第34练 空间向量与立体几何 -2023届高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）（解析版）

第34练空间向量与立体几何

课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练

一、课本变式练

1.（人A选择性必修一P9习题1.1T2变式）如图所示，在平行六面体A3CC-A8CQ中，M为AG与EQ

的父点，若AB=4，AD=b，AA,=c,则8A7=（）

cl17

A.—a——b+cB.—Q+—b+c

2222

c11,

D.——a+—b+c

22

【答案】D

【解析】由题意得，8用=84+；4"=/14|+；（44_44）=/14I+3（40_718）=_34+38+以故选口

2.（人A选择性必修一P14练习T2变式）已知正四面体ABC。，M为BC中点，N为A。中点，则直线BN

与直线0M所成角的余弦值为（）

A.1B.|C.巨D.坦

632121

【答案】B【解析】设该正面体的棱长为1,因为M为2c中点，N为AC中点，

所以==J『-（gxl）2=专,

因为M为8C中点，N为AO中点，

___.—.1一

所以有8N=a4+AN=-A8+-4Z）,

2

DM=DB+BM=DA+AB+-BC=-AD+AB+-（AC-AB）=-AD+-AB+-AC,

2222

BNDM

={-AB+1AD)(-AD+；AB+；AC)

1211211

=ABAD——AB——ABAC——AD+-ABAD+-ACAD

22244

111

=lIxlIx-1-----xPr——xl1xl1x------1-x1r2+—1xl।xl।x—1+—1xIlxlIx—1

222224242

1

二一5'

2

cos〈BN,DM)=

3

22

根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线OW所成角的余弦值为净，故选B

3.（人A选择性必修一P22习题1.3T8变式）如图在边长是2的正方体ABC。-4用6。中，E,尸分别为

AB,A。的中点.

（1）求异面直线E尸与CR所成角的大小.

（2）证明：所1.平面48.

【解析】据题意，建立如图坐标系.于是:

0(0,0,0),4(2,0,2),C(0,2,0),E(2,l,0),尸(1,1,1),。(0,0,2)

/.£F=(-1,0,1),8=(0,—2,2),DA,=(2,0,2),DC=(0,2,0).

EFCD-lx0+0x(-2)+lx21

⑴cos(M,C£>)=|“n=t---------七2--------=-,

£F||CD,&x2&

二(E£S)=60°

二异面直线EF和CD,所成的角为60'.

(2)EFDA,=-1X2+0X0+1X2=0

二EF1DAt,即EF，DA,

EF・£)C=-lx0+0x2+lx0=0，

又「OA，DCu平面。CA且。Acoc=。

；•EF_L平面AC。.

4.(人A选择性必修一P41习题1.3T7变式)在直三棱柱ABC-A与和中，底面是等腰直角三角形，

ZACB=90°,侧棱AA,=3,D,E分别是CG与AR的中点，点E在平面48。上的射影是△43。的重心G,

则点4到平面4即的距离为()

A.76B.显C.侦D.2显

23

【答案】A

【解析】如图所示，以C为坐标原点，CA,CB,CC,所在直线分别为x,九z轴，建立空间直角坐标系,

设C4=CB=a,则A(%0,0),B(0,a,0),D(0,0,1),A(a,0,3),可得G(£祟)，GE=(=,gl),

222233266

SD=(0,-«,|),因为点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，所以GE_L平面ABD,所以GE-B£>=0，

即gx0+；x(_a)+]xl=0,解得a=3,即GE=(：q,l),则点4到平面ABD的距离为d,E是的中点,

66222

所以d=2|GE|=C.故选A.

二、考点分类练

（一）空间向量的运算

5.设平面a的法向量为（1,2,-2）,平面夕的法向量为（-2,T«）,若a〃夕，则女的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

f-2=A.

