9月修订版全国各地中考数学分类解析总汇-考点40-动态问题

动态问题

一・选择题

1.(•山东德州，第12题3分)如图,平面直角坐标系中，A点坐标为(2,

2),点P(m,n)在直线y=-x+2上运动，设aAPO的面积为S,

则下面可以反映S与m的函数关系的图象是()

考点:。动点问题的函数图象..[来&源〜八：@中教网*]

分析：根据题意得出临界点P点横坐标为1时,△APO的面积为0,

进而结合底边长不变得出即可.

解答：。解:二,点P(m,n)在直线y=-x+2上运动，

.,.当m=l时,n=1,即P点在直线AO上，此时S=0,

当0<m<l时，SNPO不断减小，当m>l时,SAAP。不断增大,且底边

AO不变，故S与m是一次函数关系.

故选：B.[中国*教育八#&出版网％]

点评：。此题重要考察了动点问题的函数图象，根据题意得出临界点

是解题核心.

2.（•山东莱芜，第11题3分）如图，在矩形ABCD中,AB=2a,AD

=Q,矩形边上一动点P沿A-B-C-D日勺途径移动.设点P通过的途

径长为x,PD2=y,则下列能大体反映y与x的函数关系的图象是

考点：动点问题的函数图象..

分析：根据题意，分三种状况：(1)当。&tw2cl时；(2)当2a<t

w3cl时；(3)当3a<tw5cl时；然后根据直角三角形中三边的关系,

判断出y有关x的函数解析式，进而判断出V与x的函数关系日勺图象

是哪个即可.

解答：解：⑴当0&Y2a时，

,/PD2=AD2+AP2,AP=x,[As%~@tep#.com]

/.y=x2+a2.

(2)当2a<t<3a时，[来@八源〜:中国教育#出版网％]

CP=2a+a-x=3a-x,

■：PD2=CD2+CP2,

y=(3a-x)2+(2a)2=x2-6ax+13a2.

⑶当3ci<t<5a时，

PD=2a+a+2a-x=5a-x,[来源：〜#中八&教*网]

1/PD2=y,

/.y=(5a-x)2=(x-5a)2,

x2+a^,04x《2a

综上，可得y=x2-6ax+l3a2,2a<x<3a

(x-5a)2,3a<x<5a

「•能大体反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象.

故选：D.

点评：（1）此题重要考察了动点问题日勺函数图象，解答此类问题时

核心是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决

问题时，要理清图象的含义即学会识图.

⑵此题还考察了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理时应用，要

纯熟掌握.

3.（•本溪，第1。题3分）如图，在4ABC中,NC=90°,点P是

斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C

匀速运动，已知两点同步出发，同步达到终点，连接PM、PN、MN,在

整个运动过程中,△PMN的面积S与运动时间t时函数关系图象大

体是（）

考点：动点问题的函数图象.

分析：一方面连接CP,根据点P是斜边AB日勺中点，可得SAACP=S-CP

=SAABC；然后分别求出出发时;点N达到BC日勺中点、点M也达到AC

的中点时；结束时,△PMN的面积S日勺大小，即可推得aMPQ的面

积大小变化状况是：先减小后增大，并且是以抛物线的方式变化，据

此判断出aPMN的面积S与运动时间t日勺函数关系图象大体是哪个

即可.

解答：解:如图1,连接CP,

.・.点P是斜边AB的中点,

•''△ACP二S/\BCP=SAABC,

出发时，S△PMN=SABCP~SAABC/

・••两点同步出发，同步达到终点，

•・•点N达到BC附中点时，点M也达到AC日勺中点，

-,■SAPMN=SAABC/

结束时，$△PMN=S/\ACP=SaABC,

△MPQ的面积大小变化状况是：先减小后增大，并且是以抛物线的

方式变化，

.•.△PMN的面积S与运动时间t时函数关系图象大体是：

故选：A.

点评：此题重要考察了动点问题的函数图象，要纯熟掌握，解答此题

的核心是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，

通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分

析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会

识图.

