内蒙古蒙东七校2023-2024学年高三年级上册十一月联考理科数学试卷

内蒙古蒙东七校2023-2024学年高三上学期十一月联考理科数学试

卷

一、单选题

1.已知i为虚数单位，则复数（2-i）i3的虚部为

A.-2B.2C.-1D.1

2.已知集合人={工|%2<4%},B={x\2<x<5],则Au6=

A.{x\0<x<2]B.{x|4<x<5}C.{x|2<x<4}D.{x|O<x<5}

3.命题“土£（0,+oo）,tanxW%”的否定是（）

A.VXG（0,-KO）,tanx>xB.G（0,+oo）,tanx>x

C.Vx^（0,+oo）,tanx<xD.（0,+oo）,tanx>x

4.若运行如图所示的程序框图，则输出的％,y分别为（）

A.90,86B.94,82C.98,78D.102,74

5.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍

上袤，下袤从之.亦倍下袤，上袤从之.各以其广乘之，并，以高乘之，六而一.”其计算方法是：将

上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相

加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下

底面是长为5,宽为4的矩形，上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积

为（）

A.38B.97C.74D.37

6.在正项等比数列｛4｝中，若。3，%是关于》的方程，7加+4=0的两实根，则

log2q+log2a2+log24++log2%=()

A.8B.9C.16D.18

7.已知圆C:/+y2=i,直线/：y=M九+2),在［-M］上随机选取一个数3则事件“直线/与圆C

相离”发生的概率为()

2-石

A.

2,2

8.已知函数/(%)=sin(s+夕)在区间单调递增，直线x=2和为函数y=/(x)的图

6

像的两条相邻对称轴，则/［一办J=()

A.-且B.--C.1D.立

2222

x_-x

9.函数/(x)=P土e子的图像大致为()

B.

10.已知A,5,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC，3cAe=3C=1,则三棱锥O-ABC

的体积为()

A♦R币^2不

A.D.Cr.U.

121244

11.已知函数/(无)=/-；灰在区间(0,+8)上是单调递增函数，则6的取值范围是()

A.(-oo,l)B.［0,1］C.(—』］D.［0,+oo)

12.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为P，准线为/,点A为C上一点，以F为圆心，耳为半

径的圆交/于3,。两点，若NFBD=30。，AABD的面积为8g,则。=

A.1B.y/2c.y/3D.2

二、填空题

13.已知非零向量d,b满足W=2|4，且(a+6)，o,则d与b的夹角为.

14.设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若S3=9,'=36,则%+融+%=.

15.在(2x-l)6的展开式中式的系数为.

22

16.已知％鸟分别为双曲线C：T-2=1(4>0力>0)的左、右焦点，以B为圆心，山段为半

径的圆交双曲线C的右支于A,8两点，若|加仁抬阳名则双曲线C的离心率为.

三、解答题

17.在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,^/§asinB+6cosA=2b.

(1)求角A的大小；

(2)若c=3,AABC的面积为3粗，求

18.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志

刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发

扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛并进行纪录(满分：

100分)根据得分将数据分成7组：[20,30),[30,40),[80,90],绘制出如下的频率分布直

方图

频率

(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80

分的概率；

(2)从得分在[60,90]的学生中利用分层抽样选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲

活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及数学期望.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是平行四边形，尸£)，平面ABCD,E是棱尸C上的

一点，满足R4〃平面

(ID^PD=AD=BD=1,AB=e，若下为棱P3上一点，使得直线。厂与平面山汨所成角的

大小为30。，求的值.

20.已知椭圆C:0+%=l(a>b>0),离心率e=；,过点

⑴求C的方程；

⑵直线/过点M(0,l),交椭圆于A、8两点，记N(o,3),并设直线N4、直线的斜率分别为总、

^NB>证明：^NA+^NB=。•

21.己知函数/(x)=ln尤+依+1.

⑴讨论的单调性；

(2)若不等式/(力-配,<0恒成立，求。的取值范围.(参考数据：五，1.6,In2go.7)

1

X=t—,

22.在直角坐标系无帆中,曲线C的参数方程为\(f为参数)，以坐标原点。为极点，X

y=t——

It

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是。cose-2夕sine+2=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

⑵若直线/与曲线C交于A,B两点，点尸(0」)，求』7+焉的值.

23.已知函数〃x)=|2x-3|+|x+3].

⑴求不等式/(x)<9的解集;

⑵若/(x)淮㈤恒成立，求a的取值范围.

参考答案:

1.A

【分析】根据/=一1化简（2-i）/=-1-2,根据虚部的定义即可选出答案.

【详解】由（2—，）『=-i（2—，）=-1-2,,所以虚部为-2.故选A.