F丸一一2

【解析】因为C//尸，所以（—2,TZ）=4（l,2,—2）,即-4=22,解得心二二:故选B.

k=-2A1=

6.已知正六棱柱ABCDEF-的底面边长为1,P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则APAB

的取值范围是（）

【答案】A

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且AB=3C=C£>=OE=EF=AF=1,

由正六边形的性质可得，A（0,0,0）,8（1,0,0）,尸-1,y,0,CI，当，。，设时,y,z）,其中

所以A3=（l,0,0）,AP=（x,y,z）,所以A8-AP=x，所以A户的取值范围.故选A.

7.如图，在四棱锥P-43CD中，底面ABC。是平行四边形，已知尸4=〃，PB=b，PC=c，PE=%D,

贝IJBE=（）

AB

A.—a——h+—cB.—a——b+—c

222222

13,1

C.—a+—b+—cD—+，

222222

【答案】A

贝ijBE=^BP+BD）=-^PB+^BA+BC）=-^PB+^PA-PB+PC-PB）

111QI1^1

=―PB+-（PA-2PB+PC\=-PA--PB+-PC=-a一一人+—c故选A.

22、>222222

（二）利用空间向量处理平行与垂直问题

8.（2022届北京市昌平区高三上学期期末质量抽测）如图，在正方体ABCD-AMGR中，过点A且与直

线BR垂直的所有面对角线的条数为（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】C

【解析】过点A的面对角线一共有三条，AC,A。，ABt,连接，AC,AR,AB,,以。为坐标原点，DA

为x轴,。C为y轴，。R为z轴，建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则R(0,0,1),A(l,0,0),

C(0,l,0),4(1,1』)，其中8。=(一1,一1,1),AD,=(-1,0,1),AC=(-1,1,0),AB；=(0,1,1),

B£>l-ADl=(-l,-l,l)(-l,0,l)=2,B£>1AC=(-l,-l,l)(-l,l,0)=0,BD^AB,=(-1,-1,1)-(0,1,1)=0,BQ

与AC,AB1垂直，与AR不垂直，故答案为2条.故选C

9.在正方体ABC。-48cA中，E,尸分别为AB,8c的中点，则()

A.平面B|EF_L平面B。。B.平面8声尸，平面AB。

C.平面用EF//平面A/CD.平面4所〃平面AG。

［解析】在正方体ABCD-ABGR中，AC_LB。且DAJL平面ABCD,

又EFu平面ABCO,所以E尸，。R,因为E,F分别为A&8C的中点，

所以EFAC,所以所，如，又B。DD、=D,所以所，平面B。。,

又EFu平面BXEF,所以平面BtEFL平面BDD,,故A正确；

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设4?=2,

则4(2,2,2),E(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),4(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),

则E1=(T,l,0),瓯=(0,1,2),加=(2,2,0),璃=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AG=(-2,2,0),

设平面尸的法向量为,”=a，y,zj,

m•EF=-X|+y=0

则有1可取〃?=(2,2,—l),

m-E8]=y+2Z[=0

同理可得平面AB。的法向量为^=(1,-1,-1),

平面A4C的法向量为均=(1,1,0),

平面AG。的法向量为4=(1,1-1),

贝Umi\=2—2+1=1^0.

所以平面B、EF与平面ARC不垂宜，故B错误;

uu

因为加与应不平行，

所以平面用£下与平面aAC不平行，故C错误；

因为加与均不平行，

所以平面玛EF与平面ACQ不平行，故D错误，故选A.

10.如图，在直三棱柱ABC-A8G中，ACme,AC=BC=BA，。为AB的中点.试用向量的方法证明:

8G〃平面AC3.

【解析】证明：建立如图所示空间直角坐标系，设AC=BC=Bq=2,

则8（0,2,2）C（0,0,0）,A（2,0,2），M（0,2,0）,BJ=（0,-2,-2）,

0（1」,2），A（2,0,0）,C（0,0,2）,QA=（1，_1，_2），AC=（—2,0,2）,

设平面AC。的法向量为〃=(x,y,z),

〃=x-y-2z=0

则故可令=,

n-A}C=-2x+2z=0

UUUI

则BC,g2=lx0+（-l）g：-2）+lx（-2）=0，

即8GJ_九，又BG2平面ACO,

所以BG〃平面A|CQ.

