2023-2024学年陕西省西安市某中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市某中学高二（上）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合A={x|log2（x-1）<2],B={x\x<5},则（）

A.A=8B.BQAC.AQBD.AnB=0

2.若复数x=（M—i）+Q+i）i为纯虚数。为虚数单位），则实数％的值为（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.椭圆盘+4=1与工+£；=l（0<k<9）关系为（）

2599-k25-k''

A.有相等的长轴长B.有相等的离心率C.有相同的焦点D.有相等的焦距

4.下列命题为真命题的是（）

A.VxGR,——|%1+1<0B.Vx6R,-1<---<1

'1COSX

2

C.3x0GR,（/nx0）<0D.3x06R,sinx0=3

5.“a<4”是“过点（1,1）有两条直线与圆/+丫2+2丫一。=0相切”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.若ae©,7T),s讥a=号，则tan(2a+6=()

A.4cB.—4仁c•奇D.-/5

~20

7.在等腰直角三角形4BC中，4B=AC=4,点P是边4B边上异于4B的一点，光线

从点P出发，经BC,C4反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△4BC的重心，则AP

等于（）

A.2B.1C.1D.g

22

8.已知Fi、&是双曲线C：3一%=l（a>0/>0）的左，右焦点，过Fi的直线，与双曲线C交于M,N两点,

且物=3瓦羽,|F2M|=|尸2田，则C的离心率为（）

A.V-2B.V_5C.y/~7D.3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下面四个结论正确的是（）

A.已知向量句=(9,4,一4),6=(1,2,2).则■在另上的投影向量为(1,2,2)

B.若对空间中任意一点。，有声=4刃+J而+。历，则P,A,B,C四点共面

004

C.已知他，瓦就是空间的一组基底，若记=五+3则仅花，记｝也是空间的一组基底

D.若直线/的方向向量为E=(1,0,3),平面a的法向量元=(一2,0,刍，则直线11a

10.已知函数/'(x)=Asin(^a)x+0)Q4>0,a)>0,\(p\<今的部分图象如图所示，图

象与y轴交于点M，与％轴交于点C,点N在f(x)的图象上，且点M,N关于点C对称，

则下列说法其中正确的是()

A.a>=2

B.<(y+x)+/(-x)=0

C.f(x)在(-与,0)上单调递增

D.将函数f(x)的图象向左平移弓个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称

11.已知椭圆c：1+4=1上有一点尸，&、尸2分别为其左右焦点，Z.FPF=e,“iPF2的面积为s,则下

16912

列说法正确的是()

A.若。=60°,贝US=3c

B.若S=3,则满足题意的点P有4个

C.若A&PF2是钝角三角形，则sG(0,殍)

D.椭圆C的内接矩形的周长的最小值为12

12.已知棱长为a的正方体ABCD-4BiCi£>i中M为4G中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MP垂

直于MC,则下列结论正确的是()

A.点P的轨迹中包含441的中点

B.点P在侧面4人。山内的轨迹的长为手

C.MP长度的最大值为手

D.直线CQ与直线MP所成角的余弦值的最大值为?

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若双曲线经过点(3,C),且渐近线方程是丁=±3h则这条双曲线的方程是.

14.如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在两个点到原点的距离为IL则实数a的取值范围是.

15.在棱长为2的正方体力BCD-A/iCiCi中，E是CD的中点，尸是CG上的动点，则三棱锥力一DEF外接球

表面积的最小值为.

x

16.已知实数与，x2i为，为满足：i+yl=3,螃+遂=3,xxx2+y1y2=|,则|3/+4%-10|+|3x2+

4y2-10|的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.()分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保

障安全饮水2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔

渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提

高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样

本，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分立同一组数据用该组区间的中点值

代表)；

(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的答题情况，再从

这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率.

18.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知乂/加出。+ccosB=a.

(1)若。=2,b=y/~3,求△ABC的面积；

(2)若AaBC为锐角三角形，且c=2,求△ABC周长的取值范围.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD^P，底面4BCD是边长为a的正方形，侧面PAO1底面4BC0,S.PA=PD=(心

设E,尸分别为PC,BD的中点.