4.（•营口，第1。题3分）如图，点P是/AOB内任意一点QP=5cm,

点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,4PMN周长时最

小值是5cm,则/AOB时度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

考点：轴对称-最短路线问题.

分析：分别作点P有关OA、OB日勺对称点C、D,连接CD,分别

交OA、OB于点M、N,连接OC、ODsPM、PN、MN,由对称的

性质得出PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA;PN=DN,OP=OD,

ZDOB=ZPOB,得出/人03=1/00口,证出400口是等边三角

2

形，得出NCOD=60。，即可得出成果.

解答：解：分别作点P有关。A、。8时对称点＜2、D,连接CD,

分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,

如图所示：

•・•点P有关OA时对称点为C,有关OB时对称点为D,

/.PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA;

•••点P有关OB时对称点为D,

「.PN=DN,OP=OD,ZDOB=ZPOB,

.-.OC=OP=OD,ZAOB=1ZCOD,

2

1••APMN周长时最小值是5cm,

/.PM+PN+MN=5,

」.CM+DN+MN=5,

即CD=5=OP,

.*.OC=OD=CD,

即aocD是等边三角形，

/.ZCOD=60°,

.-.ZAOB=30°;

故选:B.

B

点评：本题考察了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的鉴定

与性质;纯熟掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题

的核心.

5.（3分）（•桂林）（第12题）如图,在等边4ABC中,AB=10,B

D=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD,以PD为

边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A

时，点F运动日勺途径长是（）

C.3n。D.5。n

考点:。轨迹.

专项：计算题.

分析：。连结DE,作FH1BC于H,如图，根据等边三角形日勺性质

得/B=60°,过D点作DE'1AB,贝IJBE'=』BD=2,则点E'与点

2

E重叠，因此/BDE=30°,DE=«BE=2b，接着证明4DPE会

△FDH得到尸^4=口£=2丑,于是可判断点尸运动日勺途径为一条线段,

此线段到BC时距离为2炳,当点P在E点时,作等边三角形DEF1,则

DFJBC,当点P在A点时,作等边三角形DAF2,作F2Q1BC于Q,则

△DFzQgaADE,因此DQ=AE=8,因此F,F2=DQ=8,于是得

到当点P从点E运动到点A时，点F运动的途径长为8

解:连结DE,作FH1BC于H,如图，

•「△ABC为等边三角形，

/.ZB=60°,

过D点作DE'1AB,则BE'=1BD=2,

2

・・•点E'与点E重叠，

/.ZBDE=30°,DE=FBE=2«,

.「△DPF为等边三角形，

.-.ZPDF=60°,DP=DF,

.-.ZEDP+ZHDF=90°,

HDF+/DFH=90°,

・•./EDP=/DFH,

在4DPE和△FDH中，

，ZPED=ZDHF

•NEDP=/DFH，

DP=FD

.'.△DPE^AFDH,

...FH=DE=2«,

•••点P从点E运动到点A时，点F运动的途径为一条线段，此线段到

BC日勺距离为2M,

当点P在E点时,作等边三角形DE%,/BDF1=3O°+60°=9

0°,则DF」BC,

当点P在A点时,作等边三角形DAF2,作F2QIBC于Q,则aDFaQ

会Z\ADE,因此DQ=AE=10-2=8,

F]F2=DQ—8,

当点P从点E运动到点A时，点F运动的途径长为8.

点评:。本题考察了轨迹：点运动的途径叫点运动的轨迹，运用代数或

几何措施拟定点运动的规律.也考察了等边三角形日勺性质和三角形全

等的鉴定与性质.

6.（•甘肃天水，第9题,4分）如图,AB为半圆所在。。的直径，弦

CD为定长且不不小于。O的半径（C点与A点不重叠），CF1CD

交AB于点F,DE1CD交AB于点E,G为半圆弧上的中点.当点C

在众上运动时，设竟时长为x,CF+DE=y.则下图象中,能表达y与

x的函数关系的图象大体是（）

考点：动点问题的函数图象.

