2023-2024学年北京市朝阳区重点中学八年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市朝阳区重点中学八年级（上）月考数学试卷（9

月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，用三角板作△力BC的边4B上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

2.十二边形的内角和为（）

A.180°B.360°C.1800°D.无法计算

3.如图，48和CO相交于点。，则下列结论正确的是（）

A.z.1=z2

B.z.5=z.1+z3

C.z.4=z5

D.z.5<z2

4.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC三△4DC的是

（）

A.CB=CD

B.4BAC=乙DAC

C.z.F=Z.D=90°

D.乙BCA=Z.DCA

5.下列判定两直角三角形全等的方法，错误的是（）

A.两条直角边对应相等B.斜边和一直角边对应相等

C.两个锐角对应相等D.斜边和一锐角对应相等

6.根据下列已知条件，能画出唯一的△48C的是（）

A.=60°,NB=45°,AB=4B.ZC=90°,Z.B=30°,AA=60°

C.AB=3,BC=4,C4=8D.AB=4,BC=3,Z.A=60°

7.下列是真命题的是（）

A.对顶角相等B.两边和一角对应相等的两个三角形全等

C.三角形的外角大于内角D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

8.如图，LAOB<90°,点M在OB上，且OM=6,点M到射线04的距离为a,

点P在射线。4上，MP=x,若^OMP的形状，大小是唯一确定的，则》的取值

范围是（）

A.x=a或x>6B.%>6C.x=6D.x=6或x>a

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.如图所示的网格是正方形网格，点4B,C,D均在格点上，则SgBC=

SAACD（填”>"，"<"或"="）.

10.赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的4B,CD两

根木条），这其中的数学原理.

11.如图是由射线48、3。、。。、。4组成的平面图形,则41+Z2+

O

12.如图，在AABC中，41=100°,ZC=80。/2=、Z3,BE平分N/4BC.

则N4的度数为.

13.如图,已知AD是AABC的中线，且4B=5cm,AC=3cm,则AABD和△4CD的

周长之差为,△4BD和△4CD的面积之差为.

14.如图，已知IOB=OC,若以“SAS”为依据证明AAOB三ADOC,还需要添

加的条件是.

15.甲乙两位同学进行一种数学游戏.游戏规则是：两人轮流对△ABC及&A'B'C'对应的边或角添加等量条件(

点A,B',C'分别是点A,B,C的对应点).某轮添加条件后，若能判定AABC与△A'8'C'全等，则当轮添加条

件者失败，另一人获胜.

轮次行动者添加条件

1甲AB=A'B'=2cm

2乙BC=B'C=4cm

3甲7

上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是(填写所有正确结论的序号).

①若第3轮甲添加4c=4'C'=5cm,则乙获胜;

②若甲想获胜，第3轮可以添加条件4C=NC'=30。；

③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为NA="=90°.

16.如图，平面中两条直线。和已相交于点。，对于平面上任意一点M,若

点M到直线k、%的距离分别是Pcm、qcm,则称有序实数对(p,q)是点M

的“距离坐标”.特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0.下列

说法：

①“距离坐标”是(0,0)的点只有点0;

②“距离坐标”是(0,1)的点只有1个;

③“距离坐标”是(2,2)的点共有4个;

正确的有(填序号).

三、解答题(本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.（本小题8.0分）

已知：如图，点B是线段4C上一点，AD//BE,AB=BE,NO=NC.求证：BD=EC.

18.（本小题8.0分）

如图，在AABC中，2LBAC=70°,乙4cB=60。，乙4c8的平分线交4B于点D.

⑴尺规作图：作N4BC的平分线B0交CD于点0.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求480。的度数.

19.（本小题8.0分）

如图，在△ABE中，C,。是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）4B=AE,(2)BC=DE,(3)AC=4D,

(4)4BAC=^EAD.

请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明.

己知:

求证：

证明：

20.（本小题8.0分）

在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示.你能用哪位同学

21.（本小题8.0分）

如图，已知力E14B,AF1AC,AE=AB,AF=AC,BF与CE相交于点M.

(1)求证：EC=BF；

(2)求证：EC1BF.