(I)求证：£7:7/平面H4D；

(II)求证：平面24B1平面PDC.

20.(本小题12.0分)

已知圆C过点R(2,0)、S(4,-2),且圆心。在直线2x-y-8=0上.

(1)求圆C的方程；

(2)若点P在圆C上，点4(6,0),M为4P的中点，。为坐标原点，求tan/MOA的最大值.

21.(本小题12.0分)

四棱锥P-ABC。中，四边形4BCO为梯形，其中4B〃OC,AB=2BC=2CD=4,乙BCD=60°,平面PBD1

平面ABCD.

(1)证明：PB1AD：

(2)若PB=PD,且三棱锥P—BCD的体积为，？，点F满足时=：正，求平面DBF与平面PBC所成的锐二面

角的余弦值.

22.(本小题12.0分)

已知椭圆C；各，=l(a>b>0)经过点M(0,3),离心率为(Z.

(1)求C的方程；

(2)直线，：丫=--1与椭圆。相交于4B两点,求|K4|•|MB|的最大值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：,:A={x|log2(x-1)<2}={x|l<%<5}>B={x\x<5},

AQB,

故选：C.

由集合的定义化简，从而确定集合间的关系.

本题考查了集合的化简与运算，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：•••复数z=(x2-l)+(x+l)i为纯虚数(t为虚数单位)，

•••产［1=0,解得％=1.

故选：C.

根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解.

本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：椭圆:+今=1，可得a=5,b=3,c=725—9=4,

则其长轴长2a=10,焦距2c=8,焦点坐标为(±4,0),离心率为e=g；

椭圆工+=1(0<k<9)，其中a'=725-k，b'=79-k，则c'=4,

则其长轴长2a'=2V25-k,焦距2c'=8,焦点坐标为(0,±4),离心率e'=蜡/，

所以它们有相等的焦距.

故选：D.

分别计算两个椭圆的长轴长、焦点、焦距和离心率，分析选项可得答案.

本题考查椭圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：对于4VxG/?,x2-|x|+l=(|x|-j)2+1>0,恒成立，所以A是假命题.

对于B,Vxe/?,-1<—<1,不正确，反例x=寸，—=2,所以B是假命题；

COSXJCOSX

2

对于C,3x0GR,例如Xo=l,(Znx0)=0,所以C是真命题;

对于C,VxeR,sinxe[-1,1],所以。是假命题.

故选：C.

利用分析法判断2,特殊值判断8C,正弦函数的圆心判断D.

本题考查命题的真假的判断，特称命题与全称命题的判断，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：过点(1,1)有两条直线与圆产+y2+2y-a=0相切Q点(1,1)在圆外0点(1,1)到圆心(0,1)的

距离大于半径，解得a<0.

所以“a<4”是“过点(1,1)有两条直线与圆方2+丁2+2丫一。=0相切”的必要不充分条件.

故选:B.

过点(1,1)有两条直线与圆/+y2+2y-a=0相切o点(1,1)在圆外，以此可解决此题.

本题考查充分、必要条件的判断及点圆位置关系，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：因为ae6，兀)，sina=

L3

所以cosa=—V1—sin2a=—可得tana=更吧=—tan2a="竺多--4V-5,

3cos«21-tan'a

则tan(2a+勺==一票.

'2，tan2a20

故选：D.

由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,tana的值，进而利用二倍角的正切公式可求tan2a的值，

根据诱导公式即可求解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查

了计算能力和转化思想，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：建立如图所示的坐标系：

可得B(4,0),C(0,4),故直线BC的方程为x+y=4,

△ABC的重心为(号士,匕罗)，设P(a,0),其中0<a<4,

"+出=4

则点P关于直线的对称点Pi(x,y),满足2，

层YT)=T

P2ApB

解得_a，即P】(4,4-a)，易得P关于y轴的对称点「2(-氏。)，

由光的反射原理可知3,Q,R，02四点共线,

直线QR的斜率为k==5=花，故直线QR的方程为y=露。+a),

由于直线(?/?过448c的重心(2),代入化简可得3a2-4a=0,

解得a=g,或a=0(舍去)，故P©,0),故AP=g

故选：D.