分析：根据弦CD为定长可以懂得无论点C怎么运动弦CD的弦心距

为定值，据此可以得到函数日勺图象.

解答：解：作0H1CD于点H,

「.H为CD的中点,

,「CF1CD交AB于F,DE1CD交AB于E,

二•OH为直角梯形日勺中位线，

・••弦CD为定长，

「.CF+DE=y为定值，

故选B.

点评：本题考察了动点问题的函数图象，解题的核心是化动为静.

7.（•黄石第1。题,3分）如图是自行车骑行训练场地日勺一部分，半圆

。日勺直径AB=100,在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀

速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修

理好继续以相似的速度运动到A点停止.设运动时间为t,点B到直

线OC的距离为d,则下图象能大体刻画d与t之间的关系是（）

M

考点：动点问题的函数图象.

分析：设运动员C的速度为v,则运动了t的路程为vt,设NBOC=a,当点C从运动到M

时，当点C从M运动到A时，分别求出d与t之间的关系即可进行判断.

解答：解：设运动员C的速度为v,则运动了t的路程为vt,

设NBOC=a,

当点C从运动到M时，

一a•打・505兀a

18018

.18Vt

•■U---------,

5兀

在直角三角形中，d=5Osina=50sin1=50sin.l0°Yt,

5兀K

，d与t之间的关系d=50sin翦匕，

K

当点C从M运动到A时,d与t之间日勺关系d=50sin（180-"%）,

K

故选C.

点评：本题考察的是动点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的核心.

8.（•烟台，第12题3分）如图,R7ZABC,NC=90",N3AC=30",AB=8,

觉得2行边长日勺正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点

A重叠。现将正方形DEFG沿A-B的方向以每秒1个单位的速度匀

速运动，当点D与点B重叠时停止，则在这个运动过程中，正方形

DEFG与/ABC的重叠部分的面积S与运动时间r之间的函数关系

图像大体是（）

考点:函数图像运动型问题

分析:【解析】

FE

(l)AD=t,DM=-,S=-Z2(0<t<2>^)；

236

(2)26Wt<6,AD=t,DM=,AG=t-2技GN=T(t-2^);

6a6

t-2V3)2=2t-273

s=s△AMD-SAANG=------1---------

66

⑵6WtW8,AG=t-2jLGN=

BD=8-t,DM=6BD=(8—。

GP=AP-AG=6+2V3-t

PD=PB-BD=t-6

S=S梯形NGPC+S梯形MDPC--)(6+273-t)+-(6(8-1)

22

+2y/3)(t-6)—一种一次函数

AGPDB

解答：故选A

点评：这是一道函数图像综合题。它结合了运动型问题，运用面积构建函数，在不同运动状态下形

成不同形式的函数形式，体现了数学中的分类思想和数形结合思想，这道题综合性较强，具

有较好的辨别度。

9.（•江苏盐城，第8题3分）如图，在边长为2日勺正方形ABCD

中剪去一种边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发，沿

A-D->E-F-G-B日勺路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止

（不含点A和点B）,则4ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大

体是（）

考点：动点问题的函数图象.

分析：根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时,Z\ABP日勺面积S与

时间t的关系拟定函数图象.

解答：解：当点P在AD上时，^ABP的底AB不变，高增大，因此

△ABP日勺面积S随着时间t时增大而增大；

当点P在DE上时,4ABP的底AB不变，高不变，因此4ABP的面积

S不变；

当点P在EF上时，4ABP的底AB不变，高减小，因此4ABP日勺面积

S随着时间t日勺减小；

当点P在FG上时,4ABP时底AB不变，高不变，因此4ABP的面

积S不变；

当点P在GB上时，4ABP的底AB不变,高减小，因此4ABP的面

积S随着时间t日勺减小；

故选:B.

点评：本题考察的是动点问题的函数图象，对的分析点P在不同的线

段上△ABP的面积S与时间t时关系是解题日勺核心.