22.(本小题8.0分)

课上，老师提出了这样一个问题:

已知：如图，AD=AE,请你再添加一个条件，使得AADB三△AEC.

(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是,并完成证明

(2)若添加的条件是OE=。。，证明：AADB三AAEC.

23.(本小题8.0分)

如图，在AABC中，点。在8c边上，连接40,N4OB=448。.BE是△48。中4。边上的高线，延长BE交4c于

点F.设4ABe=a,UCB=0.

(1)当a=70。时，乙4BF的度数为

(2)求N4FB的度数(用含a、夕的式子表示);

(3)若乙4FB=Z.BAF,求)的值.

BD

24.(本小题8.0分)

【提出问题】

我们已经知道了三角形全等的判定方法(S4S,4s444S,SSS)和直角三角形全等的判定方法(HL),请你继续

对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形(SS4)”的情形进行探究.

【探索研究】

已知：在AABC和△£)£■产中，48=-DE,AC=DF,Z.B=Z-E.

(1)如图①，当48=4后=90。时,根据_____,可知Rt△ABC^Rt△DEF；

AD

\

BCE

图①

(2)如图②，当NB=NE<9(r[ft，请用直尺和圆规作作出ADEF,通过作图，可知△力BC与ADEF______

全等.(填“一定”或“不一定”)

D

A

BCE

图②

(3)如图③，当NB=4E>90。时,△ABC与△DEF是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反

例.

/D

BCEF

图③

【归纳总结】

(4)如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是

时，这两个三角形一定全等.(填序号)

①锐角；②直角：③钝角.

25.(本小题8.0分)

阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在AABC中，AB=7,AC=3,求BC边上的中线

4D的取值范围.

(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：

①延长4。到Q使得。Q=AD；

②再连接BQ,把48、AC.24。集中在中；③利用三角形的三边关系可得4<4Q<10,则力D的取

值范围是______.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的

已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中

(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；

(3)思考：已知，如图2,力。是的中线，4B=AE,AC=AF,4BAE=^FAC=90°,试探究线段AD与

EF的数量和位置关系，并加以证明.

QBD

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4作的是BC边上的高，C作的不是三角形的高，D作的是4c边上的高，所以4C。都不是A4BC的

边48上的高，而8作的是过顶点C且与力B垂直的线，是边4B上的高线，符合题意.

故选：B.

根据高线的定义即可得出结论.

本题考查的是三角形的高的定义，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：(12-2)•180。=1800。.

故选C.

根据多边形的内角和公式(n-2)-180°,列式计算即可得解.

本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和公式是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4、N1与42不一定相等，故A不符合题意；

B、45=N1+NO,45不一定等于N1+N3,故B不符合题意；

C、对顶角相等，因此/4=/5,故C符合题意；

。、乙5>42,故。不符合题意.

故选：C.

由对顶角的性质，三角形外角的性质，即可判断.

本题考查对顶角，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键.

4.【答案】。

【解析】【分析】

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS,ASA.AAS.HL.注意:

4A4SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，

角必须是两边的夹角.

要判定AABC三△ADC,已知AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、/.BAC=

“AC、NB=ND=90。后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC三△4DC,而添力［UBC4=NDC4后则不

能.

【解答】

解：4添加CB=CD,根据SSS,能判定AaBC三△4DC,故A选项不符合题意；

B.添加NBAC=NZL4C,根据SAS,能判定AZBC三△4DC,故B选项不符合题意；

C.添加NB=N。=90。，根据HL,能判定△ABC三AAOC,故C选项不符合题意；

£>.添加/BCA=WC4时，不能判定AABC三△ADC,故。选项符合题意；

故选D

5.【答案】C

【解析】解：4、可利用S4S判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；

B、可利用Z7L判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；

C、不能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；

。、可利用A4S判定两直角三角形全等，故此选项不合题意；

故选：C.

结合四个选项所给的条件和全等三角形的判定方法分别进行分析即可.

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA、A4S、HL.

注意：444、SS4不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应

相等时，角必须是两边的夹角.