建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点Pi的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由Pi，

Q,R，P2四点共线可得直线的方程，由于过A/IBC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进

而可得4P的值.

本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：设|瓦M=m，则|瓦而=3m，设|F2Ml=|尸2川=n，

则由双曲线的定义得乃—m=2：,解得产=2a,

I3?n­n=2am=4a

所以|领|=2a，\F^N\=6a,\F2M\=\F2N\=4a,\MN\=4a,

所以△MN4为等边三角形，

所以4NMF2=60。，则"[MF2=120°,

在AF1MF2中，由余弦定理得，COSNaMF2=湍常肃正『，

即_^=生斗黠至，化简得c2=7a2,c=la,

所以双曲线的离心率为e=(=「，

故选：C.

由已知条件结合双曲线的定义可得AMMF2为等边三角形，从而得Z&MF2=120。，然后在ARMF?中，利

用余弦定理化简可得到c=「a,从而可求出离心率的值.

本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题.

9.【答案】ABC

【解析】解：A.a-6=9+8—8=9>针=9,

・••方在3上的投影向量为：*不=(L2,2),A正确；

8.；赤=;瓦？+:而+4於且六+鼻[=1,；.「，A,B,C四点共面，8正确；

O3LO3Z

C.若苍，石，沆共面，设者="W+yE，BPa+c=xa+yb>

；.口=(x-1)五+yB，则益,玄5共面，与已知矛盾，二区瓦沅不共面，可构成基底，C正确；

D•.♦3•祐=-2+3xg=0,.^/〃a或/ua,£»错误.

故选:ABC.

根据投影向量的计算公式即可判断4的正误；根据四点共面的充要条件即可判断8的正误；根据共面向量基

本定理即可判断C的正误；根据向量坐标的数量积运算及平面法向量的定义即可判断。的正误.

本题考查了投影向量的定义及计算公式，向量坐标的数乘和数量积的运算，基底的定义，四点共面的充要

条件，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查了三角函数的图象及其性质，属于中档题.

先根据点M,N关于点C对称求出点C的坐标，则函数的周期可求，然后再结合图象即可求出解析式，然后

逐一判断即可.

【解答】

解：由点M,N关于点C对称可知吗,0),故7=2©—(—/=兀，所以3=竿=2,故A正确；

所以/(无)=4sin(2支+邛)，又/(一看)=0，

所以sin(—+0)=0,即一g+0=k7T,kEZ

由|伊|<1，得<p=:所以/'(x)=4sin(2x+0,

因为/偿)=Asin27r=0,故/(x)图象关于/,0)对称，则/+x)+/(-x)=0,故B正确；

当x6(-号,0)时，2久+*(一畸,故/⑸在(—等,0)上不满足单调递增，故C错误；

将函数/(X)的图象向左平移着个单位长度后得y=4sin[2(x+*)+§=Asin(2x+^),x=0时显然取不到

最值，故所得函数图象不关于y轴对称，故。错误.

故选：AB.

11.【答案】ABC

【解析】解：由椭圆C：看+[=1可得。=4,8=3,贝i」c=C，

169

对于4,因为，N&P『2=60°,所以AFiPF2的面积S=b2tang=9xtcm3()o=3q,所以A正确；

对于B,因为S="|Fi&l•h=；x2C/i=3,则/所以由椭圆的对称性可知满足题意的

点P有4个，所以8正确；

对于C,因为AF1PF2是钝角三角形，所以AFiPF2中有一个角大于90°，

当乙「尸2尸1=90°时，设|P0|=m,|尸尸2|=n,贝Im2=必+4。2=九2+28,

因为m+n=2a=8,解得兀=务

所以S=芍外尸21仍尸2|=:x2Cxg=6=,所以AFiPF2是钝角三角形时，有S6（0,号），所以C正确；

22444

对于。，啸:揶，羟唠，

则椭圆内接矩形的周长为4（3sin。+4cos8）=16cos0+12sin6=20（|s讥。+^cos。）=20shi（0+8）（其

中＜pG（今,今且满足sin"=,coscp=|）,

由。€（。，^）得。+g6卬+/）,

所以椭圆内接矩形的周长的范围为（20sin"+%20siW],即（12,20],所以。错误；

故选：ABC.

