是:的1,2,4倍，而g不是;的整数倍.

1124434

故选：B

18.（2324上.浦东新•期中）奇函数〃%）=85（8+0乂0＞0,好（0,71））在区间-上恰有一个最大值和一个最

小值，则。的取值范围是（）

A.［2,6）B.2,.|jC.3,.|jD.■|,6）

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性求出夕=5,从而/（x）=-sinox,根据x得到。x的范围，结合正弦函数的性质列出不等

式组，求出。的取值范围.

【详解】因为“无）=85（g+0乂0>0,0€（0,兀））为奇函数，

所以“0)=0,即0=5,所以/(x)=—sinox,

兀兀rt-t1a>n①7i

当xe时，则。9

5。~~6~

3兀<CD71<兀

2329

所以<解得3<<y<—,

兀,。兀3兀

——V----<—

1262

故选：C.

19.（22・23・普陀•三模）已知实数。，i>e（0,l）,且满足cosstvcosE,则下列关系式成立的是（）

A.lna<lnZ>B.sina<sinZ?C.—<7-D.a3<b3

ab

【答案】C

【分析】根据余弦函数的性质得到在根据对数函数的性质判断A,正弦函数的性质判断B,不等式的

性质判断C,幕函数的性质判断D.

【详解】因为y=cosx在（0㈤上单调递减，又实数。，be（O,l）,且满足cos即<cosE,

所以71>071>玩>0,即

对于A：因为y=lnx在定义域上单调递增，所以Inbvlna,故A错误；

对于B：因为y=sinx在（0,《上单调递增，所以sin）<sina,故B错误；

对于C：因为所以丄<］，故C正确；

ab

对于D：因为y=d在定义域上单调递增，所以63<“3,故D错误;

故选：C

冗冗

20.（2223下•浦东新•阶段练习）已知函数/（©=011（4X+彳）+<05（4尤-二），则下列结论不正确的是（）

3：6

A./（尤）的最大值为2

B./（X）在［-今勺上单调递增

c.“X）在［0,可上有4个零点

D.把/（X）的图象向右平移三个单位长度，得到的图象关于直线对称

12o

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简函数/(刈，再逐项分析判断作答.

JT7TJT7T

【详解】依题思，/(%)=$111(4苫+1)+<:。$(4%+1-5)=2$山(4尤+1),

对于A,函数f(x)的最大值为2,A正确;

当白时，4x+ge[J,为，而函数y=sinx在[当上不单调,

对于B,

81236363

因此函数“X)在勺上不单调，B错误；

o12

TT7rlJT

对于C,当工兀]时，4"十]£[1~^—由/(%)=。，得4%+耳£｛兀,2兀,3兀,4兀｝,

则有xe?,誓，多,当｝,因此函数〃x)在[0,可上有4个零点，C正确；

612312

对于D,把〃x)的图象向右平移巳个单位长度，得y="x-A)=2sin[4(x-A)+g=2sin4x的图象,

'J1JI

而当x=-g时，2sin4.x=2sin(-7)=-2,即函数y=2sin4x的图象关于直线苫=-《对称，D正确.

828

故选：B

21.(22・23・杨浦・模拟预测)设关于工、》的表达式尸(耳丫)=««2X+««>-<20$(孙)，当x、y取遍所有实数时，F(x,y)

()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，无最小值

C.无最大值，有最小值D.既无最大值，也无最小值

【答案】D

【分析】根据cos",cos2y,COS(孙)的范围可以确定cos?x+cos。-cos(孙)？[1,3],但根据余弦函数取值特点，

取不到端点值，用换元方法证明，进而得出答案.

【详解】由cos。，cos2ye[0,1],cos(xy)e[-l,l],易知cos?x+cos'y-cos(孙)？[1,3].

同时，由于无是无理数，因此当cosx=cosy=0时，cos(呼y1；当cos?x=cos2y=1时，cos(xy)?1,故两端均不能

取得等号.

补充证明：二元表达式COS晨+cos?y-cos(孙)(x,yeR)可以取到任意接近-1和3的值，

从而该式无最值.

①取x=兀，y=im(〃eN*),贝!]cos2x+cos?y_cos(xy)=2-cos(«7t2).

对任意£>。，由抽屉原理，存在NiN*,使得"=所-2霍<e.

再考虑AeN*,使得肥(由兀的无理性，两头都不取等).

贝时，2耳餡+1-dv%丽v2%；盥+1,从而cos(AMi：2)?(i,_cosdn),cos2x+cos2y-cos(孙)？(2cosdn,3),即

证.

2

②取x=],y=wt+5（WFN*）,则cos"+cos'y-cos（孙尸-cos^^7t1.

对任意£>0,由抽屉原理，存在NiN*,使得"/兀一,<e.

再考虑々eZ,使得kd<-g<kd+d（不取等的理由同上）.

4

駆N+1

则九=kN时2k:,从而cos!7i2p(cosJ71,1),cos2x+cos2y-cos(xy)?(1,-coscht),

9眇4

即证.

故选：D.

三、解答题

22.（2223•普陀•三模）设函数〃力=半抽23+混3,其中。<刃<2.

⑴若〃尤）的最小正周期为兀，求“X）的单调增区间；

（2）若函数/（力图象在（0,：上存在对称轴，求。的取值范围.

兀71

【答案】（1）——+kK,—+kn,keZ

36

（2）|<tw<2

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出。，然后利用正弦函数的单调性求

解;

（2）利用正弦函数y=sin尤的对称轴公式求参数的范围.

【详解】(1)由题意，/(x)=sin2twx+cos2twx=sin2(yx+(cos2a)x+1)=sin^2a>x++,

又0<<y<2,于是^^=无，则0=1,则/'(x)=sin卜x+：］+=,

2a>I6丿2

JIJIJI

根据正弦函数的单调递增区间，令2x+ze2hi--,2k7t+-,keZ,

o|_22_

jrjr

解得-三+E=+E,左eZ,即为的单调递增区间.

36

小兀711710)71

(2)当,2a)x+—G69^~+6

6

l,2兀①71兀3兀

注意到题干0<0,贝|丁+九；

3o6T

TT

根据正弦函数y=sinx的对称轴x=hi+—,keZ,

ITITT3冗I

显然只有左=0时一条对称轴x=7CJ?，

zko2J

—r-日2兀CD7L7L々刀〃日1

于是工一十二之大，解得。2彳，

3622

结合0<0<2可得丄0G<2

2

23.(22・23・虹口•模拟预测)-S/(x)=sinx+cos%(XGR).

⑴判断函数y=的奇偶性，并写出最小正周期;

⑵求函数y=〃x)小咼在[0,会上的最大直

【答案】(1)非奇非偶函数，兀

(2)1+与

2

【分析】(1)根据三角函数恒等变换化简y=/^+|j,结合函数奇偶性的定义以及正弦函数的周期，即可求得

答案；

(2)化简y=尤-结合xe[0,勺，求得号],结合正弦函数的性质，即可求得答案.

14丿2444

【详解】(1)由题意得/(%)=51!1兀+35%=血5皿%+；),

故y=[/[尤+])=[V2sin(x+]+^)]2=