福建省厦门市第六中学2023-2024学年九年级上册数学期末经典模拟试题含解析

福建省厦门市第六中学2023-2024学年九上数学期末经典模拟试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，如果从半径为6cm的圆形纸片剪去!圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么

3

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

2.已知线段。=2,h=4,如果线段〃是线段。和c的比例中项，那么线段c的长度是（）.

A.8；B.6;C.2>/2；D・1.

3.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

⑨-aw

4.如图，平行四边形O4BC的顶点0,8在y轴上，顶点A在y=<0）上，顶点。在旷=§（6>0）上，则

平行四边形043。的面积是（）

X

A.—2勺B.2k2C.勺+22D.k2—k、

5.将抛物线y=3/先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）

A.y=3（x+l）2+2B.y=3（x+l）2_2C.y=3（x-l）2+2D.y=3（x-l）2-2

6.已知o”是关于x的一元二次方程_?+（2m+3）、+/=°的两个不相等的实数根,且满足!则加

的值是（）

A.3C.3或一1D.-3或1

7.已知2x=3y（j#0）,则下面结论成立的是（

x_3x_2

A.7=53=7

X2

C.D.

y32~3

8.如图，在△A5C中，AB=10,AC=8,BC=6,以边A8的中点。为圆心，作半圆与4c相切，点P、。分别是边8c

和半圆上的动点，连接P。，则尸。长的最大值与最小值的和是（)

C.9D.10

9.平面直角坐标系内，已知线段A5两个端点的坐标分别为A（2,2）、B（3,1）,以原点。为位似中心，将线段AB

扩大为原来的2倍后得到对应线段A'3',则端点A'的坐标为（)

A.(4,4)B.(4,4)或(-4,-4)C.(6,2)D.(6,2)或(-6,-2)

10.矩形的长为4,宽为3,它绕矩形长所在直线旋转一周形成几何体的全面积是（）

A.24兀B.33万C.567D.42万

11.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三

角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则

2

(sin(9-cos^)=()

3759

D.-

555

12.如图直角三角板NA8O=30°,直角项点。位于坐标原点，斜边A8垂直于x轴，顶点A在函数的山=勺（》＞0）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.《算学宝鉴》中记载了我国数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共

几何?”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步?如果设矩形田地

的长为x步，可列方程为.

14.如图，在AABC中，NA=9（）。，AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于点D,求图中阴影部分的面积为.

B

15.如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D,则NC=_____度.

16.方程2炉-3%-1=0的两根为再，X”则犬+々2=_.

17.若方程2d-2x+3a-4=0有两个不相等的实数根，则修一3|—J/+4一4a的值等于

18.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,

如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为—mm.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，，ABC内接于0,且A3为,。的直径.ZAC8的平分线交）0于点D,过点。作。的切线

PO交C4的延长线于点P,过点A作AE_LCD于点E，过点8作BE_LCD于点尸.

（1）求证：DPAB-

（2）试猜想线段4E,EF,BE之间有何数量关系，并加以证明；

（3）若AC=6,BC=8,求线段PO的长.

20.（8分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在AABC中，点O在线段BC上，ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO=3A/3，BO：CO=1：3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC,交AO的延长线于点D,通过构造AABD就可以解决问题（如图2）.

请回答：ZADB=°,AB=.

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点

O,ACJLAD,AO=36,ZABC=ZACB=75°,BO；OD=1：3,求DC的长.

D（图2）

21.（8分）在△ABC中，ZACB=90°,AB=2d,BC=\.

(1)如图I,折叠△48C使点4落在AC边上的点。处，折痕交AC、A8分别于Q、H,若S诋=9S颂,则

(2)如图2,折叠ABC使点4落在3c边上的点M处，折痕交4C、48分别于E、F.若fM〃AC,求证：四边

形AEM尸是菱形；

(3)在(1)(2)的条件下，线段C。上是否存在点尸，使得！CM尸和△"QP相似？若存在，求出尸。的长；若不存

在，请说明理由.

13

22.(10分)如图1,抛物线y=-5必+加+。的对称轴为直线x=-彳，与x轴交于点4和点B(1,0),与y轴交于

点C,点。为线段AC的中点，直线BO与抛物线交于另一点E,与y轴交于点尸.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线8E上方抛物线上一动点，连接产。、PF,当APQ尸的面积最大时，在线段5E上找一点G,使得PG

EG的值最小，求出尸G-®EG的最小值.

1010

(3)如图2,点用为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四

边形是正方形时，请求出点N的坐标.