对于4,利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B,利用三角形的面积公式求出三角形的高与b比较即可

判断，对于C,三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于。，利用椭

圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可.

本题考查了椭圆的几何性质，重点考查了焦点三角形的问题，属于中档题.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查了动点的轨迹和空间向量的计算，属于拔高题.

根据动点P满足的条件及正方体的结构特征得到动点P的轨迹，然后利用轨迹的特征判断选项A,B,C,对

于选项。，要先将线线角问题转化为线面角问题，再利用空间向量法求解.

【解答】

解：如图，取4D1的中点E,分别取上靠近4，Bi的四等分点F,G,

连接EM,EF,FG,MG,

易知EM〃FG且EM=FG,所以E,M,F,G四点共面，连接GC,

因为MG?=（犷+联=普MC2=向2+=苧，GC2=（第2+=需，

因此MG2+MC2=GC2,所以MG_LMC,

易知MEJ.MC,又MGCiME=M,MG,MEu平面MEFG，

所以MC，平面MEFG,

即点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M）,易知点P的轨迹与侧面44道1。的交线为EF,

由EF不过力&的中点，故A选项错误；

又EF=MG=Ta，故B选项正确；

根据点P的轨迹可知，当P与尸重合时，MP最大，

易知IFG_L平面BBiCiC,又MGu平面

则FG1MG,

连接MF,所以MF=Ia2+—=—＞故C选项正确；

7164

由于点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M）,

所以直线CC］与直线MP所成的最小角就是直线CG与平面MEFG所成的角，

又向量鬲与平面MEFG的法向量前的夹角等于NGCM,

且sin“iCM=备=葺，所以直线CC］与平面MEFG所成角的余弦值为?，

~~2~

即直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值等于?，故。选项正确.

故选：BCD.

13.【答案】y2-^=l

【解析】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是丫=±3刈

2

则可设双曲线的标准方程为5-y2=a，Q中0）；

又因为双曲线经过点(3,C)，

代入方程可得，4=一1；

故这条双曲线的方程是y2—需=1；

故答案为：y2-=1.

2

根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为家-f(2^0)；将点(3,/I)代

入方程，可得;1=一1；即可得答案.

本题考查双曲线的标准方程，要求学生掌握由渐近线方程引入九进而设双曲线方程的方法，注意标明440.

14.【答案】(-3,-l)U(l,3)

【解析】解：圆心(4(1)到原点的距离为|/天可，半径r=2「，

圆上点到原点距离为d,

•••圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在两个点到原点的距离为根号。，

d=V-2>

|d-r|<|或d+r>\\T_2a\

•・•|瑞|<同<篝，即l<|a|<3,

解得1<a<3或一3<a<-1.

.•・实数a的取值范围是(一3,-1)U(1,3).

故答案为：(—3,-1)U(1,3).

由已知得圆上点到原点距离d=从而|d-r|<|/2a|或d+r>由此能求出实数a的取值范

围.

本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用.

15.【答案】等

64

【解析】解：连结4E,取4E中点G,设Ci/上点F到A距离。/=3

连结EF,

过G作G。垂直平面4BCD,设GO=m,。为三棱锥4一DEF的外接球

的球心，

以。为原点，分别以DC,所在直线为x,y,z轴建立空间直

角坐标系，

B

x

1

则4(2,0,0),E(0,1,0),O(l,i,7n),F(0,t,2),

则球半径R=OF=OE=OD=OA,

22

•••J1+(t-1)+(2-m)=J1+；+小

••・三棱锥A-DEF的外接球的表面积取最小值时，t=i,

此时(2—m)2=；+m2,解得m=5

••・三棱锥4-DEF的外接球的表面积最小值为:

5455457r

S=4itR2471X256="64-

故答案沏

连结AE,取4E中点G,设G5上点F到Di距离D/=t,连结EF,过G作GO垂直平面ABCD,设G。=m,则

。为三棱锥4-。EF的外接球的球心，以。为原点，建立空间直角坐标系，由外接球半径相等，列式求得三

棱锥4-OEF的外接球半径的最小值，则三棱锥4-OEF外接球表面积的最小值可求.