【点睛】本题考查复数的运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数z=a+沅的实部为〃，虚部

为属于基础题.

2.D

【分析】解出A集合，再由并集的定义写出AuB即可.

【详解】由A={x|f＜4%}nA={x|0vxv4},

则Au3={x|0v%v5}.故选D.

【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件.属于基础题

3.A

【分析】利用特称命题否定可得出结论.

【详解】命题，玉:£（0,+oo）,1311工4％”的否定是“\/%£（。,住），tanx＞x,\

故选：A

4.C

【分析】由图可知，该程序框图需要运行4次才可推出循环，依次运行即可得出结果.

【详解】第一次执行循环体，y=90,s=3+15,不满足推出循环的条件，故X=9O；

9043

第二次执行循环体，＞=86,5=y+y,不满足推出循环的条件，故X=94;

9441

第三次执行循环体，＞=82,5=y+y,不满足推出循环的条件，故X=98；

第四次执行循环体，＞=78,5=27,满足推出循环的条件.

所以x=98,y=78.

故选：C.

【点睛】本题考查程序框图，考查分析和逻辑推理能力和运算求解能力，属于常考题.

5.D

【分析】根据定义，歹「‘刍童”的体积表达式求解得答案.

【详解】结合题意得“刍童”的体积为!X「（3x2+5）x2+（5x2+3）x4]x3=37,

6

故选：D.

6.B

【分析】由韦达定理可得的%=4,则由等比数列性质可得％%%«,=2*89,后由对数运算性质可得

答案.

【详解】由题意及韦达定理可得见%=4,由等比数列性质可得％%/的=2)

故log2%+log2a2+log2Q3++log2a9=log2axa2a3a9=9.

故选：B

7.C

【分析】根据圆心到直线的距离关系列不等式可得直线/与圆c相离时％的取值范围，再根据几何

概型的方法求解概率即可.

【详解】当直线/与圆C相离时，d=-^=＞l,解得k＞走或k〈-叵,又壮[-1,1],所以

'k+133

_14左＜一立或立〈左VI,故事件“直线/与圆C相离”发生的概率为

33

(1-§)+(一§+1)3一班

23

故选：C

8.D

5兀

【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入彳=-1|即可得到答案.

71271

【详解】因为，(x)=sin(8+0)在区间单调递增,

6'3

由T27171712兀

所以5■飞—,且0>0,则丁=兀，w=—=2,

当尤=5时，/(尤)取得最小值，则29+°=2M一5，keZ,

662

Sir疝2」,

则夕=2E一二，keZ,不妨取％=0,则〃x)=

6I6J

故选：D.

9.B

【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：x^0,/(-x)=-―=-/(x)「./(x)为奇函数，舍去A,

x

,/⑴舍去D;

w、(ex+e-x)x2-(ex-e-x)2x(x-2)eA+(x+2)e^x.

f(x)=-------------------=-----------------x>2,/(无)>0，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，

由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶

性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复.

10.A

【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形，得出ABC外接圆的半径，则可求得。到平面ABC的

距离，进而求得体积.

【详解】ACLBC,AC=BC=i,，ABC为等腰直角三角形，.MB=也，

则.ASC外接圆的半径为正，又球的半径为1,

2

设。到平面A3C的距离为"，

所以%-ABC=；SA8c.l=；x；xlxlx¥=备.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心

到截面距离的勾股关系求解.

11.C

【分析】对函数y=/(x)求导，将问题转化为((无”。恒成立，构造函数g(x)=/'(%),将问题转

化为g0rL>°来求解，即可求出实数匕的取值范围•

【详解】f(x)=ex-^bx2-x,:.f'(x)^ex-bx-l,令g(x)=e"-bx—l,贝l]8⑺面”>0.

g'[x)=ex-b,其中丁>0,且函数y=g'(x)单调递增.

①当6W1时，对任意的x>0,g'(x)>0,此时函数y=g(x)在(O,+e)上单调递增，

则g(x)>g(O)=O,合乎题意；

②当6>1时，令g'(x)=O,得e*-b=O,：.x=\nb.

当0<x<lnb时，g'(x)<0；当x>lnb时，g'(x)>0.

此时，函数y=g(x)在x=ln6处取得最小值，贝!IgGL=g(ln，)<g(O)=O,不合乎题意.

综上所述，实数b的取值范围是(-8』.故选C.

【点睛】本题考查利用函数的在区间上的单调性求参数的取值范围，解题时根据函数的单调性转化

为导数的符号来处理，然后利用参变量分离法或分类讨论思想转化函数的最值求解，属于常考题,

属于中等题.

