空间向量与空间角距离

关于空间向量与空间角距离第三章空间向量与立体几何学习导航学习目标1.理解直线与平面所成角的概念．2．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．3．体会向量法在求空间距离中的作用．4．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.学法指导空间中的各种角都可以转化为两条直线所成的角，可以通过两个向量的夹角求得，体现了数学中的转化与化归思想．通过本节的学习进一步体会空间向量解决立体几何中的平行、垂直、空间角、距离等问题的三步曲.第2页,共46页，2024年2月25日，星期天1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝_____________________直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ,l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ＝___________________________二面角设二面角α­l­β的平面角为θ,平面α,β的法向量为n1,n2,则|cosθ|＝________________________________[0，π]第3页,共46页，2024年2月25日，星期天2.空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝___________点面距第4页,共46页，2024年2月25日，星期天1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成角的范围相同．(

)(2)直线与平面所成角就是对应直线的方向向量与平面的法向量所成角．(

)(3)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离．(

)××√第5页,共46页，2024年2月25日，星期天B第6页,共46页，2024年2月25日，星期天3．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°,则l1与l2这两条异面直线所成的角等于(

)A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均错4．已知空间两点A,B的坐标分别为(1,1,1),(2,2,2),则A,B两点间的距离为________．A第7页,共46页，2024年2月25日，星期天求异面直线所成的角D第8页,共46页，2024年2月25日，星期天第9页,共46页，2024年2月25日，星期天第10页,共46页，2024年2月25日，星期天1．四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．第11页,共46页，2024年2月25日，星期天第12页,共46页，2024年2月25日，星期天求直线与平面所成的角如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．第13页,共46页，2024年2月25日，星期天第14页,共46页，2024年2月25日，星期天第15页,共46页，2024年2月25日，星期天第16页,共46页，2024年2月25日，星期天2.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2.求直线PA与平面DEF所成角的正弦值．第17页,共46页，2024年2月25日，星期天第18页,共46页，2024年2月25日，星期天第19页,共46页，2024年2月25日，星期天求二面角(2013·高考北京卷节选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1­BC1­B1的余弦值．[解]

(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.第20页,共46页，2024年2月25日，星期天第21页,共46页，2024年2月25日，星期天方法归纳向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤第22页,共46页，2024年2月25日，星期天解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.第23页,共46页，2024年2月25日，星期天第24页,共46页，2024年2月25日，星期天第25页,共46页，2024年2月25日，星期天利用空间向量求点到面的距离四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．第26页,共46页，2024年2月25日，星期天第27页,共46页，2024年2月25日，星期天第28页,共46页，2024年2月25日，星期天方法归纳求点到平面的距离的四步骤第29页,共46页，2024年2月25日，星期天4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．第30页,共46页，2024年2月25日，星期天第31页,共46页，2024年2月25日，星期天易错警示混淆平面法向量的夹角与二面角的关系致误(2014·衡水高二检测)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BD1­C的大小为________．120°第32页,共46页，2024年2月25日，星期天第33页,共46页，2024年2月25日，星期天[错因与防范]

用向量法求二面角的大小时，在求出〈n1，n2〉后，一定要观察分析图形，看所求二面角是与〈n1，n2〉相等的，还是互补的，如本例中所求二面角A­BD1­C为钝角，而向量法所求得的为锐角，故结论应为120°.第34页,共46页，2024年2月25日，星期天第35页,共46页，2024年2月25日，星期天第36页,共46页，2024年2月25日，星期天数学思想化归与转化思想解决立体几何问题第37页,共46页，2024年2月25日，星期天第38页,共46页，2024年2月25日，星期天第39页,共46页，2024年2月25日，星期天第40页,共46页，2024年2月25日，星期天规范解答向量法求空间角(本题满分12分)(2013·高考辽宁卷)如图,AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．第41页,共46页，2024年2月25日，星期天第42页,共46页，2024年2月25日，星期天第43页,共46页，2024年2月25日，星期天[规范与警示]

(1)解答本题的两个关键点．①作出CM∥AP，证明出过点C三条直线两两垂直，可建空间坐标系．②正确计算出法向量n1，n2是计算二面角的关键．(2)解答本题的易错点：一是证明线面关系时，步骤不规范，二是法向量计算出错．(3)解决立体几何问题一般有三