本题考查三棱锥的外接球的表面积，训练了利用空间向量求解空间中两点间距离的最值问题，考查运算求

解能力，是中档题.

16.【答案】35

【解析】【分析】

本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是较难题.

作出圆。：x2+y2=3,与直线八3x+4y—10=0,可得N（%2，y2）都在圆/+y?=3上，求得

AMON=60°,取M、N的中点G,过G作GG'1垂足为G',把|3%+4yI-10|+|3冷+4y2-=

匚/34+4%-10|,|3工2+4旷2-101、

(I―n7I―77)表7KM和N到直线1：3x+4y—10=0的距离和|MM'|+|NN'|的5倍,

J3Z+4ZJ32+42

求|MM'|+|NN'|的最值转化为求2|GG'|的最值，求出0G=?,再求出G到直线1的最大距离，则答案可求.

【解答】

解：作出圆0：x2+y2=3,与直线八3x+4y-10=0,

由题意，”(％1，为),N(%2，y2)都在圆%之+M=3上,

\MN\=J(久1-%2)2+(71一%)2=则/■MON=60°,

|3%+4yl-10|+|3X2+4y2-10|=5(詈+做:慧表示用和％到直线/：3x+4y-10=0

J32+42J32+42

的距离和|MM'|+|NN'|的5倍,

取M、N的中点G,过G作GG'_L/,垂足为G',则+|NM|=2|GG'|,

•・•△MON为等边三角形，G为MN的中点，OG=5，

则G在圆/+y2=*上运动，故G到直线3x+4y—10=0距离的最大值为2+|=夕

\MM'\+\NN'\=2|GG'|的最大值为2x^=7.

故|3%+4yl-10|+|3打+4y2—也|最大值为35.

故答案为：35.

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.005+0.025x2+0.01+a)x10=1,解得a=0.035；

这组数据的平均数为50x0.05+60x0.25+70x0.35+80x0.25+90x0.1=71,

所以估计该校此次参赛学生成绩的平均分I=71;

(2)根据频率分布直方图可知，成绩在［45,55),［55,65)内的频率分别为0.05,0.25,

所以采用分层随机抽样的方法从样本中抽取6人，

则成绩在［45,55)内的有1人，在［55,65)内的有5人，

所以从这6人中随机抽取3人进行深入调研，

这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为却=

Cl2

【解析】本题考查了频率分布直方图的理解与应用，平均数计算公式的运用以及古典概型概率公式的运用.

(1)利用频率之和为1列式求解a即可，由平均数的计算公式求解。

(2)先由分层随机抽样得到成绩在［45,55),［55,65)内的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.

18.【答案】解：(1)因为一bsinC+ccosB=a，

所以由正弦定理可得?sinBsinC+sinCcosB=sinA>

又siziA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以?siziBsinC=sinBcosC，

又sinB>0,

所以siiiC=cosC，可得tcmC=，~^,由CW(0,乃)，可得C=*

33

因为Q=2,b=，3,

所以△ABC的面积S=^absinC=；x2xV-3x/=|.

(2)由(1)可得C=*又c=2,

所以由正弦定理急=熹=廉=殍,可得a=^s出4,6=手s讥8=殍$也a-4)=

4y,<3.,1...„.,2yT3..

―-—(―^―cosA+~SITIA)=2.cosAH---sinA>

可得△ABC周长Q+6+c=sinA4-2cosA+-^r^sinA+2=2cosA+2>/~~3sinA+2=4sin(A+g)+2,

336

[0<4<g

因为△ABC为锐角三角形，12nn,可得*<4<M可得4+(€辱争,sin(A+看)€(?，1卜

[o<y-4<62

所以△4BC周长a+b+c=4s讥(力+^)+2e(2<^+2,6].