6.【答案】A

【解析】解：4、Z4=60°,Z.B=45°,AB=4,符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故

本选项符合题意；

B、ZC=90°,48=30。，44=60。，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项

不符合题意；

C、3+4<8,不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；

D、AB=4,BC=3,N4=60。，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符

合题意；

故选：A.

根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系理逐个判断即可.

本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键,

注意：全等三角形的判定定理有SAS,4s4,A4S,SSS,两直角三角形全等还有HL.

7.【答案】A

【解析】解：4、对顶角相等，是真命题，符合题意；

8、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；

C、三角形的外角不一定大于内角，故本选项命题是假命题，不符合题意；

。、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；

故选：A.

根据对顶角相等、全等三角形的判定、三角形的外角的概念、平行线的性质判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

8.【答案】A

【解析】解：当MPJLOA时，PM=x=a,AOMP是直角三角形，aOMP的形状，大小是唯一确定的；

当a<x<6时，如图，有两种情况；

当％26时，AOMP的形状，大小是唯一确定的.

•••x—a或x>6.

故选：4.

分情况讨论，结合图形，即可得到答案.

本题考查全等三角形的判定，关键是分情况讨论.

9.【答案】<

【解析】解：由图可得：△ABC与△ACC都是直角三角形，

"AC=VAB2+BC2=732+32=3/1，CD=V22+22=2<2.

S4ACD='CD=gx3V_2x2A/-2=6,

1AB19

"SfBC=2sc=2x3x3=2，

SMBC<SAACD•

故答案为：<.

由题意可得△ABC与△力CD都是直角三角形，则可求得相应的面积，再比较即可.

本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式并灵活运用.

10.【答案】三角形的稳定性

【解析】【分析】

本题考查了三角形的稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性解答即可.

【解答】

解：赵师傅这样做是利用了三角形的稳定性，可以防止门框变形.

故答案为三角形的稳定性.

11.【答案】360

【解析】解：由题意可得NL42,43,N4为四边形4BC0的外角，

则41+Z2+Z3+Z.4=360°,

故答案为：360.

根据多边形的外角和即可求得答案.

本题考查多边形的外角和，结合图形得出41,42,N3,N4为四边形4BCD的外角是解题的关键.

12.【答案】450

【解析】解：,••在△ABC中，41=100。，ZC=80°,

•••Z3=20°,

Z2=*3,

•••Z2=10°,

在△48C中，/.ABC=180°-100°-10°=70°,

•••BE平分乙4BC.

•••A4BE=*BC=35°,

•••44=35°+10°=45°.

故答案为：45°.

先求出42,Z3,再求出乙4BE即可解答.

本题考查三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握以上知识是解题.

13.【答案】2cm0cm2

【解析】解：MD为中线，

・•.BD=CD,

.•・△43。与4ACD的周长之差=(48+4。+BD)-(AC+4。+CD)=AB-ACf

,:AB=5cm,AC=3cmf

•••△ABD与△ACD的周长之差=5-3=2(cm).

又S&ABD=2sA48C，SAACD=2sA48C，

SAAB。—S“CD=0，即△力BD和△ACD的面积之差为0cm2.

故答案为：2cm；0cm2.

根据三角形的中线的定义可得8。=CD,然后求出△48。与44co的周长之差=AB-AC.面积之差等于0.

本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键.

14.【答案】。4=OD

【解析】解：添加条件04=0D.

理由：在AAOB三△00C中，

0A=OD

/.AOB—乙COD,

.08=0C

AOB^^DOGMAS').

故答案为：04=OD.

根据题意，对顶角44。8=4。0。，若以“S4S”为依据证明AAOB三△DOC,还需添加一个边的信息且该

边与夹角相邻，据此解题.

本题考查三角形的判定，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

15.【答案】①③

【解析】解:①若第3轮甲添加AC=4'C'=5即,根据SSS即可判定ZMBC三△A'B'C',则甲失败，乙获胜，

故说法正确，符合题意；

②若第3轮甲添加条件NC=4C'=30。，由于含30。的直角三角形直角边等于斜边的一半，满足HL,能判定

△4BC三△4'B'C',则甲失败，乙获胜，故说法错误，不符合题意；

③若乙第2轮添加条件为NA=4〃=90°,则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定4

ABC^A'B'C,则甲失败，乙获胜，故说法正确，符合题意；

故答案为：①③.

