2023-2024学年北京市顺义区第一中学高二年级上册10月考试数学试卷含详解

顺义一中2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试

数学试卷

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结

束后，将答题卡交回.

—.单选题（本大题共10小题，共40.0分）

I.己知向量"=021）,”=（T，°，4）,则a+28=（）

A（-1,2,9）B.（-1,4,5）C.（1,2,-7）D.（1,4,9）

UUIUi

2.空间四边形ABCD中，AB=a<BC=b，AO=c，则CO等于（）

A.a+b-cB.c-a-bC.a-b—cD.b-a+c

3.已知空间向量『=（41,一2）,5=（几,1,1）,则“4=1”是"aLA”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量d=（―1,2,1）,石=（3,x,y）,旦a/lb，那么|〃|=（）

A.3屈B.6C.9D.18

5.已知｛。,包叶是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a+。，一定可以构成空间的另一个基底的是（）

A.aB-bC.cD.2a-3b

6.在空间直角坐标系中，点A（2,-1,3）关于平面xOz的对称点为8,则。408=

A-10B.10C.-12D.12

7.已知两点A（—3,4）,B（3,2）,过点P（l,0）的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围是（

）

A.（-1,1）B.（-oo,-l）u（l,+00）

C.[—1,1]D.（-81,4-09）

8.正方体不在同一表面上两顶点A（—3（3,—2,3）,则正方体的体积是（）A.4B.46C.64

D.19273

9.如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面A8CO是平行四边形，已知PA=a，PB=b，PC=c>

11,1

B.—a+—b+—c

222222

13,111,3

C.——a——b+—cD.—ci—bH—c

222222

10.在正方体ABC。一ABCQI中，。为线段AC的中点，点E在线段AG上，则直线OE与平面A/G所成角

的正弦值的范围是()

也6V2G

A.彳'7B.

1_1

C.D.

453352

二.填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.与向量a=。,2,—2)方向相同的单位向量是

12.如图，以长方体ABC。-A耳GQ的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间

直角坐标系，若£>4的坐标为(4,3,2),则AG的坐标为.

13.若过点P(1-4,1+〃)与点。(3,2“)直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是

14.己知正方体ABC。-44GA的棱长为1,则点B到直线AG的距离为

15.在棱长为1的正方体ABC。-4耳CQ1中，点M和N分别是正方形A5CD和的中心，点P为正方体

表面上及内部的点，若点P满足DP=mDA+nDM+kDN，其中〃八〃、keR,且加+〃+々=1,则满足条

件的所有点P构成的图形的面积是.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.已知直线自过点4(1,1),8(3,a),直线/2过点M(2,2),N(3+a,4).

(1)若/1///2,求a的值;

(2)若求a的值.

17.如图，在平行六面体.ABCO—AgGA中，48=49=44,=1,4406=44八。=NBA。=60。，设向量

AB=a,AD=b,AA^=c.

(1)用a、A、c•表示向量。氏A。；

(2)求|AC|.

18.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCQ是正方形，平面ABCQ,PD^AB^X,E是PB的中点.

(1)求直线8。与直线PC所成角的余弦值;

(2)求证：PCI平面A£>£

(3)求点8到平面ADE的距离.

19.在三棱柱ABC-A4G中，侧面8CG与为矩形，AC,平面BCCg,D,E分别是棱的中点.

(1)求证：AE〃平面Be。；

(2)若AC=8C=想=2,求直线AB与平面片6。所成角的正弦值.

20.如图1,在RtZ\ABC中，/C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE〃BC,DE=2.将

△ADE沿DE折起到AAiDE的位置,使A£J_CD,如图2.

⑵若M是AD的中点，求CM与平面A)BE所成角的大小；

⑶线段BC上是否存在点P,使平面AJ)P与平面ABE垂直？说明理由.

