2023-2024学年浙江省杭州重点中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州重点中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

L若二次根式，钎至在实数范围内有意义，则》的取值范围是（）

A.%>2B.%>2C.x<2D.%<2

2.已知O0的半径是3cm,则。。中最长的弦长是（）

A.3cmB.6cmC.1.5cmD.V-3cm

3.如图，菱形/BCD中，E,F分别是/B,AC的中点，若菱形/BCD的周长

为24,则E尸的长为（）

A.6

B.8

C.3

D.4

4.某班共有48名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试,

因此计算其他47名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为30个，方差为15.后来小亮进行了补测，成绩为30个,

关于该班48名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是（）

A.平均个数不变，方差不变B.平均个数变小，方差不变

C.平均个数变大，方差变大D.平均个数不变，方差变小

5.已知二次函数y=-2x2+4x+3,则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（）

A.图象的开口向下B.与x轴有2个交点

C.当4>—1时，y随x的增大而减小D.对称轴是直线x=1

6.若点为），B（x2,y2）,C（x3,y3）,都在反比例函数y=为常数，k>0）的图象上，其中y?<0<%<

丫3，则%1，%2，的大小关系是（）

A.xr<x2<x3B.X2<x3<%!C.%1<%3<%2D.x2<%1<%3

7.如图，在44BC中，E分另IJ是AB,4C的中点，点尸在DE上，且4=90°,

若48=6,BC=8,则EF的长为（）

A-2

B.1B

C-1

D.2

8.关于x的一元二次方程（771-3）%2-2x+l=0有实数根，则ni的取值范围是（）

A.m<4且m3B.m>4C.m>4D.m<4且m#3

9.当a4x4a+2时，二次函数y=/一4%+4的最小值为i,则a的值为（）

A.-1B.3C.-1或3D.0或3

10.已知二次函数、=a/+bx+c,当y>?i时，x的取值范围是m—3<x<1—m.下列结论：

①对称轴是直线x=-l；

@a>0；

③二次函数的图象经过点P（3,yi）,<2（x2,y2）>若％<则芯2>3；

④y有最大值c-a.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如图，在。。中的半径04=5cm,圆心。到弦48的距离为3an,则弦AB的长度为*

一皿小。

12.若平行四边形中两个内角的度数比为2：7,则其中较大角的度数是

13.如图，已经二次函数y=。/+/?%+。（。<0）的图象如图所示，直

线〃/%轴，则当a/+"+。31时》的取值范围.

14.已知y关于％的二次函数y=--+（小一1）%+加，无论m取何值，函数图象恒过定点力,则点4的坐标为

15.如图，在平面直角坐标系中，AOAB的边0A在x轴正半轴上，其中NOAB=90。，

点C为斜边OB的中点，反比例函数y=g(k>0,x>0)的图象过点C且交线段4B于点D,

连结CD、OD,若SA℃D=|，则k的值为.

16.如图，在RtAABC纸片中，/-ACB=90°,^BAC=30°,BC=1,点。，

E分别在BC、AB边上，连接DE,将ABDE沿DE翻折，使点B落在点F的位

置，且四边形BEF0是菱形.

(1)若点尸在4c边上时，则菱形BE尸。的边长为；

(2)连接4F,贝UF的长的最小值为.

三、解答题(本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题6.0分)

(1)计算：皿一J］；

(2)解方程：x2-6x+8=0.

18.(本小题8.0分)

张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行

r统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：

平均数中位数方差

张明13.30.004

李亮13.3

(1)求张明成绩的平均数和李亮成绩的中位数;

(2)现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理

由.

19.(本小题8.0分)

如图，在0aBec中，对角线AC,BD相交于点。，BECF1BC于点F,BE=CF.

(1)求证：。力BCD是矩形.

(2)若。。=13,CF=12,求BF的长.

20.(本小题10.0分)

已知一次函数月=-》+7的图象与反比例函数丫2=5图象交于人、B两点，且4点的横坐标一1,求:

(1)反比例函数的解析式.

(2)AAOB的面积.

(3)直接写出满足y】Sy2时x的取值范围.

21.(本小题10.0分)

某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶.市

场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶.若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量

利润为y元.

(1)写出每天的销售量，每瓶洗手液的利润；(用含x的代数式表示)

(2)若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？

(3)当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为多少元？

22.(本小题12.0分)

二次函数y=a/+bx-l(a,b为常数，a*0)的图象经过点A(2,7).

(1)若该函数图象经过点B(-l,-2),

①求函数的表达式.

②若点(一5,%)(771,%)是抛物线上不同的两个点，且yi+丫2=28,求ni的值.

(2)求2a+炉的最小值.

23.(本小题12.0分)

如图，在正方形4BCD中，点E在对角线4C上，连接BE,DE,延长DE交BC于点G,交的延长线于点F.