根据全等三角形的判定定理逐一判断即可.

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS,

直角三角形可用HL定理，注意：444、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边

的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

16.【答案】①③

【解析】解：如图，平面中两条直线k和%相交于点。，对于平面上任意一点M,

若p、q分别是M到直线。和。的距离，则称有序非负数实数对(p、q)是点M的“距离坐标”.

已知常数pNO,q>0,给出下列两个个结论：

(1)若pq#0,则“距离坐标”为(p、q)的点有且仅有4个.

(2)若pq=0,且p+qM0;

①p=0,q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；故①“距离坐标”是(0,0)的点只有点。是正确

的；

②p=0,q=1,则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2个；故②“距离坐标”是(0,1)的点有1个是错误的；

③得出(2,2)是与。距离是2的点是与之平行的两条直线，与a的距离是2的也是与之平行的两条直线，这四

条直线共有4个交点.所以③是正确的.

正确的有：①③.

故答案为：①③.

根据(p,q)是点M的“距离坐标”，得出①若pqHO,则“距离坐标”为(p、q)的点有且仅有4个.②若pq=0,

且p+q彳0,则“距离坐标”为(p、q)的点有且仅有2个，进而得出解集从而确定答案.

此题主要考查了角平分线的性质，有分类讨论的思想方法，又有创新意识，解题时需要注意.这是一个好

题，注意变形去掉p20,q20又该怎样解是解决问题的关键.

17.【答案】证明：VAD//BE

•••Z.A=Z.EBC

在BEC中，

ZO=ZC

Z-A-/.EBC,

.AB=BE

△ABD=^BECQAAS'),

BD=EC.

【解析】由平行线的性质可得乙4=NEBC,由“44S”可证AABD三△BEC,可得BD=EC.

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.

18.【答案】解：(1)如图,B。即为所求;

(2)vZ.BAC=70°,Z.ACB=60°,

AABC=180°-70°-60°=50°,

•••CD平分〃CB,B。平分4aBC,

ZOCB=2CB=30°,乙OBC=^ABC=25°,

•••乙BOD=40cB+乙OBC=300+25°=55°.

【解析】(1)根据角平分线的作法即可作448c的平分线8。交CD于点0；

(2)根据内角和定理求出乙4BC,再根据角平分线定义求出NOCB,NOBC,再利用外角的性质求解.

本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法.

19.【答案】解：已知I：AB^AE,BC=DE,

求证：AC=AD,^BAC=^EAD,

证明：•••AB=AE,

乙B—乙E,

vAB=AE,乙B=,BC=DE,

三△4EO(S力S),

:.AC=AD,Z-BAC=Z.EAD；

也可以(1)(3)=>(2)(4)或(2)(3)=>(1)(4)或(1)(4)=>(2)(3)或(3)(4)=(1)(2).证明方法类似.

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“4S4”、

“44S”；全等三角形的对应角相等，对应边相等.

己知：4B=AE,BC=DE,求证：AC=AD,Z.BAC=/.EAD-,由“SAS”可证△ABCNAAED,可得4c=AD,

Z.BAC=Z.EAD.

20.【答案】解：能用甲、乙同学添加辅助线的方法完成证明，

甲的方法，证明如下：

如图，作4B4C的平分线交BC于点D,

A

则乙B4D=Z.CAD,

在△ABD和△/CD中，

NB=ZC

Z-BAD=Z-CAD,

AD=AD

•••△4BD三△4CDQ4AS),

，AB=AC；

乙的方法，证明如下

如图，过力作4EJ.8C于点E,

则乙1EB=乙AEC=90°,

在AABE和△4CE中，

ZB=ZC

Z-AEB=Z-AEC»

AE=AE

・••△ABEwaACEOL4S),

・•・AB=AC.

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

甲同学的方法证AABO三△4CO(A4S),乙同学的方法AABE三△4CEQL4S),即可得出结论.

21.【答案】证明：AFLAC,

•••ABAE=/.CAF=90°.

