广东省江门市2022年高考数学二模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知2=(1,3)4=(2,2)工=(〃,—1),若(。-3)_1人则〃等于()

A.3B.4C.5D.6

2.已知函数/(x)=2tan(3x)(co>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为兀，若定义max{。/}=(

b,a<b

(713兀、

则函数力(x)=max{/(x),f(x)cosx}在区间［爹，亍J内的图象是()

x+y-2<0

y—2

3.已知实数x,>满足约束条件〈x-2y—2M0,则目标函数z=i—r的最小值为

.x+1

4.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为()

即左)HI总

8

C.8+2"D.8+4-

3

5.已知函数/G)=sin(2x+(p),其中(pw(O$,若Vx€RJ(x)4/恒成立，则函数/(X)的单调递增区

间为()

兀71.71,2兀八、

左兀一一,&冗+一(kGZ)B.女死一一,匹+——(kGz)

3633

712TI2兀

KI+—,攵兀+——(kGz)kTi,kJi+_(kGZ)

33

“、%3+sinx

6.已知函数/(X)=7---------------为奇函数，则机=()

(1+x)(m-x)+ex4-e-x

1

A.-B.1C.2D.3

2

7.已知函数/G)=x+efg(x)=ln(x+2)—4e“』其中e为自然对数的底数，若存在实数x,使

0

/(%)-g(%)=3成立，则实数a的值为()

A.—ln2—1B.—l+ln2C.—In2D.In2

，/、2A-1,A:>0J/11Y

8.已知/(x)=1C，则//log5=()

-x,x<0<23J_

22

A.2B.-C.--D.3

33

9.已知函数f(x)=lcosxl+sinx,则下列结论中正确的是

①函数/(x)的最小正周期为兀；

②函数/(x)的图象是轴对称图形；

③函数/*)的极大值为"；

④函数/(x)的最小值为一1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

10.函数/(x)=sin(2x+*0W高的值域为()

A./B.0,1C.fo,l]D.-

ii.如图在直角坐标系中，过原点。作曲线y=x2+i(x2o)的切线，切点为「，过点p分别作x、y轴的垂线,

垂足分别为A、B,在矩形。4尸8中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为()

11

A，6B5C4D2

⑵已知函数/(x)=sin((ox+(p)(co>(J,.<?的最小正周期为兀J(x)的图象向左平移2个单位长度后关于V轴对

则小吃)的单调递增区间为(

称,)

715冗兀，兀，,r

A.——+火兀，——+Z兀keZB.——+kit,—+女兀kGZ

3636

715兀兀，兀，,r

C.一一+ku,——十k7tkeZ——+k式,—+上兀kwZ

121263

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若奇函数f(X)满足/G+2)=-/(x),g(x)为R上的单调函数，对任意实数XGR都有g[g(x)—2、+2]=1,

当xe[o,l]时，/(x)=g(x),则/(log12)

2

14.已知无盖的圆柱形桶的容积是127r立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么

圆桶造价最低为.兀.

15.在数列他｝中，已知a=Laa=2"(nsN*),则数列｛a｝的的前2"+l项和为S=________.

n1nM+In2n+l

16.已知产为抛物线C：m=8y的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),则△PM尸周长的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到

了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出的新奇水果的箱数X(单位：十箱)与成本y(单位：千元)

的关系如下:

Xi3412

y51.522.58

y与x可用回归方程y=Mgx+a(其中a,5为常数)进行模拟.

(I)若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元.I.

(II)据统计，1。月份的连续11天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图所示.

(i)若从箱数在［40,120)内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在［80,120)内的概率;

(ii)求这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值.(每组用该组区间的中点值作代表)

参考数据与公式：设，=怛》，则

22。—『)(),—y)X(r-F)2

Ty

iii

i=\i=\

0.541.81.530.45

Xc-F)(y-y)

ZX人jj

线性回归直线y=Algx+a中，b=i-i-------------,a-y-bT.

一丁)

i=\

18.(12分)已知抛物线W=2Px(p>0),过点C(-2,0)的直线/交抛物线于AB两点，坐标原点为。，况.丽=12.

(1)求抛物线的方程;

(2)当以AB为直径的圆与轴相切时，求直线/的方程.

19.(12分)已知函数/(x)=(x+a)ln(x+a)+ex+x.