二.填空题

1.(-湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第15题3分)

菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,

0),点B的坐标为(0,«),动点P从点A出发，沿A-B-C->D-A-

B-…的途径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移

动到第秒时，点P的坐标为(05..

考点：菱形的性质；坐标与图形性质.

专项：规律型.

分析：先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A1B玲C3D玲A所需

的时间，进而可得出结论.

解答：解:A(l,0),B(0,5/3),

AB="+g..

•.・点P的运动速度为0.5米/秒，

.1.从点A到点B所需时间=，_=4秒，

0.5

•1•沿AfB3c玲DfA所需的J时间=4x4=16秒.

也至=125...15,

16

移动到第秒时，点P正好运动到AD的中点，

P（0.5,-苧.

故答案为：（0.5,-夸）.

点评：本题考察的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的核心.

2.（■湖北省咸宁市，第16题3分）如图，已知正方形ABCD的

边长为2,E是边BC上的动点，BF1AE交CD于点F,垂足为G,

连结CG.下列说法：①AG>GE;②AE=BF;③点G运动的途径

长为n;④CG的最小值为G-1.其中对时的说法是一②③.（把你觉

得对时时说法的序号都填上）

考点：四边形综合题.

分析：根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重叠时,AG=GE,故①错误;求得

NBAE=NCBF,根据正方形的性质可得AB=BC,NABC=NC=90。，然后运用“角角

边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形相应角相等可得AE=BF,判断出②

对的；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，然后求出

弧BD的长度，判断出③对的；正方形的对角线减去圆弧的半径就是CG的最小值，

通过计算从而判断出④错误.

解答：解:,•,在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分，

・••当E移动到与C重叠时,AG=GE,故①错误；

,/BFXAE,

/.ZAEB+ZCBF=90°,

ZAEB+ZBAE=90°,

ZBAE=ZCBF,

在4人8£和4BCF中，

'NBAE=/CBF

<ZABE=ZBCF=90°，

AB=BC

△ABE合△BCF（AAS）,

故②对的；

根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的J长，

圆弧BD的长=四2注_2?=（故③对啊

360_

CG的I最小值为AC-AB=4A/2-2,故④错误；

综上所述，对的的I结论有②③.

故答案为②③.

点评：本题考察了正方形的性质,全等三角形的鉴定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，

熟记性质并求出4人8£和4BCF全等是解题的核心,用阿拉伯数字加弧线表达角更形象

直观.

3.（•湘潭，第15题3分）如图，将aABC绕点A顺时针旋转60°得

到aAED,若线段AB=3，则BE=3.

A

考点：旋转的性质.

分析：根据旋转的性质得出NBAE=6（T,AB=AE,得出△BAE是等边三角形，进而得出BE

=3即可.

解答:解：：将△ABC绕点A顺时针旋转60。得到△AED,

ZBAE=60°,AB=AE,

ABAE是等边三角形，

BE=3.

故答案为：3.

点评：本题考察旋转的性质，核心是根据旋转变化前后，相应线段、相应角分别相等，图形

的大小、形状都不变化.要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向;③

旋转角度.

4.（•永州，第16题3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐

标（—2,0）,△ABO是直角三角形，/AOB=60°.现将RtZXA

BO绕原点O按顺时针方向旋转到RtAAzB'O的位置，则此时

考点：扇形面积的计算；坐标与图形性质；旋转的性质.

分析：根据点A的坐标（-2,0）,可得0A=2,再根据含30。的直角三角形的性质可得OB的长,

再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解.

解答:解:..•点A的坐标（-2,0）,

/.0A=2,

---△ABO是直角三角形，ZAOB=60。，

ZOAB=30",

OB=1OA=1,

2

边。B扫过的面积为：90X71X12=ln.

3604

故答案为:工兀

4

点评：本题考察了扇形的面积公式:其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半

360

径），或S=」R,1为扇形的弧长,R为半径.