【解析】(1)利用正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合s讥B>0,

可得tanC的值，结合范围C6(0,兀)，可得C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

(2)由题意利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求AABC周长a+b+c=4sin(A+》+2,由已知可

(0<A<^

得可得4的范围，可求4+旨有争，进而根据正弦函数的性质即可求解.

本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综

合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.【答案】(I)证明：连结AC,

•底面4BCD为正方形，F分别为BD的中点，.•.为AC中点，

又•:E为PC的中点，

•••EF//PA,又PAu平面PAD,EF仁平面PAD,

AEF〃平面PAD.

(II)证明：面PADJ■面4BC0,平面P4Dn面4BCD=4。,

又•••ABCO为正方形，CD1DA,平面ABC。，CDL平面PAD,:,CD1PA,

又PA=PD=好a，△P40是等腰直角三角形，且PALPC,

PDu平面PDC,CDu平面PCC,且PDnCD=D,

•••PA_L平面PDC,

又R4u平面H4B,

平面P4B1平面PDC,

【解析】（I）连结AC,证明EF〃PA,然后证明EF〃平面PAD.

（H）证明CD1•平面PAD,得到CDJLP4推出P41PD,然后证明24_L平面PDC,即可证明平面P4B_L平面

PDC,

本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力，逻

辑推理能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,

f-D+f-8=0,

则有14+2。+尸=0,

(20+4。-2E+F=0.

(D=-8,

解得E=0,.

F=12.

・・.圆C的方程为：x2+y2-8x+12=0.

(2)由(1)知C：(%-4)24-y2=4,

设P(x(),yo)，M(x,y),则

(x0=2x-6

lyo=2y，

又P在圆C：(x-4)2+y2=4上，

」•Oo-4产+环=4，

(2x-10)2+(2y)2=4,M的轨迹方程为Q-5)2+y2=1.

如图，当OM与。一5y+y2=i相切时，tan4M。4取最大值,

此时。M=V25-1=2y/~6>

所以tan/MOA=

【解析】（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,利用待定系数法确定圆C的方程；

（2）由题意设出P的坐标，利用中点坐标公式和圆的方程得到点M的轨迹方程，数形结合易知当。”与（X-

5）2+y2=1相切时，tan/MOA取最大值.

本题考查的是圆的一般方程，考查了轨迹方程的求法，利用代入法求圆的方程，训练了中点坐标公式的应

用，是中档题.

21.【答案】解：（1）证明：四棱锥P-ABCD中，四边形4BCD为梯形，其中4B〃DC,

AB=2BC=2CD=4,/.BCD=60°,平面PB。1平面4BC0,

由题设，△BCD为等边三角形，贝ijAB=2BD=4,

又四边形力BCD为梯形，AB//DC,则乙4BD=60。，

在4ABD^,AB=4,BD=2,所以力。2=AB2+BD2_2ABxBDxcos^ABD,

2

即4/）2=42+2-2X4X2XCOS60°=12,则力。=2y/~3,

所以4。2+8。2=AB2,即4。1皿

面PBD1面ABC。，面PBDD面ZBCD=BD,ADc^ABCD,

则AD1面PBD,

又PBu面PBD,^.PBLAD.

(2)若。为BD中点，PB=PD,

则PO1BD,面PBD1面ABCD,面PBDD面ABCD=BD,POu面PBD,

则POl^ABCD,

连接。C,则。C1BO,且OCu面ABC。，故PO1OC,

综上，PO,BD,0c两两垂直，以。为原点，05,0C，诃为x,y,z轴正方向的空间直角坐标系.

所以4(一1,一2二,0),8(1,0,0),C(0,-3,0),。(-1,0,0),

PB=PD,且三棱锥P-BCO的体积为，豆，点F满足方=g定,

由三棱锥P—BCD的体积为「，则：SABCD•OP=C，

即gxgx2x2OP=q,故。P=3.

则P(0,0,3),则尸(0,?,2)，

所以乔=(-1,早,2),丽=(2,0,0),