21.如图，在四棱锥P-4BCD中，E4,平面ABC。，AC_LAO,AB1BC,NBC4=60，AP=AD

=AC=2,E为CD的中点，M在AB上，且=

(1)求证：£20〃平面PAD；

(2)求平面PAO与平面P8C夹角的余弦值;

(3)点尸是线段PO上异于两端点任意一点，若满足异面直线针与AC所成角为45，求■的长.

顺义一中2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试

数学试卷

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结

束后，将答题卡交回.

—.单选题(本大题共10小题，共40.0分)

I.己知向量"=021),"二㈠内⑸，则a+28=()

A.(-1,2,9)B.(-1,4,5)C.(1,2,-7)D.(1,4,9)

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解.

【详解】•••4=(1,2』)，6=(—1,0,4)

.•“+»=(-1,2,9)

故选：A.

ULlUl1

2.空间四边形A8CO中，A6=a，BC=b，AO=c，则CO等于()

A.a+b-cB.c—a-bC.a-b—cD.b-a+c

【答案】B

【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.

【详解】如图所示，根据向量的运算，可得CD=BD—BC=(AD—AB)-BC=-a-b+c.

故选：B.

3.已知空间向量”=(4,1,—2),5=(/1,1,1),则“4=1”是",八厂的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】当4=1时，a=(1,1,-2),6=(1,1,1),所以a1=0,即a_LJ，故充分;

当a_L。时，a-b=Q<即+1-2=0解得4=±1,故不必要;

故选：A

【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.

4.已知向量&=(—1,2,1)力=(3,x,y),且切区,那么|坂|=()

A.3A/6B.6C.9D.18

【答案】A

【分析】根据题意，设6=切，即(3,x,y)=Z(-l,2,1),分析可得x、丁的值，进而由向量模的计算公式计

算可得答案.

【详解】根据题意，向量。=(-1,2,1),6=(3,x,)，)，且W/。，

则设匕=加，即(3,x,y)=k(-l,2,1),

则有Z=—3，则x=—6,丁=一3,

则6=(3,-6,-3),故闻=,9+36+9=3-；

故选：A.

5.已知｛a,"c｝是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a+。，一定可以构成空间的另一个基底的是()

A.aB.bC.cD.2a-3b

【答案】C

【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】解：对于A选项，a=g(a+〃)+g(a-力)，故

不能构成空间的另一个基底；

对于B选项，8=g(a+b)-g(a—b),故不能构成空间的另一个基底；

对于C选项，不存在使得c=x(a+%)+y(a—成立，故能构成空间的另一个基底；

1

x+y=22

对于D选项，假设存在使得2a-3/?=x(a+b)+y(a-〜),贝卜解得《,故

x-y=-3>

2a-?>b=-^(a+b]+^(a-b),故不能构成空间的另一个基底；

故选：C

6.在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为8,则。4.08=

A.-10B.10C.-12D.12

【答案】D

【分析】由题意，根据点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点8(2,1,3),求得OAOB的坐标，利用向量的数量积的

坐标运算，即求解.

【详解】由题意，空间直角坐标系中，点A(2,—1,3)关于平面X。的对称点8(2,1,3),

所以04=(2,-1,3),03=(2,1,3),则04・03=2、2+(-1)、1+3*3=12,故选D.

【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量

数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7.己知两点A(—3,4),B(3,2),过点P(LO)的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围是(

)

A.(-1,1)B.(-oo,-l)u(l,+oo)

C.[—1,1]D.(-8,-l]u[l,+oo)

【答案】D

【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围.

详解：•••点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线L与线段AB有公共点，.•.直线1的斜率k^kpB或

k<kpA,

4-02-0

；PA的斜率为-----=-1,PB的斜率为-----=1,

-3-13-1

直线1的斜率kNl或k0-1,

故选D.

点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础.直线的倾斜角和斜率的变

化是紧密相联的，tana=k，一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.

8.正方体不在同一表面上的两顶点A(-l,2,-1),3(3,-2,3),则正方体的体积是()

A.4B.4百C.64D.19273

【答案】C

【分析】先根据题意可知A8是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB,再根据正方体的棱长求出

体积.