23.(10分)某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球B：乒乓球C：羽毛球D：足

球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,

请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有人；

（2）请你将条形统计图（2）补充完整；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,

求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

24.（10分）如图，把R3ABC绕点A.逆时针旋转40。，得到在RtAAB，C',点C'恰好落在边AB上，连接BB，，

求NBB'C'的度数.

25.（12分）已知：在A8C中，AB=AC.

⑴求作：ABC的外接圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若ABC的外接圆的圆心。到8C边的距离为4,BC=6,则SO=

26.时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千

克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克

各是多少元？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，首先求得留下的扇形的弧长，利用勾股定理求圆锥的高即

可.

【详解】解：•••从半径为6cm的圆形纸片剪去g圆周的一个扇形，

2

，剩下的扇形的角度=360°X§=240°,

二留下的扇形的弧长==8万，

180

OJJ.

.•.圆锥的底面半径r="=4cm；

2万

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长

等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

2、A

【解析】根据线段比例中项的概念，可得a:b=b:c,可得。2=QC，解方程可求.

【详解】解：若。是。、。的比例中项，即从=ac，

A42=2c,

c—8>

故选：A.

【点睛】

本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去.

3、D

【解析】根据题意直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查中心对称与轴对称的概念即有轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找

对称中心，旋转180°后与原图重合.

4、D

【分析】先过点A作AE±y轴于点E,过点C作CD±y轴于点D,再根据反比例函数系数k的几何意义，求得AABE

的面积=Z\COD的面积相等=J|k2|,AAOE的面积=ZiCBD的面积相等最后计算平行四边形。钻。的面积.

【详解】解：过点A作AE_Ly轴于点E,过点C作CD_Ly轴于点D,

根据NAEB=NCDO=90°,ZABE=ZCOD,AB=CO可得：AABE^ACOD(AAS),

•'•SAABE与SACOD相等，

又•.•点C在y=,(内＞0)的图象上，

SA,\BE=SACOD=~|k2|,

同理可得：SAAOE=SACBD=—|ki|,

平行四边形OABC的面积=2(y|k2|+^-|ki|)=|k2|+|ki|=k2-ki,

故选D.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及

坐标原点所构成的三角形的面积是J|k|,且保持不变.

5、A

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可.

【详解】抛物线y=3/先向左平移1个单位得到解析式：y=3(x+l)2,再向上平移2个单位得到抛物线的解析式

为：y=3(x+l)~+2.

故选：A.

【点睛】

此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减.

6、A

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出a+B、ap再代入分式计算，即可求得加.

【详解】解：由根与系数的关系得：。+4=一(2%+3),邓=而，

11a+B-2m+3.

=--T-=——j—=T,

apapm

即m2-2m-3=0>解得：根=3或m=-l,

而当机=一1时，原方程△=『-4xl=-3<(),无实数根，不符合题意，应舍去，

:.〃？的值为1.

故选A.

【点睛】

本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，难度不大，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键.

7、A

x3

【解析】试题解析：A、两边都除以2y,得一二彳，故A符合题意；

y2

B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；

x3

C、两边都除以2y,得一二彳，故C不符合题意；

y2

D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；

故选A.

8、C

【解析】如图，设与AC相切于点E,连接0E,作。Pi_L8C垂足为Pi交。。于。I,此时垂线段0P1最短，PiQi

最小值为OPi-O0,求出OPi,如图当。2在A8边上时，P2与8重合时，P2Q2最大值=5+3=8,由此不难解决问

题.

【详解】如图，设。。与AC相切于点E,连接0E,作0Pi_L8C垂足为交。。于0,此时垂线段。P最短，PxQx

最小值为OPx-OQx.

VAB=10,AC=8,BC=6,：.AB2=ACZ+BC2,/.ZC=20°.

VZ6)PIB=20O,：.OPi//AC.

'：AO=OB,:.PiC=PiB,.•.0Pi=(AC=4,.,.PiQi最小值为。Pi-OQi=L如图，当0在A3边上时，22与8重

合时，尸2。2经过圆心，经过圆心的弦最长，尸2。2最大值=5+3=8,...PQ长的最大值与最小值的和是2.

故选C.

本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点P。取得最大值、最小值时的位置，属

于中考常考题型.

9、B

【分析】根据位似图形的性质只要点A'的横、纵坐标分别乘以2或-2即得答案.

【详解】解：•••原点0为位似中心，将线段A5扩大为原来的2倍后得到对应线段4夕，且A(2,2)、B(3,1),

...点A'的坐标为(4,4)或(-4,-4).

故选：B.

【点睛】

本题考查了位似图形的性质，属于基础题型，正确分类、掌握求解的方法是解题关键.

10、D

【分析】旋转后的几何体是圆柱体，先确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的表面积公式计算即可求解.