(1)求证：4CBE=4F.

(2)若GE=GB,且8尸=2,求正方形的边长.

(3)若4BEG=45°,求萼的值.

AB

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根据题意得X—220,

解得X22,

即x的取值范围是x22.

故选：B.

根据二次根式有意义的条件得到x-2>0,然后解不等式即可.

本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

2.【答案】B

【解析】解：•••圆的直径为圆中最长的弦，

.1•O。中最长的弦长为2X3=6(cm).

故选：B.

利用圆的直径为圆中最长的弦求解.

本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等

).

3.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,

•••菱形力BCD的周长为24,

•••AB=BC=CD=AD=6,

-E,F分别是AB,AC的中点,

.••EF是△ABC的中位线，

•.EF=^BC=^x6=3,

故选：C.

根据菱形的性质，周长可得4B=BC=CO=4D=6,根据E,F分别是ZB,AC的中点，可得EF是AABC的

中位线，根据中位线的性质即可求解.

本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：•••小亮的成绩和其他47人的平均数相同，都是30个，

该班48人的测试成绩的平均个数均为30个，

・••新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1,

二新数据方差变小，

故选：D.

根据平均数，方差的定义计算即可.

本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考

题型.

5.【答案】C

【解析】解：y=-2x2+4x+3=—2(x—I)2+5»

-2<0,

•••图象的开口向下，故A正确，不合题意；

令y=0,则-2/+4x+3=0,

4=42-4x(-2)x3=40>0,

••.抛物线与x轴有两个交点，故B正确，不合题意；

•.•对称轴为直线x=1,

・•・当x>l时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意；O正确，不合题意；

故选：C.

将表达式化为顶点式，再分别判断开口方向，根的判别式，对称轴以及增减性即可求解.

本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与x轴的交点，将二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x

的一元二次方程根的判断是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：k=8>0,y2<0<71<丫3，

.••点B在第二象限，点4、C在第一象限，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，

%2<0，X3>%]>0，

%2<%3<,

故选：B.

先判断出点4、B在第四象限，点C在第二象限，再根据反比例函数的增减性判断.

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征.注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内.

7.【答案】B

【解析】解：•••在AABC中，D,E分别是AB,AC的中点，

•••DE是△ABC的中位线，

•••DE=；BC=4.

•••^AFB=90°,D是的中点，

DF=^AB=3,

EF=DE-DF=4-3=1.

故选：B.

利用三角形中位线定理得到DE=^BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CF=2AB.所以由

图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可.

本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的

一半，题目比较好，难度适中.

8.【答案】D

【解析】解：•.•一元二次方程(?n-3)x2-2x+1=0有实数根，

•••4=(-2产-4(m-3)X1=-4m+16>0,

m<4,

又•・•m—3。0,

**•Tn。3,

・•・m<4且mH3.

故选：D,

根据二次项系数非零结合根的判别式△NO,即可得出关于ni的一元一次不等式组，解之即可得出结论.

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式0,列出关于TH的

一元一次不等式组是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：当y=l时，有/-4%+4=1,

解得：.=1,久2=3.

・・,当a4％Wa+2时，函数有最小值1,

・•・a=3或Q4-2=1,

・•・a=3或a=-1,

<)a-Hx

aO

图2

故选：C.

利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当aWxWa+2时函数有最小值1,即可得出

关于a的一元一次方程，解之即可得出结论.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当

y=l时x的值是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：当y>几时，％的取值范围是m-3<%<1-m.

••・抛物线开口向下，对称轴为直线X=―产

•••a<0,故①正确，②错误;

对称轴为直线x=-1,

・•・点P(3,y1)的对称点为(一5/力,

•.•二次函数的图象经过点P(3,%),Q(x2,y2)>且当<%，

•1•%2>3或久2<-5;故③错误;

•••抛物线开口向下，对称轴为直线X=-1,

函数的最大值为y=a-b+c,

2aT

b=2a,

y有最大值c-a,故④正确.

故选：D.

由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，即可判断①②；根据二次函数的性质即可判断③；由抛物线的

顶点坐标以及a与b的关系即可判断④.

本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度，对于程度一般的学生可能没有思路,

无从下手.

11.【答案】8

【解析】解：如图，连接0B,由题意可知，0M14B,0M=3cm,OA=OB=5cm,

"OMLAB,4B是弦，

AM=BM=

在RtA/lOM中，由勾股定理得,

AM=VOA2—OM2=4(cm)>

AB-2AM=8(cm),

故答案为：8.

根据垂径定理和勾股定理进行计算即可.

本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是正确计算的关键.

12.【答案】140。

【解析】解：设乙4=7x,NB=2x,4--------------------7L

•••四边形4BCD是平行四边形，//

：.AD//BC,Bc

•••乙4+NB=180°,

7x+2x=180°,

解得：x=20°,

乙4=7x20。=140°,

故答案为:140°.