2

5.（浙江衢州16,4分）如图，已知直线y=—：x+3分另交无轴、y

轴于点AsB.P是抛物线y=+2x+5上日勺一种动点，其横坐标为a,

过点P且平行于y轴的直线交直线y=-3+3于点。，则当PQ=8Q

4

时，。时值是▲

【答案】4或-1或4+26或4-2后.

【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点时坐

标与方程的关系；勾股定理；分类思想和方程思想的应用.

【分析】根据题意，设点P的坐标为,-$2+24+5),则

-]a+3).

3

在y=-jx+3令x=0得y=3.B（0,3）.

,/PQ=BQ

-2«2+ll«+8=5p|.

由-2a-+1la+8=5。解得a=4或a=—1.

由-+1la+8=—5a彳导a=4+2-$/5或。=4-2-s/5.

综上所述，a时值是4或-1或4+2君或4-

三.解答题

1.(•宜昌，第21题8分)如图,已知点A(4,0),B(0,4正)，把

一种直角三角尺DEF放在aOAB内，使其斜边FD在线段AB上，

三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中/EFD=30°,ED=2,点G

为边FD的中点.

(1)求直线AB日勺解析式；

(2)如图1,当点D与点A重叠时，求通过点G时反比例函数y=X

X

(k*0)的解析式;

(3)在三角尺滑动的过程中，通过点G时反比例函数的图象能否同步

通过点F?如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能,阐明理

考点：反比例函数中的动态综合型问题.

分析：(1)设直线ABrJ解析式为丫=|«+加把点A、B的坐标代入，构成方程组，解方程组

求出k、b时值即可;

(2)由RSDEF中，求出EF、DF,在求出点D坐标,得出点F、G坐标，把点G坐标

代入反比例函数求出k即可；

(3)设F(t,一心+4遂)，得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式

为丫=里用待定系数法求出t、m,即可得出反比例函数解析式.

X

解答：解：(1)设直线AB的解析式为尸kx+b,

A(4,0),B(0,473),

f4k+b=0

解得:

b=4y/3

二直线AB的解析式为：y=-J§x+4F；

(2)1•在RtADEF中,ZEFD=30°,ED=2,

EF=2A/3,DF=4,

.・,点D与点A重叠，

D(4,0),

F(2,2«),

G(3,&),

反比例函数y=X通过点G,

X

k=35/3,_

・••反比例函数的解析式为：y=";

x

(3)通过点G的反比例函数的图象能同步通过点F;理由如下：

•.・点F在直线AB上，

•••设F(t,-遮t+4后，

又：ED=2,

D(t+2,-V3t+2\/3)>

•.・点G为边FD的J中点.

G(t+1,-心+3«),

若过点G口勺反比例函数的图象也通过点F,

设解析式为y=工，

X

'-收+加号

则，

-73t+4V3=Y

整顿得：(-731+373)(t+1)=(-«1+4加)t,

解得：t=W

2

.m.15V3

4

二通过点G的反比例函数的图象能同步通过点F,这个反比例函数解析式为：y

-15V3

一.

4x

点评：本题是反比例函数综合题目，考察了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函

数的解析式、坐标与图形特性、解直角三角形、解方程组等知识;本题难度较大，综合

性强，用待定系数法拟定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的核心.

2.(•湘潭，第26题10分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴

于A(-1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C,连接BC,动点P以每秒

1个单位长度日勺速度从A向B运动，动点Q以每秒加个单位长度日勺速

度从B向C运动,P、Q同步出发，连接PQ,当点Q达到C点时,P、

Q同步停止运动，设运动时间为t秒.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,当aBPQ为直角三角形时，求t时值；

⑶如图2,当t<2时，延长QP交y轴于点M,在抛物线上与否存在

一点N,使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与

t时值;若不存在，请阐明理由.

考点：二次函数中动点综合题.

分析：(1)根据二次函数y=x2+bx+c的图象通过A(-1,O)、B(3,0)两点,应用待定系数

法，求出二次函数欧I解析式即可.