12.D

【分析】因为点/到准线的距离是P,ZFBD=30,所以半径I网|=|EB|=2p,|8£>|=2石p,再

根据抛物线的定义可知点A到准线的距离d=\FA\=2p,最后根据面积计算得到P.

【详解】因为NF%>=30。，所以圆的半径|E4|=I尸0=22，|8D|=26P，由抛物线定义，点A到

准线/的距离d=|E4|=2p,所以(3。1”=石/入2。=86，所以p=2,选D.

【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及抛物线内的平面几何长度的求解，考查了转化与化归和计

算问题，涉及抛物线几何性质的题型，需记住：焦点到准线的距离是〃，通径2p,抛物线上的点

到焦点的距离等于到准线的距离，还有焦半径公式等.

13.空

3

【分析】根据向量垂直得到(。+6>。=0,再利用向量夹角公式求出答案.

【详解】因为(a+6)_L。，所以(a+Z?).a=0,

,_/,小无〃一同1

则a)=-a2，cos<a,Z?)=-T-77=——y=--)

\af\2周2

则d与b的夹角为胃2兀.

故答案为：—.

14.45

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,根据等差数列求和公式列方程求出％和d的值，再由等差数

列的通项公式即可求解.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

„。3x27小

，=3ct,H----u=9（-1

由题意可得V2<,可,得6=:I,

6X5

。A

%=6%H,----dJ=36i\d=2

、2

所以%+1+%=%+6d+4+7d+%+8d=3%+21d=3x1+21x2=45,

故答案为：45.

15.60

【分析】直接利用二项展开式的通项求解炉的系数.

【详解】（2X-叶的展开式中含/的项为C：（2x）2（_］）4=60%2,

即在（2x-iy的展开式中/的系数为60.

故答案为：60.

16.^±1.

2

【分析】根据已知条件可知|明|=2c,|AH|=&,那么乙48"=60,然后进一步求出|前|,根据

双曲线的定义可知|A£|-|A阊=2。，求出离心率.

【详解】设A3与x轴交于点H,则|47|=辰，所以NA&»=60。，

所以乙4耳》=30。，所以仙耳|=2病，所以2辰-2c=2a,

所以双曲线C的离心率e=心土1■.

2

【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，本题的重点是利用半径等于2c,根据平面几何的性质将

|秋|和|A阊都表示成与c有关的量，然后根据双曲线的定义求解.

chc

在圆锥曲线中求离心率的方法：（1）直接法，易求。£的比值；（2）构造法，根据条件构造成

关于。的齐次方程；（3）几何法，利用椭圆和其他平面图形的一些几何性质，找到等量关系，求

离心率.

17.（1）—；（2）a=y/13-

【分析】（1）利用正弦定理，将,asinB+6cosA=2b中的边化为角，化简再利用辅助角公式即可

求出角A的值.

（2）根据鼠4sc=：AsinA可求出6=4,再利用。边的余弦定理即可求出”的值.

【详解】（1）因为JGasinB+bcosA=2b,所以由正弦定理，WsinAsinB+sinBcosA=2sinB,

因为所以sinB>0,所以百sinA+cosA=2,BPsin^A+—=1,又0VAv%,所以

A+£=g，所以

623

（2）由SMBC=<Z?csinA=（x36sin（=^^^=3V^,得5=4.

由余弦定理，得a=Jb2+c2+2bccosA=^42+32-2x4x3xcosy=J9+16-12=岳.

【点睛】本题考查解三角形，正弦定理一般用于等式两边为边或角正弦值的齐次式时边角的互化,

余弦定理一般用于等式两边含有角的余弦值时或具有两边的平方和减第三边的平方的时候，属于基

础题.

4

18.CD-

25

Q

⑵分布列见解析，£（%）=-

【分析】（1）由频率分布直方图计算概率;

（2）频率分布直方图由求出人数，得X的可能值是123,可得X~a（3,6,8）,由超几何分布概率

公式计算出概率后得分布列，由期望公式计算出期望.

【详解】（1）每名学生得分低于70分的概率为：1-（0.04+0.02）x10=0.4,不低于80分的概率：

0.02x10=0.2.

4

故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为：C^x0.4x0.2=—.

（2）由频率分布直方图可得8人中，［60,70）的人数有2人，［70,90）的人数有6人,

C13

所以X~H（3,6,8）,X的可能取值为123,P（X=1）==—,

P（X=2）=普=||,P（X=3）=m5

14

19.（I）证明见解析（II）PF:FB=1:1

【分析】（I）由R4//平面可得PA〃①W,又因为M是AC的中点，即得证;

（II）如图建立空间直角坐标系，TSPF=2PB（0<2<1）,计算平面BDE的法向量，由直线。尸与

平面8DE所成角的大小为30。，列出等式，即得解.