根据平行四边形性质得出4D〃BC,推出NA+NB=180。，设乙4=7x,LB=2x,代入求出即可.

本题主要考查对平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能推出乙1+/B=180。是解此

题的关键.

13.【答案】一0.5WXW2.5

【解析】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线x=1,直线，与抛物线交于点(2.5,1),

二直线/与抛物线的另一个交点坐标为(-051).

.,.当—0.5<x<2.5时，ax2+bx+c>1>

故答案为：一0.5£久<2.5.

先根据抛物线的对称性求出直线I与抛物线的另一个交点坐标为(-0.5,1),再根据图象法求解即可.

本题主要考查了抛物线的对称性，图象法求不等式的解集，正确求出直线/与抛物线的另一个交点坐标是解

题的关键.

14.【答案】(-1,0)

【解析】解：y=-x2+(m—l)x+m=—x2+mx—x+m=—x2+m(x+1)—

.,.当久+1=0,即x=-l时，函数图象恒过定点，

此时y=-1+1=0>

定点4的坐标为(—1,0).

故答案为：(-1,0).

把二次函数化简，再把含有m的项提公因式小，然后令m的系数为0求得横坐标，最后求出对应的纵坐标即

可得到定点A的坐标.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会根据函数的性质求解即可.

15.【答案】2

【解析】解：根据题意设则力(m,0),h

・・・点C为斜边。8的中点，

瑞,今

・•,反比例函数y=g(k>0,x>0)的图象过点C,

0EAx

,mmm2

••-fe=2-2

VZ-OAB=90°,

・•・。的横坐标为

・・・反比例函数y=§(k>Q,x>0)的图象过点D,

・.・0的纵坐标为?

作CEJ.%轴于E,

S〉COE=Sf。。,

c_3

S^oco=S^COE+S梯形ADCE—S〉AOD=S梯形ADCE»%OCD=2f

•••\(AD+CE).4E=|,即;+

=r

・•・m2=8,

故答案为：2.

根据题意设Bg/n）,则4（巾,0）,根据点C为斜边0B的中点，得到C瑞《），得到。的纵坐标为?作CE1x

轴于E,根据三角形列方程即可得到结论.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据"coo=SACOE+

S梯形ADCE-SAAOD=S梯形ADCE<得到关于m的方程是解题的关键.

16.【答案】|1

【解析】解：（1）当点尸在4c边上时，如图，

•・•BC=1,ABAC=30°,

:.CD=BC-BD=l-x,Z.DFC=/.BAC=30°,

在RtZkDCF中，ZDFC=30°,

・•・DF=2CD,

:.x=2(1—%),

解得：x=|；

故答案为：

•••四边形BEFD为菱形,

•••BF为Z4BC的平分线，

•••点尸始终为乙4BC平分线上的点，

根据“垂线段最短”得：当4FLBF时，4F为最小.

在A4BC中，乙4cB=90。，/.BAC=30°,BC=1,

•••^ABC=60°,AB=2,

•••BF平分”BC,

=*BC=30°,

当4F1BF时，

在ABF中，AF=^AB=1,

AF的最小值为1.

故答案为：L

(1)当点尸在力C边上时，设菱形8EFD的边长为x,则DF=BD=X,乙DFC=Z.BAC=30°,然后在Rt△DCF

中得DF=2CD,进而得x=2(1—x),据此解出x即可；

(2)连接BF,根据菱形的性质得，BF为N4BC的平分线，再根据“垂线段最短”得当4F1BF时，4F为最小，

然后在中，由乙4BF=30。，4B=2可求出4F的值.

此题主要考查了图形的翻折变换，菱形的性质，含30。角的宜角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，含30。

角的直角三角形的性质，理解垂线段最短是解答此题的关键.

17.【答案】解：(1)原式=2「—?=浮；

(2)配方得：x2-6x+8+1=0+1,即(x-3)2=1,

开方得：%+3=±1,

解得：X1=-2,x2=-4.

【解析】(1)化简二次根式，然后合并二次根式即可；

(2)方程利用配方法求出解即可.

此题考查了二次根式的加减，以及解一元二次方程-配方法，熟练掌握二次根式运算法则以及解一元二次方

程的方法是解本题的关键.

18.【答案】解：(1)张明成绩的平均数为：133+13.4+/.3+13.2+13.3=13.3(秒),

把李亮5次成绩成绩从小到大排列，排在中间的数是13.3,故中位数是13.3；

(2)选择张明.理由如下：

李亮成绩的方差为：|[(13.2-13.3)2+(13.4-13.3)2+(13.1-13.3)2+(13.5-13.3)2+(13.3-

13.3)2]=0.02,

因为张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明.