(2)一方面根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q/J

坐标各是多少;然后分两种状况:①当NQPB=90。时；②当NPQB=90。时;根据等腰

直角三角形的性质，求出t『、J值各是多少即可.

(3)一方面延长MQ交抛物线于点N,H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所

在的直线的解析式，然后PQH勺中点恰为MN的中点，判断出与否存在满足题意的点N

即可.

解答：解：(1),••二次函数y=x，bx+c的图象通过A(-1,0)、B(3,0)两点，

fl-b+c=O

,9+3b+c=0

解得产T

c=-3

•••二次函数的解析式是:y=x2-2x-3.

(2)/y=x2-2x-3,

二点C的坐标是(0,-3),

BC=V(3-0)2+[0-(-3)]

设BC所在出J直线W、J解析式是:y=mx+n,

则产"0,

[n=-3

解得产1.

[n=-3

二BC所在的直线的解析式是：y=x-3,

••・通过t秒,AP=t,BQ=。，

，点P欧J坐标是(t-1,0),

设点Q的坐标是(x,y),

OB=OC=3,

/.ZOBC=ZOCB=45°,

则y=\^txsin45°=&tx^=t,

BP=^/2tXcos45°=V^txJ^=t,

点QH勺坐标是(3-t,t),

当NQPB=90。时,

点P和点Q口勺横坐标相似，

点P的坐标是(t-1,0)，点Q的坐标是(3-t,t),

t-1=3-t,

解得t=2,

即当t=2时，△BPQ为直角三角形.

②如图2,

当NPQB=90。时，

---ZPBQ=45",

Bp=&BQ

BP=3-(t-1)=4-t,BQ=V2t,

.­-4-t=V2XV2t

即4-t=2t,

解得t=§,

3

即当t4时,△BPQ为直角三角形.

3

综上，可得

当小BPQ为直角三角形,t=,或2.

3

(3)如图3,延长MQ交抛物线于点N,H是PQ/J中点,

设PQ所在的I直线的解析式是y=cx+d,

,・•点P欧I坐标是(t-1,0)，点QH勺坐标是(3-t,t),

'c(t-1)+d=0

c(3-t)+d=t

c=4-2t

解得,

PQ所在的直线的解析式是y=_2_x+匚二

4-2t4-2t

+-t2

・•・点M%J坐标是（0,----）

4-2t

..t-l+3-tt+0t

------2一口’

，PQ肚I中点H肚J坐标是

假设PQ欧）中点恰为MN的中点,

22

尹2f"

•・•点N的坐标是（2/t二亡一）,

4-2t

又,••点N在抛物线上，

解得t=倔-3或5回（舍去）,

22

••斤3J-3

22

当t<2时，延长QP交y轴于点M,在抛物线上不存在一点N,使得PQ的中点恰为

MN的J中点.

点评:（1）此题重要考察了二次函数综合题,考察了分析推理能力，考察了分类讨论思想的

应用，考察了数形结合思想的应用，考察了从已知函数图象中获取信息，并能运用获取

的信息解答相应的问题的能力.

（2）此题还考察了等腰三角形的性质和应用，考察了分类讨论思想的应用，要纯熟掌

握，解答此题的核心是要明确：①等腰三角形的两腰相等.②等腰三角形的两个底角

相等.③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠.

（3）此题还考察了待定系数法求函数解析式rJ措施，要纯熟掌握.

3.(•永州，第26题10分)已知抛物线y=cix2+bx+c日勺顶点为(1,

0),与y轴的交点坐标为(0,l).R(Ll)是抛物线对称轴I上的一

4

点.

(1)求抛物线y=ax2+bx+c日勺解析式；

(2)若P是抛物线上的一种动点(如图一)，求证:点P到R时距离

与点P到直线y=-1时距离恒相等；

(3)设直线PR与抛物线日勺另一交点为Q,E为线段PQ时中点，过点

P、£、0分别作直线丫=-1的垂线.垂足分别为M、F、N(如图二).

求证：PF1QF.

考点：二次函数动点综合题.

专项：计算题.