(三)利用空间向量求空间角

11.在正方体A8CO-A4GA中。为面AA48的中心，O1为面A8CQ的中心.若E为co中点，则异面直

线AE与。01所成角的余弦值为()

A2石r>>/10「小

D.

5510

【答案】B

【解析】设正方体的边长为2,建立如图所示空间直角坐标系，A(2,0,0),E(0,l,0),0(2,1,1),0,(1,1,2),

则c阿AE网OO.|=用2/=三Vio.

AE=(-2,l,0),Oa=(-1,0,1),设异面直线AE与。。1所成角为巴c°E|

故选B

12.已知正方体ABC。一ABCQ的棱长为4,M在棱AA上，且3AM=加8],则直线与平面A^CO所

成角的正弦值为.

【答案】辿

5

【解析】如图所示，以。为原点，儿方向为％轴，建立空间直角坐标系。-孙z,

所以有，0(0,0,0),A(4,0,4),C(0,4,0),8(4,4,0),M(4,l,4),

则。A=（4,0,4）,DC=（0,4,0）,MB=（o,3,-4）,

设平面4OC的法向量〃=(x,y,z),则由

n-DC=4y=0..

\，令x=l,得〃

n-DA^=4x+4z=0

设直线8M与平面A4CO所成角为，，则

n-|4|272

sin^=|cos<n,MB>|=

V2x5-5

13.(2022届四川省成都市石室中学高三上学期联测)如图，在三棱锥A-38中，ABC是等边三角形,

NBAD=NBCD=90°点尸是AC的中点，连接BP,DP.

(1)证明:平面ACDL平面BDP;

(2)若8。=#,且二面角A-8O-C为120。,求直线与平面8c。所成角的正弦值.

【解析】(D证明:因为二ABC是等边二角形,NBAD=NBCD=90°.

所以Rt_ABD三Rt_CBD，可得AZ)=8.

因为点P是AC的中点，则PD1AC,PBLAC,

因为PDPB=P.PDu平面PBD,PBu平面PBD.

所以AC_L平面P8/),因为ACu平面ACD,

所以平面ACD±平面BDP.

(2)如图，作CE1.8”垂足为£连接AE.

因为Rt.ABOuRtCBD,

所以AE±BD,AE=CE,NAEC为二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A-BD-C为120。.知ZAEC=nQ°.

在等腰三角形血中，由余弦定理可得AC=BAE.

因为_ABC是等边三角形，则AC=M，所以A2=MAE.

在RtAABD中，有5AE.BD——AB-AO,得BD—y/3AD,

因为BD=m，所以AD=Ji.

又BD?=A^+A。?,所以AB=2.

则AE=^3ED=—.

33

以E为坐标原点,以向量EC,E£＞的方向分别为x轴，＞轴的正方向,

以过点E垂直于平面88的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyZ.

则°（o,半，oJ,A-乎,0,1」句量AZ）=半,T，

平面BCD的一个法向量为〃?=（0,0,1）,

设直线与平面BCD所成的角为0.

,m-AD-1y/2五

贝U8s〈肛A。〉=丽=百=一彳，sin*1cos〈肛AO〉|=与

所以直线A£）与平面BCD所成角的正弦值为也.

2

14.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）如图，已知AB为圆锥5。底面的直径，点C在圆锥

7T

底面的圆周上，BS=AB=2,ZBAC=~,BE平分NSBA,。是SC上一点，且平面£＞B£J_平面SA8.

s

⑴求证：SAYBD；

(2)求平面EBD与平面8DC所成角的余弦值.