(1)当4=1时，求函数/(X)的图象在X=0处的切线方程；

(2)讨论函数力(x)=/(x)-e.r-x的单调性；

(3)当a=0时，若方程〃(x)=/G)-&-x=机有两个不相等的实数根x,x,求证：ln(x+x)>ln2-l.

1212

20.(12分)在中，角的对边分别为a,b,c.m知.二&,且

(6f-/7+c)(sinA-sin3-sinC)=csinC-2asinB.

(1)求cosC的值;

(2)若4抽。的面积是2户，求△加。的周长.

21.(12分)如图，A8C。是正方形，点P在以8C为直径的半圆弧上(P不与8,C重合)，E为线段8c的中点,

现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCDI平面BCP.

(1)证明：5尸_1_平面。CR

(2)三棱锥。一8PC的体积最大时，求二面角8一E的余弦值.

22.(10分)已知点A为圆C：(X一11+>2=1上的动点，。为坐标原点，过2(0,4)作直线Q4的垂线(当A、O

重合时，直线。4约定为丁轴)，垂足为以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求点M的轨迹的极坐标方程:

(2)直线/的极坐标方程为Psin[°+gJ=4,连接04并延长交/于8,求\OA

的最大值.

\0B

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

先求出a-c=(l-〃,4),再由(a-c)_L力，利用向量数量积等于0,从而求得〃.

【详解】

由题可知2-2=(1-〃,4),

因为(£一")_1况所以有(1-〃)X2+2X4=0,得〃=5,

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

2.A

【解析】

由题知/")=2tan(3x)(3>0),利用7=而求出8,再根据题给定义，化简求出〃G)的解析式，结合正弦函数和

正切函数图象判断，即可得出答案.

【详解】

根据题意，/(x)=2tan(3x)((o〉0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为兀，

JTJT

所以/(x)=2tan(3x)(3>0)的周期为兀，则(0=_=一=1,

T兀

2sinx,xeIq，兀

所以力(x)=max{2tanx,2sinx}=<、，

一(3K1

2tanx,xeI7i,?I

由正弦函数和正切函数图象可知A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.

3.B

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，目标函数Z=E的几何意义为动点到定点。(-1,2)的斜率，利用数形结

x+1

合即可得到Z的最小值.

【详解】

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

目标函数Z=—1的几何意义为动点MG,y)到定点£>(-1,2)的斜率，

x+1

当"位于A0，一争时，此时D4的斜率最小，此时，_-2_2_5.

z=_=-

I2)mi„rrr4

故选B.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用Z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.

4.D

【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积.

【详解】

由三视图知几何体是四棱锥，如图,

且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,

所以S=2x2+2xlx2x2+2x1.x2x272=8+45/2,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.

5.A

【解析】

Vx€/?,/(%)</R=>/W=/3=1，从而可得①=?，/(x)=sin2x+g,再解不等式

max\6J6V6J

7C7T7T

2kli__<2x+_<2kli+_(&ez)即可.

262

【详解】

由已知，/(x)=

max

sin(<P+?)=±l,(PG[o,5j,所以(P=£,

[71TC7C7T

f(x)=sinl2x+--由2Z冗--<2^+—<2kn+—(左£%),

262

n兀

解得，--<x<kn+_(/：GZ).

36

故选:A.

【点睛】

本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.

6.B

【解析】

根据一(X)整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出〃？的值.

【详解】

依题意/(X)是奇函数.而y=x3+sinx为奇函数，y=ex+er为偶函数，所以g(x)=(l+x)(m—x)为偶函数，故

gG)—g(—x)=O,也即(l+x)G〃一%)_(1—x)G%+x)=O,化简得(2加一2)x=0,所以加=1.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.

7.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea-x,

1X4-1

令y=x-In(x+1),v-1------=...-，

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是减函数，(-L+8)上是增函数,

故当x=-l时，y有最小值-1-0=-1,

而ex-a+4ea-仑4,（当且仅当ex-a=4ea-x,即x=a+lnl时，等号成立）；

故f（x）-g（x）>3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；

Skx=a+lnl=-1,即a=-l-Inl.故选：A.

8.A

【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.

【详解】

Vlog1<0,/（log，）=-log,=log,3>0；

•••/"（k）g,，=/（log,3）=3-l=2；

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.

9.D

【解析】

因为）（兀+兀）Tcos（x+7t）I+sin（x+兀）=1cosxl-sinx^/（x）,所以①不正确；

因为/W=lcosxl4-sinx,所以/（—+x）=1cos（—+-v）I++sinxI+cosx,

f（；一九）=lcos（；-x）I+sin（；-x）=1sinxl+cosx,所以+x）=-冗），

所以函数/的图象是轴对称图形，②正确；

-71_713兀.