【详解】解：•••正方体中不在同一表面上两顶点4（-1,2,-1）,B（3,-2,3）,

；.A8是正方体的体对角线，=J16+16+16=4百，

.•.正方体的棱长为4,正方体的体积为64.

故选：C.

9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO是平行四边形，已知PA=a，PB=b，PC=c，

1

PE=-PD,则BE=(

2

1-1-3-

D.——a——b+-c

222

【答案】A

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

—1—

【详解】因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=a，PB=b，PC=c，PE=—PD，

2

=--PB+-BA+-BC=--PB+-(PA-PB)+-(PC-PB

22222、,2、

)3|।Q1

-PA——PB+-PC^-a--b+-c.

222222

故选：A.

10.在正方体ABC。一AB|GR中，。为线段AC中点，点E在线段AC上，则直线OE与平面45cl所成角

的正弦值的范围是（）

A/2也

B.

C.—D.—【答案】B

|_43j[32j

【分析】设正方体边长为2,如图，以。为原点建立空间直角坐标系，后由空间向量知识可得0E与平面4BG所

成角的正弦值的表达式，即可得答案.

【详解】设正方体边长为2,如图，以。为原点建立空间直角坐标系.

则0(0,0,0),4(2,0,2)C(0,2,2),3(2,2,0),0。,1,0).

因点E在线段4cl上，设A2=4AG，2e[0,l].

则=(2,0,2),AG=(-2,2,0),4B=(0,2,-2),OO=(1,1,0),

=DA,+4^=04,+/14G=(2-2424,2),OE=(1-2/1,2/1-1,2).

设平面ABC[法向量为n-(x,y,z),

n-A.C,=-2x+2y=0

则｛，取〃=(1,1,1).

n-AiB=2y-2z=0

设。石与平面43G所成角为e,

则sin6=cos(OE,〃)=-------/==------：=.

'/61(1-2/1)2+(24-1)2+43V4A2-4A+3

注意到f(2)=4A2-42+3=4^--)~+2,则/[j)〈/(/l)Wmax{/(0),/(l)}

I2)y)

=>w[2,3]nsin。w,

二.填空题(本大题共5小题，共25.0分)

11.与向量a=(1,2,-2)方向相同的单位向量是

【答案】

(333)

a

【分析】由与。方向相同的单位向量是时可计算求得结果.

7fl22

【详解】..,同=,#I--+22--+--(---2-)-=3,...向a

即与向量a=(1,2,-2)方向相同的单位向量是CT

12

故答案为:J'3I)

12.如图，以长方体ABCD-AQG。的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间

直角坐标系，若的坐标为(4,3,2),则AG的坐标为.

【答案】(T,3,2)

【详解】如图所示，以长方体ABC。—AAGA的顶点。为坐标原点，

过。的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系,

因为DB,的坐标为(4,3,2),所以4(4,0,0),G(0,3,2),

所以AG=(-4,3,2).

13.若过点与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是.

【答案】(一2,1)

【详解】试卷分析：由直线的倾斜角a为钝角，能得出直线的斜率小于0,解不等式求出实数a的取值范围.解:

•.•过点P(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角a为钝角，.•.直线的斜率小于0,

2a—a—1

---------<0<=>(a-l)(a+2)<0<=>-2<a<l,故答案为一2<a<l

3-1+a

考点：直线的斜率公式

点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系.

14.己知正方体ABCD-ABCR的棱长为1,则点B到直线AC,的距离为

【答案】

3

【分析】连接AG，过B作则8”即所求，由三角形等面积计算求解.

【详解】解：如图，连接AC”过B作8”，AG，则8”即为点B到直线AG的距离,

在正方体ABCO-ABiG"中，平面8G，.•.A3LBG，在直角中，ABxB&=AC。BH,且

AB=l,BC\=&AC,=g,所以逅，点B到直线AG的距离为日

故答案为：巨

3

15.在棱长为1的正方体A3CD—A4GA中，点M和N分别是正方形A8C。和BBCC的中心，点P为正方体

表面上及内部的点，若点P满足DP=m£)A+nDM+kDN，其中〃八”、ZeR,且zn+〃+左=1,则满足条

件的所有点P构成的图形的面积是.