【详解】解：7tX3X2X4+7rX32X2

=24兀+187r

=42n(cm2)；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键.

11、A

【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5石，小正方形的边长为5,再根据直角三角形的边角关系列

式即可求解.

【详解】解：•.•大正方形的面积是125,小正方形面积是25,

...大正方形的边长为5#),小正方形的边长为5,

••5A/5COS0-5^5sin6=5，

cose—sine=

'’5

二(sin8-cos®)21

5

故选A.

【点睛】

本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cos6-sine=^

5

12、D

【分析】设AC=a,则OA=2a,OC=8a,根据直角三角形30。角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写

k.

出A和B两点的坐标，代入解析式求出ki和k2的值，即可求产的值.

k2

【详解】设AB与x轴交点为点C,

Rt^AOB中，ZB=30°,ZAOB=90°,

.,.ZOAC=60",

VAB±OC,

.".ZACO=9()°,

.•.ZAOC=30°,

设AC=a,则OA=2a,OC=ga,

.".A(百a,a),

•；A在函数yi=2(x>0)的图象上，

X

.*.ki=5/3aXa=>/3a2,

RtZXBOC中，OB=2OC=2百a,

"'«BC=yjoB2-OC2=3a,

AB(6a,-3a),

k

•；B在函数y=」(x>0)的图象上,

2x

.,.k2=-3aX«a=-3辰2,

.JSL8/_1

此题考查反比例函数的性质，勾股定理，直角三角形的性质，设AC=a是解题的关键，由此表示出其他的线段求出

k|与k2的值，才能求出结果.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、x(x-12)=864

【解析】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是(XT2)步.

根据矩形面积=长*宽，得：x(x-12)=864.

故答案为x(x-12)=864.

14、1

【分析】连接AD,由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面

积.

【详解】解：连接AD,

VAB=BC=2,ZA=90",

/.ZC=ZB=45°,

.,.ZBAD=45°,

.\BD=AD,

.*.BD=AD=V2»

...由BD,AD组成的两个弓形面积相等,

...阴影部分的面积就等于^ABD的面积,

，SAABD=；AD-BD=:义近X0=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键.

15>3.

【解析】试题分析：解：连接OD.；CD是。。切线，.'ODLCD,,四边形ABCD是平行四边形，.•.AB〃CD,

A士ABIOD,.\ZAOD=90°,VOA=OD,NA=/ADO=3。，.*.ZC=ZA=3°.故答案为3.

DC

考点：3.切线的性质；3.平行四边形的性质.

16、上

4

31

【解析】试题分析：；方程2/一3%-1=0的两根为再，x2,：.xt+x2=^,无也=一万，

2

xj+x2=(x,+x2)~-2X,X2=(-1-)--2X(——)=-^-.故答案为；.

考点：根与系数的关系.

17、1

【分析】根据方程2/—2x+3a-4=0有两个不相等的实数根解得a的取值范围，进而去掉|〃-3|-J/+4-4a中

的绝对值和根号，化简即可.

【详解】根据方程2f-2x+3a-4=0有两个不相等的实数根，可得

D=22-4仓必(3a-4)0

3

解得aV；

2

：•a—3V0,a—2VO

••16?—31-Ja2+4-4a

=|"3|_J（a_2）2

=-a+3+a-2

=3-2

=1

故答案为：1.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式和整式的化简求值，当△＞（）,方程有2个不相等的实数根.

18、8

【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为

所求.

【详解】连接OA,过点O作OD_LAB于点D,

贝!IAB=2AD,

■钢珠的直径是10mm,.,.钢珠的半径是5mm.

•钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,.,.OD=3mm.

22

在RtAAOD中，；AD=7OA-OD=J52-32=4mm，

，AB=2AD=2x4=8mm

【点睛】

本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键.

三、解答题（共78分）

35

19、（1）见解析；（2）BF-AE^EF，证明见解析；（3）PD=—

4

【分析】（D连结OD,先由已知AABD是等腰直角三角形，得DO_LAB,再根据切线的性质得OD_LPD,于是可得

至DP/7AB；

(2)由“一线三垂直模型”易得△A£>E也△O5E(A4S),进而可得M—A£=EF.

(3)利用勾股定理依次可求直径AB=10,AE=CE=3O,DE=BF=CF=4拒，得CD=CE+DE=70,

57

再证明△PZMs^pc。可得PA=二「。，PC=—PD，进而由PC=Q4+AC求得PD即可.