易知函数/⑴的最小正周期为2兀,因为函数的图象关于直线A,对称，所以只需研究函数/U）在弓，5-］上

的极大值与最小值即可.当：<尤《空时，/（x）=-cosx+sinx="sin（x-J）,且苧，令工一£=5,得

22444442

371371l—

x=—,可知函数/（x）在x=7-处取得极大值为、），③正确；

因为=,所以-1W点sin（x-54夜，所以函数〃x）的最小值为—1,④正确.

4444

故选D.

10.A

【解析】

由xe0,1^-计算出2x+?的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数y=/G）的值域.

【详解】

It7tIn<sinf2x+yj<1

vxe0,色，：.2x+—e

123

因此，函财G）=sin（2x+；的值域为-；，1

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.

11.A

【解析】

y=kx（k>0）

设所求切线的方程为y=履，联立I,,消去y得出关于X的方程，可得出△=（）,求出人的值，进而求得

切点P的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设所求切线的方程为y=匕，则人〉0,

y=kxkk>0）

联立<,，消去y得X2—履+1=0①，由△=上-4=0,解得％=2,

y=承+1

方程①为X2-2X+1=0,解得X=1,则点尸（1,2）,

所以，阴影部分区域的面积为5=］、2+1_2*>氏=（!%3-彳2+%）;=：,

0

S1

矩形Q4所的面积为S'=lx2=2,因此，所求概率为P==工.

0O

故选：A.

【点睛】

本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

12.D

【解析】

先由函数/（x）=sin（o）x+（p）的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数/（x）=sin（①龙+（p）的解析式，从而

兀兀

得出/U--）的解析式，再根据正弦函数/（x）=sinx的单调递增区间得出函数/（X-三）的单调递增区间，可得选

66

项.

【详解】

因为函数/(》)=向((0》+6(8>0,树<£)的最小正周期是兀，所以兀=彳，即co=2,所以/(x)=sin(2x+(p),

/(x)=sin(2尤+甲)的图象向左平移口个单位长度后得到的函数解析式为

6

由于其图象关于y轴对称，所以:+<P=；+2%71#WZ,又恻<?,所以e=£,所以/(X)=sin12x+高

汽、.n

所以/(x_L)=sin+—sin2x-l,

O6I6J，

7171

因为/(%)=sinx的递增区间是：-5+2Ki,2Kc+5,kwZ,

7U7TIT7U7T

由一一+2%兀W2x—-K2攵兀+—,kwZ,得：一一+kTt<x<kTi+—.keZ,

26263

TC「兀，兀，］

所以函数/。一下)的单调递增区间为一/+而，可+而(keZ).

6Lo5

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13,-3

【解析】

根据/G+2)=-/G)可得，函数/G)是以4为周期的函数，令g(x)—2.\+2=%，可求g(x)=2.l,从而可得

/(x)=g(x)=2v-l,/(log12)=-/(2-log3)代入解析式即可求解.

【详解】

令g(x)—2、+2=左，则g(x)=女+2*—2,

由g[g(x)—2»+2]=1,则g(攵)=1,

所以gG)=k+2-2=l,解得攵=1,

所以g(x)=2*-1,

由xeb,l］时，/(x)=g(x),

所以xe［o,l］时，/(x)=2r-l；

由/(x+2)=_/(x),所以/(x+4)=_/(x+2)=/(x),

所以函数/(%)是以4为周期的函数，

/(log12)=/(log3+log4)=/(log3+2)=/(log3-2),

22222

又函数/(x)为奇函数，

所以/(log12)=-/(2-log3)=-122%3-f|=，.

22L」3

1

故答案为：一9

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

14,36071

【解析】

设桶的底面半径为厂，用厂表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值.

【详解】

设桶的底面半径为r,高为h，则兀r2〃=12n,

,12

故〃=一,

，2

“MC12”48071

/.圆通的造价为y=30-7ir2+20-27ir--=30兀厂2+-------

厂2

12480兀2407124071.L~240K240K…

解法一：y=30•兀厂2+20-2兀尸••一=30TIn+----=30nri+----+----->3J30Kn------------------=360K

r2rrrr

“240K八

当且仅当30兀1=^—,,即/'=2时取等号.