【答案】B

2

【分析】因为点P满足。尸=mZ)A+〃£)M+)lZ)N，其中加、〃、keR,且“+〃+4=1,所以点A,M,N三

点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.

因为点P满足。P=s£)A+〃£)A/+女£W，其中“、〃、keR,且m+〃+左=1,所以点A,M,N三点共面,

又因为M和N分别是矩形ABCD和的中心，所以CN=B[N,AM=MC,

连接MN,AB,,则MN〃A4,所以VA4c即为经过4,M,N三点平面与正方体的截面，

故P点可以是正方体表面上线段AB-BC,AC上的点.

所以所有点P构成的图形的面积为,xjlx&xsin6O°=Y3.

22

故答案为：迫.

2

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16已知直线人过点4(1,1),B(3,a),直线A过点M(2,2),N(3+a,4).

(1)若/1///2,求。的值；

(2)若)上2,求a的值.

【答案】(1)±>/5;(2)a=0.

【分析】（1）由直线平行知斜率相等，建立等量关系得解.

（2）由直线垂直知斜率积为-1,建立等量关系得解.

【详解】解：设直线人的斜率为左,直线/2的斜率为匕

a—1(1—14-22

（1）因为《,所以42存在且左2=--------=

3-123+。一2。+1

因为所以占=&,即©a—]=―二2一，解得a=±J，

2a+\

当a=±^5时，^AM=kpM，所以A,B,M不共线，则a—i.y/5符合题意.

①当a=l时，4=0«2=1#/2=0,不符合题意；

2

②当QW1时，匕。0,因为所以左2存在且&=二1（。。一1），

a—12

则k[k）=_1,即------------1,解得a=0.

2。+1

17.如图，在平行六面体—44GR中，A8=A£>=A4]=1,/4/8=/44。=/84。=60。，设向量

（1）用a/、c表示向量DB，AC

（2）求|^c|.

【答案】（1）DB=a-b，A^C=a+b-c

（2）|AC|=V2

【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出4。关于a、b、c的表达式；（2）由（1）知

A,C^a+b-c,利用空间向量数量积的运算可求得.

【小问1详解】

DB=AB—AD-a—b»

AiC^AC-AA.^AB+AD-AA,^d+b-c；

【小问2详解】

由(1)知AC=Q+Z?—c9

由已知可得,卜W=,=i,

ab=b-c=c-a=I2xcos60=—

2

所以1=J(a+t-cj=\]a2+h2+c2+2a-b—2h-c—2c-a=V2.

18.已知四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是正方形，平面ABC£>,PD=AB=1,E是尸2的中点.

（1）求直线8。与直线PC所成角的余弦值;

（2）求证：PCJ_平面ADE

（3）求点8到平面ADE的距离.

【答案】（1）

（2）证明见解析（3）也

2

【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；

（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；

（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.

【小问1详解】

以点。为原点，分别以D4,DC,OP所在直线为无，V,z轴，建立如图空间直角坐标系.

由题意。(0,(),0),4(1,0,0),3(1,1,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),

设直线BD与直线PC所成的角为氏

\BDPC\i1

因为3。=(一1,一1,0),PC=(()/,-1),所以cos6=一|=7~尸=彳，所以直线8。与直线PC所成

|BD|.|PC|V2XV22

角的余弦值为g；

【小问2详解】

因为OA=(1,0,0),PC=((),1,-1),r>£=(|,|,1),

.—--111

所以0Ape=lx0+0xl+0x(-l)=0,r>EPC=0x-+lx-+(-l)x-=0,

222

所以尸C_LDA,PCLDE,又DAcDE=D,DA,OEu平面ADE，

所以PC_L平面ADE；

【小问3详解】

由(2)知，PC=(O,1,-1)为平面4£史的一个法向量，

设点B到平面ADE的距离为d,则d为向量£>8在向量PC=(0,1,-1)上的投影的绝对值，

\DBPC\1五

由DB=(1,1,0),得d=—；—-=—7==--,

明|2

所以点B到平面ADE的距离为—.