【详解】（I）如图,

连接AC交于点M，连接

则EM是平面PAC与平面BDE的交线,

因为R4//平面5£>E,

故PA//EM,

又因为M是AC的中点,

所以E是尸C的中点，

故PE=EC.

(II)由条件可知，AD2+BD2=AB2，所以AD工BD,故以。为坐标原点，ZM为了轴，DB为了

则0(0,0,0),4(1,0,0),*0,1,0),P(0,0,l),C(-l,l,0),小一：：,：］,=1

乙乙乙)

DB=(0,1,0)

T5PF=2PB(0</1<1),

则下(O,Zl—J),£>F=(O,2,l-2)

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),

n-DE=0-x+y+z=0.,、

则,即y=o，故取”=(1,0,1)

n-DB=0

因为直线。尸与平面BDE所成角的大小为30。

DFn1

所以一^=sin300=-,

叫722

即万历97一2,

解得％=L故此时PGEB=1:1.

2

【点睛】本题考查了立体几何和空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力,

属于中档题.

20.⑴土+工=1

43

（2）证明见解析

【分析】（1）由已知可得。=2c,b=®,可得出椭圆C的方程为/+/=1,将点（1，胃的坐

标代入椭圆C的方程，可得出,?的值，由此可得出椭圆C的方程；

（2）分析可知，直线的斜率存在，设直线A3的方程为了=丘+1,设点4（占,%）、3（々,%），

将直线A3的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可证得结论成

立.

【详解】（1）解：因为e=—=彳，则〃=2c,〃==7=底，

a2'

2222

所以，椭圆C的方程为券+k=1,即?+q=c2,

将点。，胃的坐标代入椭圆C的方程可得2=上+（U=],

一0-7+3

/V2

因此，椭圆C的方程为工+匕=1.

43

（2）解：若直线43与丁轴重合，此时，直线用、N8的斜率都不存在，不合乎题意.

所以，直线48的斜率存在，设直线A5的方程为丫=履+1,设点4（%,%）、周程%），

V；=12可得（3+4廿）/+8"-8=0,

联立

A=64Jt2+32（3+4F）＞0,

8k8

由韦达定理可得%+%=-7,XiXy—~

4左2+31-4左2+3

所以，心"二2+铝二2=2左一2—2=2左一土四

%元2%%2%%2%%2

2义(一^^1

=2左一2(再+%)=2左一一I4f+3人2"2左=0.

玉/__8―

442+3

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.(1)答案见解析;

(2)a<l.

【分析】(1)求出函数/(X)的导数，分。20,。<0讨论导数值正负即可作答.

(2)变形给定的不等式，分离参数并构造函数，求出函数的最小值即可作答.

【详解】(1)函数〃x)=lnx+依+1的定义域为(0,+8),求导得：f(x)=/+。，

当时，-3>0,函数/(尤)在(0,+刈上单调递增，

当a<0时，由广(%)>0得：0<x<--,由广(x)<0得：x>--,则函数在(0,—上)上递增,

aaa

在(--,+8)上递减，

a

所以，当〃之。时，函数/(%)的递增区间为(0,+8)；当〃<0时，函数/(%)的递增区间是(0,-3,

a

递减区间是(—,+00).

a

X

YP—InY—1

(2)依题意，Vx>0,f(x)-xex<0<=>\nx+ax+l<xQx<=>a<----------，

x

令函数g(x)=/-工一1,贝|，(元)=/一1,当x<0时，g'(x)v。，当兀>0时，g'(x)>。，

因此函数g(x)在(-8,0)上单调递减，在。+8)上单调递增，g(x)2g(0)=0,即炉。+1,当且仅

当兀=0时取等号，

于是有xe，一如T=e"底一如-12(x+lnx+1)-Inx-1=1,当且仅当尤+出了=0时取等号，

XXX

令〃(%)=x+lnx,%>0,显然函数以工)在(0,+8)上单调递增，ffij/i(^)=-1-ln2<0,/i(l)=l>0,

11_1nr_1

即存在毛£(不1)，使得人(%o)=%o+ln%o=0,因此当％=%o£(不1)时，x+lnx=0,----------取

22x

得最小值1,有

所以〃的取值范围是aVI.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问

题.

22

22.--匕=1；x-2y+2=0

44

⑵述

25

【分析】(1)消去参数可得C的普通方程,根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程;

(2)将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.

1

x=t—,

【详解】(1)由\G为参数），得尤2一丁=4,

y=t——

22

故曲线C的普通方程为工-匕=1.

44

由夕cos6-20sine+2=0,得x-2y+2=0,

故直线/的直角坐标方程为尤-2