【解析】(1)因为&4=M=AB=2,且BE平分NSB4,

所以BEISA,

又因为平面DBE±平面SAB,且平面DBE平面SAB=BE,SAu平面SAB,

所以SA_L平面BDE,

又因为BDu平面BDE,

所以SAVBD-,

(2)取AB的中点加，连接。河，OS,则OM,OS,04两两垂直，

所以以。为坐标原点，以0M为x轴，以0A为)，轴，以0S为z轴建立如图空间直角坐标系,

则0(0,0,0),4(0,1,0),5(0,-1,0),Cy---j-O,S(0,0,我,

由(1)知81_1平面8/m，所以AS=(0,-1,6)是平面以汨的一个法向量,

设平面8。(7的法向量为加=(x,y,z),

(i、

因为BS=(0,1,6),CS=---,-,V3

I22J

mBS=y+Gz=0

则m-CS=-^-x+—y+y/3z=0

.22

取z=VL则〃?=(63,百),

因此cos(m,AS)==]—°==

、\^\AS\J，+(TA+(GyxJ(拘2+(―3)2+(后5，

（四）利用空间向量求距离

15.（2022届山西省长治市第二中学校高三下学期4月月考）在直四棱柱A8CO-ASG。中，底面43C。

为正方形，AAX=2AB=2.点尸在侧面8CC内内，若A。，平面3。尸，则点P到C。的距离的最小值为

【答案】李

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，A（l,0,2）,C（0,l,0）,8（l,l,0）,AC=（T,l,-2）,设P（X,1,Z）,

CP=（x,0,z）由于於平面吟所瞰黑二::吃°，所以x+2z=l.由于"。=0,即

CPLDC,P到CD的距离为|CP|=yjx2+Z2=yl（l-2z）2+z2=V5Z2-4Z+1,

所以当2=44时，风沙嚏4x|+l与即尸到8的距离的最小值为乎.

16.（2022届北京市第五中学高三下学期三模）如图，在三棱柱A8C-ASG中，平面ABCL平面

CC}B}B,CC乃乃是矩形，己知CG=3,ACYBC,AC=BC=2,动点D在棱AA,上，点E在棱CC,

上，且C£=2£C,.

(1)求证：BCLED;

(2)若直线A8与平面DEB1所成角的正弦值为苴，求A2的值;

3DA

(3)在满足(2)的条件下，求点A到平面OEq的距离.

【解析】(1)因为四边形CC^B是矩形，所以8CJ.CG，

又AC_L8C,ACCC,=C,AC,CGu平面ACRA,

所以8c，平面4CGA,又。u平面ACGA，

所以3C，£D,

(2)因为平面ABCJ•平面CCM8,平面ABC平面。。者出=3。,

ACu平面ABC,ACJ.BC,

所以ACJ■平面CG用8,又8CLCG，

所以AC,8C,CG两两相互垂直，以C为原点，C4,CB，CQ为巴孔z轴的正方向建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),B(0,2,0),4(0,2,3),£((),(),2),

An

设=〃042MD，则。(2,0,3/1),

/1/11

所以EB|=(0,2,1),ED=(2,0,32-2),AB=(-2,2,0)

设平面。Eq的法向量为〃，n=(x,y,z),

,\n-EB.=0(2y+z=0

则4,\,

n-ED=012x+(3/l-2)z=0

取z=2,可得是(2-32,-1,2),

设直线AB与平面OE4的夹角为6,

一—clI\lABn-6+62

则sin8=|cos(48,")|=।——n-f=..=------,

।4MW[2-34)2+5•-

cri,-6+626

所以I2―F=-T，

^(2-32)'+5-y/s3

化简可得3/12-10/1+3=0，又0W4W1,

(3)由(2)平面的法向量为〃,“=(.1,2),又4少=(0,0,—2),

设点A到平面OE瓦的距离为心

42S/6

则”=

|n|瓜3

所以点A到平面啊的距离为乎

三、最新模拟练

17.(2023届广西桂林市高三上学期阶段性联合检测)如图，已知正方体A88-4B/GD的中心为。，则

下列结论中

①OA+0。与04i+OD\是一对相反向量；

②OB-0C1与OC-。8।是一对相反向量；

③OAi+OBi+0Ci+。。।与0£>+0C+OB+是一对相反向量;

④OC-OA与OC1-OA।是一对相反向量.