【解析】(1)利用平均数、中位数的定义求解；

(2)根据方差的意义进行判断.

本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，稳定性也越小；反之，则它与其

平均值的离散程度越小，稳定性越好.也考查了算术平均数和中位数、统计图.

19.【答案】(1)证明：•••8后1"于点后，CF1BD于点F,

乙BEO=Z.CFO=90°,

•••乙BOE=“OF,BE=CF,

•••△B0EmAC0F(44S),

・•・OB=OC,

•••四边形BCD是平行四边形，

・•・OA=OC,OB—OD,

:、AO=OB=OC=OD9

:.AC=BD,

Q/BCD是矩形；

(2)解：・・・。0=13,

・・・OB=OC=OD=13,

・・•CF=12,

・・・OF=VOC2-CF2=V132-122=5，

・•・BF=OB+OF=18.

【解析】(1)根据垂直的定义得到NBE。=NCFO,根据全等三角形的性质得到OB=0C,根据平行四边形的

性质得到=OC,OB=OD,求得4c=BD,于是得到结论；

(2)根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论.

本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的

把4(一1,8)代入y2=第8=占，

解得k=-8,

•••反比例函数的解析式为y=-,

(2)设y=-x+7与y轴交点为C(0,7)

・•・0C=7,

解「二二+7得/或二:

・・・8(8,—1),

S^AOB=S—oc+SABOC

=1x7xH-|x7x8=y；

(3加<时x的取值范围是-1<x<0或v>8.

【解析】(1)把X=-1代入yi=-X+7可确定4点坐标为(—1,8),然后利用待定系数法可确定反比例函数解

析式；

(2)解析式联立，解方程组求得B的坐标，然后确定C点坐标，再利用△AOB的面积=SM℃+SABOC进行计算

即可.

(3)根据图象求得即可.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析

式.也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力.

21.【答案】解：(1)设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据题意，每天的销售量为(60-5x)瓶；

每瓶洗手液的利润为(20+x-16)=(4+x)元；

(2)依题意得：(4+x)(60-5x)=300,

整理得：/—8x+12=0,

解得：%1-2,x2—6.

答：销售单价应上涨2元或6元；

(3)由题意得：y=(4+x)(60-5x)=-5x2+40x+240=-5(x-4)2+320,

—5<0,

.•・当％=4时，y最大，最大值为320.

答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为320元.

【解析】(1)设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为(60-5x)瓶，每瓶洗手液的利润为(4+%)

元；

(2)利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润x每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解

之即可得出结论；

(3)利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润x每天的销售量列出函数解析式,根据函数的性质求函

数最值.

本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关

系，用含x的代数式表示出每天的销售及每瓶洗手液的利润；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)

找准等量关系列出函数解析式.

22.【答案】解：(1)①把B(—1,-2)和4(2,7)分别代入、=ax2+bx-1可得：

(4a+2b—1=7

IQ-b-1=-2'

解得：g：2-

•••函数的表达式为y=X2+2X-U

②把x=-5代入二次函数得：为=25-10-1=14,

•••yI+丫2=28，

**,=14,

把y=14代入二次函数得：%2+2%-1=14,

解得：x1=-5,x2=3,

,・,点(-541)(犯刈)是抛物线上两个不同的点，

・・.m=3；

(2),二次函数y=ax2+bx-为常数，aH0)的图象经过点4(2,7),

***4Q4-2b—1—7,

・•・2Q=4—b,

・•・2Q+/=炉一匕+4=(b一1)2+印

v1>0,

.•.2a+/的最小值为我

4

【解析】(1)①把(0,-1)和(2,7)代入二次函数解析式即可求出；

②把％=-5代入解析式求出再根据力+为=28进行计算，求出丫2,把丫2代入解析式即可求出；

(2)先根据图象经过点4(2,7),求出a,b之间的关系，再代入2。+炉，用二次函数的性质求最值.

本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数求最值，解答问题的关键是熟练掌握二次函数的知识,

难度不大.

23.【答案】(1)证明：・・・AC是正方形4BC。的对角线,

••・CD=CB,Z-DCE=Z.BCE=45°,DC//ABf

•・・CE=CE,

・••△CDEaC8E(S4S),

・•・Z.CDE=乙CBE,

vDC//AB,

・•・乙F=Z.CDE,

・•・乙CBE=z■尸；

（2）解：・・・GE=GB,且8尸=2,

・•・乙FEB=Z.CBE，

由（1）知，（CDE=CCBE,

・••乙FEB=Z-CDE,

•・,四边形4BCD是正方形，

ADC//AB,^ADC=Z-ABC=£.DAB=90°,AD//BC,

:.Z.CDE=乙F,

・•・乙FEB=zF,

・・・BE=BF=2,

CDE=^CBE,

・