75

【详解】(1)证明：连结8,如图，

TAB为O。的直径，

.,.ZACB=90。，

•••/4CB的平分线交。于点。，

ZACD=ZBCD=45°,

：.ZDAB=ZABD=45°,

为等腰直角三角形，

:.DO1AB,

,:PD为。的切线，

：.OD.LPD,

；.DPAB；

(2)答：BF—AE=EF,证明如下:

A3是。。的直径，

:.ZADB=ZADE+ZBDF=90°,

VAE±CD,BF1CD,

：.ZAED=ABFD=90°,

:.ZFBD+ZBDF=90°,

:.ZFBD^ZADE,

VZAOD=NBOD,

•••AD=BD,

在ADE和.。8下中,

ZAED=NBFD=90°

NFBD=ZADE

AD=BD

:.△ADE^DBF(AAS),

ABF=DE>AE=DF,

...BF—AE=DE—DF,

即BF—AE=EF.

(3)解：在RjACB中，AB=y/AC2+BC2=10»

为等腰直角三角形，

•••3鲁于5后

VAE1CD,

△ACE为等腰直角三角形,

AC_6

AE=CE==3\/2,

5/2-s/2

在Rt_AED中，OE=yjAD2-AE2=45近卜即『=4企，

，C£)=CE+OE=3亚+4夜=70,

VZPDA=ZPCD,ZP=ZP,

：.APDA^APCD,

.PDPAAD5V2

"~PC~~PD~~CD^T42,

57

/.PA=-PD,PC=-PD,

75

而PC=Q4+AC,

57

：.-PD+6^-PD,

75

APD普.

4

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形

相似的判定与性质.解题关键是抓住45°角得等腰直角三角形进行解答.

20、(1)75；4百；(2)CD=4V13.

【分析】（1）根据平行线的性质可得出NADB=NOAC=75。，结合NBOD=NCOA可得出ABODs^COA,利用相似

三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出NABD=75o=NADB,由等角对等边

可得出AB=AD=4百，此题得解;

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,同(1)可得出AE=4百，在RtAAEB中，利用勾股定理可求出BE的长度,

再在RtACAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解.

【详解】解：(1)VBD/7AC,

.,.ZADB=ZOAC=75°.

VZBOD=ZCOA,

AABOD^ACOA,

.ODOB\

"04-OC

又,：鼠0=3也,

/.OD=1AO=V3»

.,.AD=AO+OD=473.

VZBAD=30°,ZADB=75°,

.•.ZABD=180°-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

，AB=AD=4收

(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,如图所示.

VAC±AD,BE/7AD,

:.ZDAC=ZBEA=90°.

VZAOD=ZEOB,

.,.△AOD^AEOB,

.BOEOBE

"'~DO~~AO~~DA

VBO：OD=1：3,

.EOBE1

"AO-DA-3,

,:kO=3+,

.*•EO=石,

.\AE=4V3.

VZABC=ZACB=75°,

.,.ZBAC=30°,AB=AC,

；.AB=2BE.

在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(473)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

；.AB=AC=8,AD=1.

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,BP82+l2=CD2,

解得：CD=4V13.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：(1)利用相

似三角形的性质求出OD的值；(2)利用勾股定理求出BE、CD的长度.

322

21、(1)2；(2)见解析；(3)存在，。尸的值为不或8或§.

【分析】(D利用勾股定理求出AG设“0=x,根据S.c=9S。版,构建方程即可解决问题；

(2)利用对折与平行线的性质证明四边相等即可解决问题；

(3)设AE=EM=Kl/=A尸=2m，则8M=3m，FB=5m,构建方程求出，〃的值，分两种情形分别求解即可解决问

题.

【详解】解：(1)如图1中，

在△ABC中，VZACB=90",AB=20,BC=1,

.♦.4C=,2()2-122=16,设

'：HQ//BC,

:.aAQHs_ACB,

.AQQH

ACBC

.AQ_X

«■一,

1612

4

.\AQ=—x,

3

4

由对折得：DQ^AQ^-x,

..q_nc

•2ABC-"DHQ,

114

:.—X16X1=9X—XxX-x,

223

.•.x=2或-2(舍弃)，

：.HQ=2,

故答案为2.

图1

(2)如图2中,

由翻折不变性可知：AE=EM,AF=FM,ZAFEZMFE,

'：FM//AC,

：.NAEF=ZMFE,

：.ZAEF=ZAFE,

：.AE=AF,

：.AE=AF=MF=ME,

...四边形尸是菱形.