正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

［解析］设£,尸分别为AD和40/的中点,

①OA+0。=2OELJ+0D、=2OF不是一对相反向量，错误；

②OB-OG=C\B与0C-OB\=gc不是一对相反向量，错误；

③QA计0B।+0C计O.=­0C-OQ--OB=_（OC+OO++OB）是一对相反向量,正确;

Q）oc-0A=AC与OCi-。4=AC；不是一对相反向量，是相等向量，错误.

即正确结论的个数为1个故选A

18.（2022届北京市海淀区首都师范大学附属中学高三下学期三模）如图，在正方体A8CO-ASGA中,

E为棱BC上的动点，尸为棱旦8的中点，则下列选项正确的是（）

A.直线AR与直线EF相交

B.当E为棱BC上的中点时，则点E在平面A"尸的射影是点尸

C.存在点E,使得直线与直线E尸所成角为30

D.三棱锥E-W的体积为定值

【答案】D

【解析】A：由题意知，AD、〃B£,B£u平面B£CB,A,D,<Z平面B,C,CB

所以AR//平面片GCB,

又EFu平面BCCB,所以4Q与EF不相交，故A错误；

B：连接A。、D,RARAE.CB,,如图,

4f

…产

当点E为BC的中点时，EFUCB、,又所以EF_L4R,

若点£在平面AQF的射影为F，则历J■平面4。尸，垂足为尸，

所以印1AF，设正方体的棱长为2,则AE=AF=^,EF=6，

在乙钻尸中，AF2+EF2AE--所以ZAFEW90",

即历_LAF不成立，故B错误；

C：建立如图空间直角坐标系。一9z,连接BC一则4R//BC-

所以异面直线EF与AA所成角为直线EF与BC,所成角，

产

----

d.---

声1------

9

设正方体的棱长为2,若存在点E(a,2,0)(04a42)使得EF与BC,所成角为30°,

则8(2,2,0),尸(2,2,1),G(0,2,2),所以砂=(2—a,0,1),=(—2,0,2),

所以EFBCx=2a-2,又向波C；|=|研BQCOSSO。,

得|2a-2|=2&xJ(2-ay+lx*，解得a=4士百，

不符合题意，故不存在点E使得EF与AQ所成角为30',故C错误；

D：如图，

山等体积法可知vE-ADF=yF-ADE,

又吃.3=京,如"=gxgxADxABx",

AD.AB,B厂为定值，所以匕为定值，

所以:.棱锥E-AD广的体积为定值，故D正确.故选D.

19.（2023届广东省七校联合体高三上学期第一次联考）如图，两个正方形A8CO和4OEF所在平面互相

垂直，设M,N分别是AC和AE的中点，那么下列结论正确的是（）

A.AD1MNB.MN平面COE

C.MN//CED.MN,CE异面.

【答案】ABC

【解析】由点A为原点，分别以A3、AD.AF所在直线为x轴、V轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正

方形A8CO和AOE尸的边长为2,如下图：

对于A选项,A（0,0,0）,£>（0,2,0）,M（1,1,0）,N（0,l,I）,

则直线A。、MN的方向向量分别为AO=（0,2,0）,MN=（-1,0,1）,

因为AZ>MN=0，所以AO_LMN，即A£>_LMV,故A正确；

对于B选项，连接CE,如下图：

因为点M，N分别为4C,AE的中点，所以在二ACE中，MNHCE,

因为CEu平面C0E,且MN<Z平面COE,所以MN「平面COE,故B正确；

由选项B可知MN//CE,故C正确；故D错误；故选ABC.