...480K,480TI

解法二：y=3O7ir2+-——则y=6071/--,-

rr2

,„..480K

令y〉o,gp6071r----->0,解得r>2,此函数在(2,+8)单调递增；

厂2

,c，八480K

令y<0,gp6O7ir-.----<0,解得0<r<2,此函数在(0,2)上单调递减

r2

，八“480兀

令y=0,即607ir-----=0,解得r=2,

n

即当r=2时，圆桶的造价最低.

4807r

所以》—30Kx22+--------=360K

min2

故答案为：36()71

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

15.2〃+2—3

【解析】

由已知数列递推式可得数列S｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到S

n2n

再由S=S+a求解.

2n+l2n2n+l

【详解】

解：由=2"(nwN*),

1nM+I

得a•〃=2〃-i(吟2),

n-\n

=2(〃22),

a

M-l

则数列5｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.

n

2'二,〃为奇数

a=<,

“[2：,〃为偶数

/.S=(a+a+...+〃)+(。+。+...+〃)

2nI32n-\242n

=(1+2+22+...+2”T)+(2+22+…+2〃)

l-2«

=3(1+2+22+...+2“T)=3»————=3・2〃—3.

•-S=S+a=3»2”-3+2〃=2〃+2—3.

2n+l2n2n+\

故答案为：2«+2-3.

【点睛】

本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题.

16.5+717

【解析】

△PMb的周长最小，即求1尸〃1+1/5/1最小，过户做抛物线准线的垂线，垂足为。，转化为求।尸"I+IPQI最小,

数形结合即可求解.

【详解】

如图，尸为抛物线C：*2=舒的焦点，尸为C上一点，M(-4,3),

抛物线C：*2=期的焦点为尸(0,2),准线方程为'=-2.

过尸作准线的垂线，垂足为。，则有IPFHPQI

\PM\+\PF\=\PM\+\PQl>lMQ\=5,

当且仅当M,P,。三点共线时，等号成立，

所以△PMF的周长最小值为5+1(-4)2+(3-2)2=5+JT7.

故答案为：5+JT7.

【点睛】

本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q

17.(I)1131；(II)(i)P=—；(ii)125箱

【解析】

(I)根据参考数据得到。和2,代入得到回归直线方程y=3.4/+4.964,t=\gx,

再代入x=10求成本，最后代入利润公式；

(II)(i)首先分别计算水果箱数在40,80)和［80/20)内的天数，再用编号列举基本事件的方法求概率；(ii)根

据频率分布直方图直接计算结果.

【详解】

2L(/-r)(y-y)

fii1.53o.

(I)根据题意，/=』5r——--二万宝=3・4,

-T)2J?

i=i

所以4=y—B「=6.8—3.4x0.54=4.964,所以亍=3.4/+4.964.又f=lgx,所以公=3.41gx+4.964.

所以x=10时，$=3.4+4.964=8.364(千元)，

即该新奇水果100箱的成本为8314元，故该新奇水果100箱的利润15000-8364=6636.

(ID(i)根据频率分布直方图，可知水果箱数在140,80)内的天数为40x16=2

设这两天分别为a，6,水果箱数在180,120)内的天数为3x40x16=4,设这四天分别为A,B,C,D,

160

所以随机抽取2天的基本结果为(A,8),(A,C),(A,。)，(A,a),(A,b),(B,c),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),

(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种.满足恰有1天的水果箱数在[80,120)内的结果为

(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种，

Q

所以估计恰有1天的水果箱数在180,120)内的概率为P=-.

(ii)这11天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为

60xJ_X40+100X2_X40+140X_LX40+180X_LX40=125(箱)

32016080320

【点睛】

本题考查考查回归直线方程，统计，概率，均值的综合问题，意在考查分析数据，应用数据，解决问题的能力，属于

中档题型.

18.(1)y2=4x；(2)x+回+2=0或x-底+2=。

【解析】

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考

生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问，设出直线方程与抛物线方程联

立，利用韦达定理得到%+丫2,y,2，xj,，代入到。4•。月=12中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用

两种方法求出性目的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.

试题解析：(I)设1：x=my—2,代入y2=2px,得y2—2pmy+4P=1.(*)

y2y2

设A(X],yj,B(X2，y2),则y[+y2=2pm,y]yz=4p,则54=1芹=4.