2

19.在三棱柱ABC-A4G中，侧面BCC4为矩形，AC,平面8CC£,D,E分别是棱的中点.

（1）求证：AE〃平面B©。；

（2）若AC=3C=M=2,求直线A3与平面片6。所成角的正弦值.

【答案】（1）答案见详解

⑵噜

【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形AEqO是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理可证：（2）建立空间

直角坐标系，利用向量法求直线与平面B|G。所成角的正弦值.

【小问1详解】

在三棱柱ABC-A4G中，MHBB\,且A4,=期，

因为力，E分别是棱AA，8g的中点,

所以AO//6E，且=

所以四边形AEg。是平行四边形，所以AE//Og,

又AE.平面4G。，。4匚平面片和。，

所以AE〃平面片G。.

【小问2详解】

分别以CA,CB,CG所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示

的空间直角坐标系C-xyz,

由题意得A(2,0,0),6(0,2,0),4(0,2,2),C,(0,0,2),0(2,0,1),

所以他=(一2,2,0),G4=(°，2,0)，CID=(2,0,-1),

设平面gG。的法向量为”=(x,y,z),

n-C,B,=012y=0

则〈，即《二C，

//•C]Z)=0\2,x—z—0

令x=l,则y=。，z=2,于是〃=(i,o,2),

(\n-AB-2VlO

所以cos(〃4D网=丽=瓦显=-记，

20.如图1,在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点，且DE〃BC,DE=2.将

△ADE沿DE折起到aADE的位置，使A£J_CD,如图2.

(2)若M是AJ)的中点，求CM与平面A)BE所成角的大小；

⑶线段BC上是否存在点P,使平面AQP与平面ABE垂直？说明理由.

【答案】(1)略(2)—(3)见解析

4

【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.

第三问的创新式问法，难度非常大

【详解】试卷分析：(1)证明AiCJ_平面BCDE,因为AiC_LCD,只需证明AiCLDE,即证明DE_L平面AiCD；

(2)建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面AiBE法向量三=(-1,2,炳)，CM=(-h

0,遂)，利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面AiBE所成角的大小；

(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则ad[0,3],求出平面AiDP法向量为

np(-3a,6,北a)

假设平面AQP与平面AiBE垂直，则njn=0,可求得0$aS3,从而可得结论.

(1)证明：VCDIDE,AiD±DE,CDClAiD=D,

；.DE_L平面AiCD,又：AiCu平面AiCD,AAiClDE

XAiC±CD,CDCIDE=D

；.AiC_L平面BCDE

(2)解：如图建系，则C(0,0,0),D(-2,0,0),Ai(0,0,2«),B(0,3,0),E(-2,2,0)

AjB=(0,3,-2仃)，-2,2,-273)

设平面AiBE法向量为门=(x,y,z)

(-------»f

A[B・n=0,伽-2氏=0.z^yy

A[E・n=0(-2x+2y-2V3Z=0x=_y

An=(-1.2,炳)

又：M(-1,0,5/3),QJ=(-1,0,5/3)

.A_113_________4一&

"C0S-lal-lnFVl+4+3'Vi+S-2-272-2

ACM与平面AiBE所成角的大小45°

(3)解：设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),贝Uae[0,3]

ApP=(0，a,-2次)，DP=(2,a,0)

设平面AiDP法向量为n1=(xj>丫[,Z[)

(rVs

则：.\"

2X[+ay[=0__1

*，-np(-3a,6,«a)

假设平面AQP与平面AiBE垂直，则ni，n=0,

A3a+12+3a=O,6a=-12,a=-2

V0<a<3

/1,(0,0,273)

不存在线段BC上存在点P,使平面AiDP与平面AiBE垂直

E(-2,0,0)