20.（2022届青海省高三第四次模拟）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、

智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地

看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示，4尸=3尸=2五，AB=⑨=2AO=4,

P,Q,M,N分别是棱AB,C、E,BB-4尸的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是

【答案］名叵

15

【解析】如图，以。为原点建立空间直角坐标系，因为4尸=4尸=20，AB=AAl=2AD=4,

所以可得尸(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2,),N(2,1,5),

所以PQ=(-2,l,5),M/V=(0,-3,3),

sPQMN122后

所以网网=尔五=十'

所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是汉叵.

21.（2023届广东省深圳外国语学校高三上学期第一次月考）如图，在底面是菱形的四棱锥尸-438中,

平面ABC，/ABC=60。，PA=AB=2,点、E,尸分别为8C,PO的中点，设直线PC与平面AE尸交

于点Q

⑴已知平面PA8c平面PCD=/,求证：AB//1.

(2)求直线AQ与平面PC。所成角的正弦值.

【解析】(1)由已知C£)u平面PC。，A8u平面PC。，所以A8//平面PC。,

又ABi平面R4B，平面平面PC£>=/,

所以A8/〃；

(2)山已知:ABC是正三角形，E是8c中点，则AE_L5C,而BC7MD,所以AE_LAD,又R4_L平面ABC。,

故以AEAOAP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

AB=2,则AE=6,E(V3,0,0),C(石,1,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),则尸(0,1,1),

AE=(G,0,0).4F=(0,1,1),PC=(6,1,一2),防=(0,2,-2).

设PQ=kPC=(®,k,-2k),则AQ=AP+PQ=(6&次,2-2外，

又共面，

所以存在实数见〃，值得AQ=〃?AE+〃AF,

2

m=—

gk=下)m3

2

B|J'k=n,解得<n=—

3

2-2k=n

22.

所以AQ=5寸

设平面尸8的一个法向量是"=(x,y,z),

n•PC=Gx+y-2z=0令y=l,则z=l,x=*^,B|Jn-(-^-,1,1),

n♦PD=2y-2z=0

设直线42与平面PC。所成角为e,则

26Gj,21

^XT+3X1+3X137105

sin0=|cos<AQ,A?>|=AQn

2亚V2135

kIH---------X----------

22.(2022届天津市耀华中学高三下学期二模)如图，在四棱锥P-ABC。中，PA_L平面A3Q),底面ABC。

是直角梯形，其中AA/BC,ABA.AD,PA=4,AB=AD=^BC=2,E为棱BC上的点，且=

⑴求证：OE_L平面PAC；

(2)求二面角4—PC-。的余弦值；

(3)求点E到平面PC£>的距离.

【解析】(1)因为抬1•平面ABC£>,A8,AOu平面4BCZ),

所以而ABLA。，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系,

则有P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),E(2,1,0),

DE=(2,-1,0),AP=(0,0,4),AC=(2,4,0),

因为。£■•AP=2x0+(-l)x0+0x4=0,OE-4C=2x2+(T)x4+0x0=0,

所以OELPLDELAC,而PAACu平面PAC,

所以OE_L平面PAC;

(2)设平面PDC的法向量为"z=(x,y,z),

PC=(2,4,-4),PD=(0,2,-4),

mlPCm-PC=Q2x+4y-4z=0

则有n=>m=(-2,2,1),

ml.PDm-PD=02y-4z=0

山(1)可知平面PAC的法向量为OE=(2,-1,0),

/_DE-2x2-2xl2石

所以有8s5'函=同网(-2)P+屋方+(.I)L亍'

由图知二面角A-PC-。为锐角，所以二面角A-PC-。的余弦值为半;

(3)由(2)可知：平面PDC的法向量为，"=(-2,2,1),

PE=(2,l,-4),所以可得：

PE-n^_|-2x2+2xl-4xl|_2

cos(PE,/n)=

产N”,J(-2)2+2、+Fx,2?+r+(-4)2V21

所以点E到平面PC3的距离为图.cos〈PE,附=722+12+(-4)2X-^==2.