因为。4-。月=12,所以咛2+丫必=12,即4+4p=12,

得p=2,抛物线的方程为y2=4x....5分

(II)由(I)(*)化为y2—4my+2=l.

yi+y2=4m,y/2=2・…6分

设AB的中点为M,则IABI=2Xm=X]+x2=m(y]+y2)—4=4m2—4,①

又|=Jl+m2|y-y|=J(l+/772)(16/722-32),②

由①©得(l+m2)(16m2—32)=(4m2—4)2,

解得m2=3,=

所以，直线1的方程为x+JJ)，+2=0,或x—JTy+2=0.…12分

考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.

19.(l)3x-y+l=0；(2)当一。-。时，〃(x)在1—a,；一”)上是减函数；当X〉；_Q时,々Q)在(l-a,+oo)

上是增函数；(3)证明见解析.

【解析】

(1)当」=1时,f(x)=(x+l)ln(x+l)+ex+x,求得其导函数f'(x),/(0),/(0),可求得函数〃x)的图象在

%=0处的切线方程；

(2)由已知得〃(％)=/0)-分一％=一+4)111*+4)(%>-4),得出导函数/r(x)=ln(x+a)+l,并得出导函数取

得正负的区间，可得出函数的单调性；

(3)当a=OB寸，〃(x)=xlnx,〃'(x)=lnx+l,由(2)得〃(幻的单调区间，以当方程力。)=加有两个不相等的

实数根，不妨设x〈无，且有0<x<-,-<x<1,一1<机<0,构造函数"(x)=〃(x)—,

।212ee2e\e)\e)

分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.

【详解】

(1)当〃=1时:/(x)=(x+1)ln(x4-1)+%,

所以/'(x)=ln(x+1)+l+e*+1=ln(x+l)+e“+2,?./(0)=3,/(O)=1,

所以函数/(x)的图象在x=0处的切线方程为丁一1=3。-0),即3x-y+l=°；

(2)由已知得。(工)=/(工)-6*—工=(1+〃)111(工+〃)(工>一〃)，.，・斤(工)=111(工+。)+1,令//(x)=0,得工=1一。，

e

所以当一a<工<1一〃时，方Q)<0,当—a时，h\x)>0,

ee

所以力（x）在卜-a）上是减函数，在-a，+8）上是增函数;

（n+oo）单调递增,

(3)当a=0时，/z(x)=xlnx,〃'（x）=lnx+l,由（2）得〃（x）在0，-上单调递减，在

Iej

所以〃(x)N/z,且尤—0时，〃(x)f0,当x->+oo时，/1(无)-+oo,/i(l)=0,

所以当方程心）=加有两个不相等的实数根R,不妨设y?且有。w＜加＜。,

3—x卜Inx—2

构造函数"（X）=h（x）-hInxjjO<x<-l,则〃，(x)=2+lnx

(2、2

X+--X

当0<x<l时，x<e=_L,所以“'(％)<0,

e2e2

1G)>ofo<%<—

.••”（外在［0,31上单调递减，且以=0,.•・“

22

由0cx<1,HG)=hG)-h一X>0,/./?(x)=/zG)>h一X,vX>1,3-X>1,/z(x)在

1

1e1112e।2eee

（；,+co）上单调递增,

x>—-%,x4-xln(x+x)>ln2-l.

20112012

所以ln(x+x)>In2-1.

12

【点睛】

本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得

出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.

20.(1)cosC=W；(2)2+273+272

【解析】

（1）由正弦定理可得,（a-b+c）（a-8-。）=。2-24。,化简并结合“：回,可求得。,仇，三者间的关系,代入余弦定理

可求得cosC；

（2）由（1）可求得sinC,再结合三角形的面积公式,可求出a,b,c,从而可求出答案.

【详解】

（1）因为（a—人+c）（sinA-sin5-sinC）=csinC-2asinB,

所以(a—b+c)(a-h-c)-c2-2ah，整理得：42+枕=2c2.

因为好"b,所以4b2=2c2,所以c=Rb.

—+/>2—C23b2+枚-2Z>2

由余弦定理可得COSC=—―一

lab2Mb2

(2)由(1)知cosC=?，则sinC=-cos2C=4、

因为AABC的面积是2户,所以；absinC=23,

即gx取2*4=2/,解得匕=2,则。=2jT,c=2j5\

故AABC的周长为：2+20+2户.

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.

21.（1）见解析（2）晅

5

【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得CD，平面8尸。，由此证得。C，8P,根据圆的几何性质证得BP，PC,