分析：(1)设顶点式y=a(x-1)2,然后把(0,」代入求出a即可；

4

(2)根据二次函数图象上点的坐标，设P(x,2x-1产)，易得PM=J：(x-1产+1,然后

44

运用两点区I距离公式计算PR,得到PR2=(x-1)2+[1(x-1)2-1]2,接着根据完

全平方公式变形可得PR2=[*-1)，1][则PR=l(x-1)2+1,因此PR=PM,于是可

判断点P到R的距离与点P到直线y=-1欧I距离恒相等；

(3)根据(2)的结论得到得QN=QR,PR=PM,则PQ=PR=QR=PM+QN,再证明EF为

梯形PMNQ的J中位线，因此EF=1(QN+PM),则EF=1PQ=EQ=EP,根据点与圆及I

22

位置关系得到点F在以PQ为直径的圆上，则根据圆周角定理得NPFQ=90。，即有

PF±QF.

解答：(1)解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2,

把(0,当代入得a=L

44

因此抛物线解析式为y=1(x-1)2；

4

(2)证明:如图1,设P(x,l(x-1)2),则PM=l(x-1)2+1,

44

PR2=(x-l)2+[J：(x-1)2-1]2=(x-1)2+[A(X-1)]4-l(x-1)2+1=[1(X-

4424

l)]4+l(x-1)2+l=[l(x-1)2+1]2,

/.PR=1（x-1）2+1，

4

PR=PM,

即点P到R的距离与点P到直线y=-1时距离恒相等;

(3)证明:由(2)得QN=QR,PR=PM,

,PQ=PR=QR=PM+QN,

EF±MN,QN±MN,PM±MN,

而E为线段PQ的中点，

AEF为梯形PMNQ怅I中位线，

EFJ(QN+PM),

2

EFJPQ,

2

EF=EQ=EP,

.,.点F在以PQ为直径的圆上，

ZPFQ=90°,

PF±QF.

1

4-

X

图一图二

点评：本题考察了二次函数综合题:纯熟掌握二次函数图象上点的坐标特性和梯形的中位线

性质；理解坐标与图形性质;会运用待定系数法求二次函数解析式和运用两点间的距离

公式计算线段的长.要充足运用（2）的结论解决（3）中的问题.

4.（•聊城，第25题12分）如图，在直角坐标系中，RtaOAB时直

角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发，以每秒I个

单位长度的速度，沿AO向终点。移动；同步点N从点O出发，以每

秒1.25个单位长度日勺速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x

秒(0<x<4)时，解答下列问题：

(1)求点N的坐标(用含x时代数式表达)；

(2)设△OMN日勺面积是S,求S与x之间的函数体现式;当X为什

么值时，S有最大值？最大值是多少.？

(3)在两个动点运动过程中，与否存在某一时刻，使aOMN是直角三

角形？若存在，求出x时值;若不存在,请阐明理由.

考点：相似形综合题.

分析：(1)由勾股定理求出0B,作NP_L0A于P,则NPHAB,得出△OPN-△OAB,得出比例

式典求出Op、pg即可得出点N的坐标；

ABOA0B

(2)由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；

(3)分两种状况：①若NOMN=90。,则MNIIAB,由平行线得出△OMN-&OAB,得出

比例式，即可求出x的值；

②若NONM=90。,则NONM=NOAB,证出AOMNS△OBA,得出比例式，求出X的值

即可.