四、高考真题练

23.(2021新高考全国卷1)在正三棱柱ABC—中,45=蝴=1,点P满足8。=/18。+〃83；,其中

A.当4=1时,ZVIB/的周长为定值

B.当〃=1时,三棱锥P-A/。的体积为定值

C.当2=g时，有且仅有一个点尸，使得APLBP

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得ABJ•平面AB/

【答案】BD

【解析】解法一：对于A,当2=1时.82=8。+〃84=3。+〃。。「所以。/>=〃。。],因为从6[0,1],

所以点P是线段eq上的动点，所以△Aqp周长不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时,BP=+44G,所以4P=因为几w[0,1],所以点尸为线段

上的动点，而B£HBC.B,C,//平面ABC.点到平面\BC的距离为定值，所以，三棱锥P-A.BC的体积为定

值，故B正确.

当4=g时,BP=；BC+.取中点M,4G中等N.则MB+5P=〃碗，即MP=.

所以点尸点是线段MN上的动点，易得当点P与点M或点N重合时都有A.P，故C错误;

AC

1-1

对于D,当〃=5时,BP=ABC+-取BBrCC1中点为E,F,则3P=BE+4EF，即石尸=2EF，所以

乙乙

点P是线段EF上的动点.若A/，平面,则48，6尸,取BC中点D,可得AD1BtP,

，所以B7_L平面AB。，所以用P_LBD,所以点P与点F重合,D正确，故选BD.

解法二：易知，点P在矩形8CG4内部（含边界）.

对于A,当;I=1时,BP=BC+juBB^BC+〃CG•，即此时Pe线段CC,,周长不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时,丽=ABC+BR=BB；+43C；，故此时P点轨迹为线段耳G，而B'CJ/BC,BQ〃平面

A]C,则有「到平面48c的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当2=g时,BP=；8C+〃6耳,取BC,B©中点分别为。.H,则BP=BQ+"QH，所以P点轨迹

为线段,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,A岑，°，1,尸（°,0，川，《0，g，0]则

Af=--,BP-0,-彳,4l4P.8P="（4_l）=0,所以〃=0或〃=1.故“,Q均满足,

2\727

故c错误:

11

对于D,当〃=一时,BP=ZBC+-BB,MBB],CC,<||点为M,N.BP=BM+AMN，所以P点轨迹为线

22

段MN.设P,,为,；）,因为A所以AP=2

B1,所以

45

外-』/1小\T2/

3111

—H■—%=0=>%=，此时P与N重合，故D正确.故选BD.

42°2-02

24.（2022新高考全国卷I）如图，直三棱柱ABC-4MG的体积为4,4ABC的面积为2&.

（1）求A到平面48。的距离;

（2）设。为AC的中点,蝴=AB,平面ABC_L平面AB用A，求二面角4一80-。的正弦值.

【解析】（1）因为三棱柱ABC-44C的体积丫=4,

14

所以VVA8C=§V=5，

在直三棱柱ABC—AUC中，设点A到平面\BC的距离为h,

由匕-&8C=匕「ABC得；S48c,h=〃=［，

所以〃=J5，

所以点A到平面\BC的距离为&:

(2)如图，取A8的中点E,连接AE,因为A41=A8,所以AE_L4B.

又平面ABC_L平面ABB|A，平面ABC,平面ABB/=人5,

且AEu平面ABB14,所以平面ABC,

在直三棱柱ABC-^^C,中,84±平面ABC.

由BCu平面ABC,8Cu平面ABC可得恁J_3C8用工BC,

又AE,BBq平面ABB.A,且相交，所以BC_L平面ABBXAX,

所以BC,BA,BB］两两垂宜，以8为原点.直线BC,BA,BB｛分别为,r轴,y轴,z轴，建立空间宜角坐标系,

山(1)得4£=血,所以明=48=2.45=20,所以3c=2,

则A(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0)，所以的中点。(1,1,1).

则6。=(1,1,1).BA=(0,2,0),BC=(2,0,0).