/.BAE+NBAC=/.CAF+乙BAC,即"AC=乙BAF.

在△ABF和△AEC中，

AB=AE

AEAC=乙BAF,

AC=AF

•••△48F三△4EC(S/S).

・・・EC=BF.

(2)由(1)知：AABF^AEC,

，Z-AEC=乙ABF.

•・,AE1AB,

・•・4BAE=90°.

・•.Z.AEC+Z-ADE=90°.

•・•Z.ADE=乙BDM,

・・・Z.ABF+(BDM=90°.

在△BDM中，

乙BMD=180°-Z,ABF一(BDM=180°-90°=90°.

，EC1BF.

【解析】(1)利用S/S说明△48尸三△4EC得结论；

(2)先利用全等三角形的性质说明乙4EC=乙4BF,再利用三角形内角和定理说明N8MD=90。得结论.

本题主要考查了全等三角形，掌握三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定是解决本题的关键.

22.【答案】48=4C(答案不唯一)

【解析】(1)解：添加的条件是AB=4C,

证明：在aaDB和△AEC中，

AB=AC

Z.A=Z.A,

AD=AE

三△AEC(SAS),

故答案为：AB=AC(答案不唯一)；

(2)证明：连接。4,

A

在△4E0和Aa。。中，

AE=AD

OE=0D,

AO=AO

・••△/EO*/DO(SSS),

:.Z.AEO=Z.ADO,

•・•Z.AEO=乙B+乙BOE,Z-ADO=zC+乙DOC,乙BOE=4DOC,

・•・(B=zC,

在△ADB和△AEC中，

ZB=ZC

乙BAD=Z.CAE»

AD=AE

•••△/OB三△4EC(44S).

(1)此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可；

(2)连接40,根据全等三角形的判定定理SSS推出A/lEO三△4D0,根据全等三角形的性质得出41E。=

乙4D0,求出NB=",再根据全等三角形的判定定理41s证明即可.

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定

理有S4S,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL.

23.【答案】50°

【解析】解：(1)•••BE是AABD中4D边上的高线，

•••4BED=90°,

/.ABC=乙ADB=70°,

乙DBE=90°-70°=20°,

•••乙ABF=AABD-"BE=140°-90°=50°,

故答案为：50°；

(2)vBE是△力BD中AD边上的高线，

乙BED=90°,

•・•/.ABC=乙ADB=a,

，乙DBE—90°-a,

・•・乙ABF=Z.ABD-Z-DBE=2a—90°,

vZ-ABC=a,Z-ACB=0,

・・・^BAC=180°-^ABC-Z-ACB=180°-a-/?,

・•.Z.AFB=180°一乙ABF-乙BAF=180°一(2a-90°)-(180°-a—/?)=90。-a+/?；

(3)由(2)知，^BAC=180°-a-/5,4AFB=90。-a+0；

•・,Z.AFB=Z-BAF,

・•・180°-a一夕=90。-a+/?,

:邛=45°.

(1)根据垂直的定义得到/BED=90°,根据内角和定理得到NDBE=90°-70°=20°,根据角的和差即可得

到结论；(2)根据垂直的定义得到NBEO=90。，根据三角形的内角和定理即可得到结论；

(3)由(2)知，Z.BAC=180°-a-/?,乙4FB=90。一a+夕；根据乙4FB=NBA/列方程即可得到结论.

本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.

24.【答案】⑴HL；

(2)不一定；

(3)结论：AABgxDEF.

理由：如图③中，作AG1CB交CB的延长线于G,作DH_LFE交FE的延长线于H.

图③

/.ABC=Z.DEF,

Z.ABG=乙DEH,

•••Z.G=Z.H=90°,AB=DE,

**.△ABG三代DEH,

・・・AG=DH,

-AC=DF,

*'•Rt△ACG=^DFH>

・•・zC=乙F,

■:(ABC=(DEF,AB=DE,

ABC三ADEF.

(4)②③

【解析】解：(l)^ZRt△ABC^Rt△DEF^,

(AB=DE

14c=DF'

•••Rt△ABC=Rt△DEF(HQ,

故答案为HL.

(2)如图