图2

(3)如图3中，

FM//AC,ZACB=90°,

：.ZFMB=90°,

图3

设AE=EM=FM=AF=2m,则BM=3>m,FB=5m,

.,.2in+5m=2(),

20

9

80

：.AE=EM=——,

9

8064

EC=AC-AE=16----=——，

99

CM=yjEM2-EC2=—,

3

,•*QH=2,tan^-A.HQ=tanB=—=-,

16

4。=3~，

32

：.QC=-9设尸0=X,

=丝时，/\HQPs/\MCP,

CMPC

4x

：.1632

-----x

33

32

解得:x=—

7

当QH_PQ

3--———时,HOPS.PCM,

PCCM

4_x

Q

解得：x=8或

3

Q

经检验：x=8或5是分式方程的解，且符合题意,

综上所述，满足条件长。尸的值为半或8或

【点睛】

本题考查的是三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是

解题的关键.

22、（1）y=--x2+--x+2；（2）—；（3）N点的坐标为：―彳,"、-]或（—3,?+5）或（-3,3+）

228[22）2222

31+2>/29、f/31+2A/2939

或--------）或（-一或F

2222

【分析】（1）根据对称轴公式列出等式，带点到抛物线列出等式，解出即可；

（2）先求出A、B、C的坐标，从而求出D的坐标算出BD的解析式，根据题意画出图形，设出P、G的坐标代入三角形的面

积公式得出一元二次方程，联立方程组解出即可；

⑶分类讨论①当AM是正方形的边时，（i）当点M在y轴左侧时（N在下方），（ii）当点M在y轴右侧时，②当AM是

正方形的对角线时,分别求出结果综合即可.

13-

【详解】（1）抛物线》=-5*2+取+。的对称轴为直线*=-5,与上轴交于点8（1,（））.

[,3f,

b=——,3

2b=—

,解得2,

\-b+c-0c=2

I2-----------------1

13

...抛物线的解析式为：y=--x2+--x+2；

13

（2）抛物线y=-5X2-]X+2与x轴交于点A和点3,与），轴交于点C,

•••4（-1,0）,8（1,0）,C（0,2）.

,点。为线段AC的中点，

.•.0（-2,1）,

,直线8。的解析式为：y=—xH—,

33

过点尸作y轴的平行线交直线E尸于点G,如图1,

图1

I31I

设点尸(x,——x"——x+2),则点G(x,——x+—).

2233

CIM/1f123cl1275

SPDF=_PG,(xF-xn)=_x—x—X+2H—x—x2=—x—xH—,

加2233)263

77221

当》=-一时，S最大，即点P（一-,—）,

6672

过点E作x轴的平行线交尸G于点H,

则tanZEBA=tanZ//EG=-,

3

：.GH=—GE,故PG—mGE=PG—”G=P//为最小值，即点G为所求.

1010

123―

y=——x——x+2

■2210

联立；解得玉二

T%=-1（舍去），

y=——x+3

3

3上,1013、

故点E(-—)

J10田口，在位2211313

则nlPG-----GE的最小值为PH=--------=—.

107298

（3）①当AM是正方形的边时，

（i）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2,

当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH,过点M作MGJ_GH于点G,过点N作HN_LG”于点H,

AZGMA+ZGAM=9Q°,ZGAM+ZHAN=90°,

:.NGMA=NHAN,

'：ZAGM=ZNHA=90°,AM=AN,

：.4AGM义ANHA(AAS),

35

：.GA=NH=1--=AH=GM,

22

13c5

即nny=——x2x+2=—

2229

解得x=-3士君,

2

当*=二3±占时,GM=x-(-1)=5一行,»=-AH=-GM=,

222

.­.N(--,:-2).

22

当*=-3±百时,同理可得N(-3,兰屿)，

222

当点M在第三象限时，同理可得N(-j,-三其H).

22

(ii)当点M在)，轴右侧时，如图3,

点”在第一象限时，过点M作用//_1_》轴于点”

设AH-b,同理AAMWg△MGN（44S）,

则点M（-1+），b--）.

2

将点M的坐标代入抛物线解析式可得：b=匹返（负值舍去）

2

yN=yM+GM=yM+AH=1+2回.

2

当点M在第四象限时，同理可得N（-3-1+2月

）.

22

②当AM是正方形的对角线时,

当点M在y轴左侧时，过点M作MG_L对称轴于点G,

设对称轴与x轴交于点”，如图1.

图4

VZAHN=ZMGN=9Q°,4NAH=NMNG,MN=AN,

...△AHNgZiNGN(AAS),

335

设点N（---,Jt）,则点M（-----m,一+兀）,

222

将点M的坐标代入抛物线解析式可得班=g,生=-g（舍去）,

31

22

39

当点M在y轴右侧时，同理可得N（-

综上所述：N点的坐标为：年或（一|,答）或（-|,若四或（-|,产）或（-

31+2则

22