/、fm-BD=x,+y,+z,=0

设平面ABD的一个法向量5=(%,X,4),则，

m-BA=2y}=0

取玉=1,得利=(1,0,_1),

n-BD=x24-y2+z2=0

设平面BDC的一个法向量n=(9,乂，Z2)，则＜八八八，取出=1,

n-BC=2X2=0

得〃=(O,1,T).

/xmn11

则c°s"〃〉=丽［二万亚二

所以二面角A—BD—C的正弦值为，一（；）=乎.

25.（2022新高考全国卷2）如图,P。是三棱锥P—ABC的高,P4=PB,A8，AC,E是心的中点.

（1）证明：OE//平面PAC；

（2）若乙钻0=/。80=30°,。0=3,~4=5,求二面角。一4£—3的正弦值.

【解析】（1）连接30并延长交AC于点O,连接。4、PD-

因为尸。是三棱锥P-ABC的高，所以P。_L平面ABCAO,80u平面ABC,

所以POLAO、POA.BO.

又B4=必,所以△尸Q4三△尸。8,即。4=。3,所以ZOAB=NOBA.

又AB，AC,即ABAC=90°,所以ZOAB+ZOAD=90°.AOBA+/ODA=90°.

所以NOZM=NQ4£>

所以AO=DO,即AO=比>=08,所以。为BD的中点，又E为PB的中点，所以OEHPD,

又。£2平面P4C.u平面PAC.

所以OE〃平面PAC.

（2）如图，以点A为坐标原点，直线A8,4C分别为X轴,y轴，过点A与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角

坐标系，

因为PO=3.AP=5,所以OA=JAF*2一po?=4

又NQ8A=NOBC=30°,=204=8,所以AD=4.AB=4如，

4c=12,所以0（26,2,0）,川46,0,0）/（2"2,3"（0,12,0）,所以“3百,1目，

则AE=卜国，|）AB=（4E0,0）,AC=（0,12,0）.

3

,、〃•AE=3V3x,+y,+—z,=0

设平面AE6的法向量为“=（》|,y,马）,则彳-2,

〃AB=4瓜=0

令4=2,得〃=（0,—3,2）；

3

z、in-AE=3V3x+y+—c=0

设平面AEC的法向量为〃2=（%，M，Z2），则，?92,

inAC=12y2=0

取尤2=百，得帆=（G，0，-6）；

..\n-m\124\/3

设二面角C-AE-B为夕则cose===-—==——

\n\\m\V13xV3913

所以sin夕==U,故二面角。一A£-B的正弦值为U.

1313

26.（2021新高考全国卷2）在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.

（1）求证：平面QAD1平面ABCD；

（2）求二面角5—。。一A的平面角的余弦值.

【解析】(1)因为。。=行,CO=2,QC=3,

所以QC?=Q02+c02所以Q)，

因为底面ABCD是LE方形，所以C。，AD.

因为">所以COJ.平面QAO,

因为CDu平面ABC。,所以平面QAD1平面ABCD.

(2)在平面A3CO内，过。作O77/CD,交BC于T，则OTLAO,

结合(1)中的Q。，平面A58,故可建如图所示的空间坐标系.

则£>(0,1,0),2(0,0,2),5(2,-1,0),故BQ=(-2,1,2),BD=(-2,2,0).

设平面QBD的法向量n=(x,y,z),

n-BQ=0-2x+y+2z=01

则(即《，取x=],则y=l,z=_

n-BD=Q—2x+2y=02

故HI

而平面的法向量为〃?=(1,0,0),

2

二面角8A的平面角为锐角，故其余弦值为

五、综合提升练

27.如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x,平行于80的直线/在正方形EFG”内，点

E到直线/的距离记为"，记二面角为A—/-P为凡已知初始状态下x=0,d=0,则（）

A.当x增大时，〃先增大后减小B.当x增大时，夕先减小后增大

C.当d增大时，8先增大后减小D.当d增大时，e先减小后增大

【答案】C

【解析】由题设，以尸为原点，尸仇F