解答：解：(1)根据题意得:MA=xQN=1.25x,

在Rt△OAB中，由勾股定理得：oB=7OA2+AB2=V42+32=5,

作NPJ_OA于P,如图1所示：

则NPIIAB,

/.AOPN-AOAB,

.PN_QP_Qhl

一AB=OA-OB

即PN=OP=1.25x

4~5

解得：OP=x,PN=2T，

4

.,.点NK'J坐标是(x,—x)；

4

(2)在40MN中,0M=4-x,。M边上W、J高PN=^Y,

4

S=loM»PN=l(4-x)・2丫=-卫x2+2,

22482

r.S与x之间的I函数体现式为S=-Jx2+Jx(0<x<4),

82

配方得：S=-至(x-2)2+4

82

1/-.?<0,

8

AS有最大值，

当x=2时，S有最大值，最大值是上

2

(3)存在某一时刻，使4OMN是直角三角形，理由如下:

分两种状况：①若NOMN=90。，如图2所示：

则MNIIAB,

1H^1OM=4-X,ON=1.25X,

•••MNIIAB,

△0MN-△OAB,

.QM_QN

"OA^OB'

即匕

4一5

解得：x=2；

②若NONM=90。，如图3所示：

则NONM=ZOAB,

此时0M=4-x,ON=l.25x,

ZONM=NOAB,ZMON=ZBOA,

△OMN-△OBA,

-.---O--M=-O--N-/

OBOA

即4-x325x,

5-4

解得:x=昌;

41

综上所述:x的值是2秒或包秒.

41

点评：本题是相似形综合题目，考察了相似三角形的鉴定与性质、勾股定理、坐标与图形特

性、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；

本题难度较大，综合性强，特别是（3）中,需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才

干得出成果.

5.（江苏淮安第28题）如图，在RtZ\ABC中"ACB=90°,A

C=6,BC=8。动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿

AB向点B匀速运动；同步，动点N从点B出发,以每秒3个单位长

度的速度沿BA向点A匀速运动。过线段MN附中点G作边AB时

垂线，垂足为点G,交△ABC的另一边于点P,连接PM、PN,当点N

运动到点A时，M、N两点同步停止运动，设运动时间为t秒。

。）当t=秒时，动点M、N相遇；

（2）设4PMN日勺面积为S,求S与t之间的函数关系式;

（3）取线段PM的中点K,连接KA、KC,在整个运动过程中，^KAC

的面积与否变化？若变化，直接写出它日勺最大值

和最小值;若不变化，请阐明理由。

【答案】见解析

【命题立意】考察了动点问题，二次函数的最值问题

6.(江苏连云港第24题10分)已知如图，在平面直角坐标系X。

中,直线片\R(3)x-2黄■与x轴、y轴分别交于43两点，P

是直线上一动点，。尸日勺半径为1.

【思路分析】(1)判断点与圆的位置关系，须明确点与圆的三种位置

关系与数量关系的转换。须求出点o到直线AB的距离，先求出

点A、B的坐标，然后可运用三角函数或相似形或面积法求出

AB边上时高即可。

(2)求弧长，须明确弧长公式浜错误!，根据公式须求出劣弧所对日勺圆心

角时度数,代入公式即可求理。根据题意，存在两种位置关系,分别讨

论，画出图形，由(1)容易求出圆心角日勺度数。

(3)画出相应图形，讨论存在两种位置关系，分别在x轴日勺上方和下

方。由PD=1,,易求出AD的长，根据OA=2,求出

OD时长。

【答案】(1)由直线片8的函数关系式片错误!X-2错误!，得其与两坐标

轴交点♦(2,0),B(0,-2我

在直角△0/8中，tan/084=错误三错误!，/(934=3。°.

如图1,过点。作OH1AB交AB于煎H。

在△03"中，OH=OB-sfBA=p

\R(3)>1原点。在。尸

外3分

(2)如图2,当。尸过点8点户在y轴右侧时，。尸被y轴所截得时

劣弧所对圆心角为120°.

「•弧长为错误尸错误!.

同理，当。尸过点8,点尸在y轴左侧时，弧长同样为错误!.

因此当。尸过点8,。户被y轴所截得时劣弧长为

错误!..........................6分

(3)如图3,当。户与x轴相切，且位于x轴下方时,设切点为。.

在直角△。/4户中,/。=•ton/。尸/=1xtan30°=

错误!.

此时。点坐标为(2-\F(\R(3),3),

0)............................................8分

当。尸与x轴相切，且位于x轴上方时，根据对称性可以求出切

点坐标(2+